动点问题(一)

数轴上的动点问题【专题解读】数轴上的动点问题，是七年级非常重要的问题，也是困难题，学生遇上了它就一个字——“晕”．但这个知识点又不得不学，因为这个知识比较综合，也比较抽象，是一类极为常见且重要的综合题，对学生的综合运用知识能力要求较高，涉及到“绝对值的几何意义、数在数轴上的表示、行程问题”等，更是学习“数形结合”思想的第一步。

【学习目标】1.用字母表示动点在数轴上所表示的数；2.根据题目的需要写出有关该字母的代数式；3.根据题目的意思列出方程，并解方程．【基础热身】【典例探究】例1：数轴上的规律探究问题如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第_____次移动到的点到原点的距离为2018．解答：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3=﹣2；第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6=4；第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12=7；第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8；…；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣1/2（3n+1），当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：1/2（3n+2），当移动次数为奇数时，﹣1/2（3n+1）=﹣2018，n=1345，当移动次数为偶数时，1/2（3n+2）=2018，n=4034/3（不合题意）．故答案为：1345．点拨提炼：数轴上一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。

初一上学期动点问题练习1。

如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0)秒．（1）写出数轴上点B表示的数 ,点P表示的数用含t的代数式表示)；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、Q同时出发,问点P运动多少秒时追上点Q?（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形,并求出线段MN的长;解：(1）由题意得点B表示的数为－6；点P表示的数为8－5t;（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q(如图）则AC=5，BC=3，∵AC－BC=AB∴5－3=”14”解得：=7，∴点P运动7秒时,在点C处追上点Q；(3）没有变化．分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB="7"②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP－NP= AP－BP=（AP－BP)=AB="7"∴综上所述,线段MN的长度不发生变化，其值为7；2。

已知数轴上有A、B、C三点,分别表示有理数—26，-10,10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．(1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离:PA=______，PC=______．（2）当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后,请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．解:（1）PA=t，PC=36—t；（2）当16≤t≤24时PQ=t-3（t—16）=-2t+48，当24＜t≤28时PQ=3（t-16)—t=2t—48，当28＜t≤30时PQ=72—3（t—16)-t=120-4t，当30＜t≤36时PQ=t—[72—3(t-16)]=4t-120．3。

七年级上期末动点问题专题1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6｜+（a+1)2=0，A、B之间的距离记作AB,定义:AB=｜a﹣b｜．(1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数x,当PA﹣PB=2时,求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时,指出当下列结论分别成立时,x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN 的值不变,②｜PM﹣PN｜的值不变．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点,其对应的数为x．（1)PA=_________;PB=_________(用含x的式子表示）(2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在,请求出x的值；若不存在,请说明理由．（3)如图2,点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中,M、N分别是AP、OB的中点，问:的值是否发生变化？请说明理由．3．如图1，直线AB上有一点P,点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1)若点P在线段AB上，且AP=8,求线段MN的长度;（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2,若点C为线段AB的中点,点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．4．如图,P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请说明P点在线段AB上的位置：(2)在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论:①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并求值．5．如图1,已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC,点C对应的数是200．(1）若BC=300，求点A对应的数；(2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点,点N为线段RQ的中点,多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3,在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点,点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值;若不变，请说明理由．6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE=_________，若CF=m，BE与CF的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．(3）如图3，在（2）的条件下,在线段BE上，是否存在点D,使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在,请说明理由．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1）若AB=10cm,当点C、D运动了2s,求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时,总有MD=3AC，直接填空：AM=_________AB．（3）在(2）的条件下,N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．8．已知数轴上三点M,O，N对应的数分别为﹣3，0，1,点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M,点N的距离相等，那么x的值是_________；(2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在,请说明理由．（3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发,那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等?9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点,且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0）秒．（1)写出数轴上点B表示的数_________，点P表示的数_________用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点,N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化,请说明理由;若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数_________，点P表示的数_________（用含t的代数式表示）;②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变,请你画出图形，并求出线段MN的长；（2)动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动,行驶的路程是多少个单位长度？参考答案与试题解析一．解答题（共10小题)1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6｜+（a+1）2=0,A、B之间的距离记作AB，定义：AB=｜a﹣b｜．(1）求线段AB的长．(2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时,求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围,并说明理由：①PM÷PN 的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．考点: 一元一次方程的应用;数轴；两点间的距离．分析:（1）根据非负数的和为0，各项都为0；（2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题;(3)利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．解答：解:（1）∵|2b﹣6｜+（a+1）2=0,∴a=﹣1，b=3，∴AB=｜a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．（2）当P在点A左侧时，｜PA|﹣｜PB|=﹣（｜PB|﹣|PA|）=﹣｜AB｜=﹣4≠2．当P在点B右侧时，|PA｜﹣｜PB|=|AB|=4≠2．∴上述两种情况的点P不存在．当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，∵｜PA｜=|x+1｜=x+1，|PB｜=｜x﹣3|=3﹣x，∴|PA|﹣|PB｜=2，∴x+1﹣（3﹣x)=2．∴解得:x=2；（3）由已知可得出：PM=PA，PN=PB，当①PM÷PN的值不变时,PM÷PN=PA÷PB．②|PM﹣PN｜的值不变成立．故当P在线段AB上时，PM+PN=(PA+PB）=AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时，｜PM﹣PN｜=｜PA﹣PB|=｜AB|=2．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．(1)PA=｜x+1｜；PB=｜x﹣3｜（用含x的式子表示）(2)在数轴上是否存在点P,使PA+PB=5？若存在,请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2,点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动,在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点,问：的值是否发生变化？请说明理由．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1）根据数轴上两点之间的距离求法得出PA,PB的长;(2）分三种情况:①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；（3）根据题意用t表示出AB，OP，MN的长，进而求出答案．解答：解：（1)∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点,其对应的数为x，∴PA=|x+1|;PB=|x﹣3｜（用含x的式子表示）;故答案为:|x+1|，｜x﹣3｜；(2）分三种情况：①当点P在A、B之间时,PA+PB=4，故舍去．②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x﹣3,∴（x+1）（x﹣3）=5，∴x=3.5；③当点P在A点左边时，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，∴(﹣x﹣1）+（3﹣x）=5，∴x=﹣1.5;（3）的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，AM=AP=+3t，OM=OA﹣AM=5t+1﹣(+3t）=2t+,ON=OB=10t+，∴MN=OM+ON=12t+2,∴==2，∴在运动过程中,M、N分别是AP、OB的中点,的值不发生变化．3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上,且AP=8，求线段MN的长度；(2)若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关;（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变;②的值不变,请选择一个正确的结论并求其值．考点：两点间的距离．分析：（1)求出MP，NP的长度，即可得出MN的长度;（2）分三种情况:①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上;③点P在BA的延长线上，分别表示出MN的长度即可作出判断；（3）设AC=BC=x,PB=y,分别表示出①、②的值，继而可作出判断．解答：解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，∴MP=AP=4,∴BP=AB﹣AP=6，又∵点N是PB中点，∴PN=PB=3，∴MN=MP+PN=7．（2）①点P在AB之间;②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上,均有MN=AB=7．（3)选择②．设AC=BC=x，PB=y，①==（在变化）；（定值）．点评：本题考查了两点间的距离，解答本题注意分类讨论思想的运用，理解线段中点的定义，难度一般．4．如图,P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上)（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置:(2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后,恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段考点: 比较线段的长短．专题：数形结合．分析:（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；(2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时,有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN 的值，所以．解答：解：（1)根据C、D的运动速度知：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC)，即PB=2AP,∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ；又AQ=AP+PQ,∴AP=BQ，∴,∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP=PQ’所以AQ'﹣BQ’=3PQ=AB所以=；(3）②．理由：如图，当点C停止运动时,有，∴；∴，∴，∴；当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以,．点评：本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C,AB=AC，点C对应的数是200．(1）若BC=300,求点A对应的数；（2)如图2，在（1）的条件下,动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3,在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0,动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动,点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点,点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值;若不变，请说明理由．考点：一元一次方程的应用；比较线段的长短．分析：(1）根据BC=300，AB=AC，得出AC=600，利用点C对应的数是200,即可得出点A对应的数；（2）假设x秒Q在R右边时,恰好满足MR=4RN，得出等式方程求出即可；（3）假设经过的时间为y,得出PE=10y，QD=5y，进而得出+5y﹣400=y,得出﹣AM=﹣y原题得证．解答：解：（1)∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；∴MR=（10+2)×,RN=[600﹣(5+2)x]，∴MR=4RN，∴(10+2）×=4×[600﹣（5+2)x],解得:x=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；(3）设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y,于是PQ点为［0﹣（﹣800)］+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．点评：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键,此题阅读量较大应细心分析．6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点,且AB=12，CE=6，F为AE的中点．(1）如图1,若CF=2，则BE=4，若CF=m，BE与CF的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．(3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D,使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．考点：两点间的距离;一元一次方程的应用．分析：（1)先根据EF=CE﹣CF求出EF，再根据中点的定义求出AE，然后根据BE=AB﹣AE代入数据进行计算即可得解;根据BE、CF的长度写出数量关系即可；（2）根据中点定义可得AE=2EF,再根据BE=AB﹣AE整理即可得解；(3）设DE=x，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE=2CF求解得到x的值，再求出DF、CF，计算即可得解．∵F为AE的中点,∴AE=2EF=2×4=8，∴BE=AB﹣AE=12﹣8=4,若CF=m，则BE=2m，BE=2CF；（2）（1）中BE=2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，∴AE=2EF,∴BE=AB﹣AE，=12﹣2EF，=12﹣2（CE﹣CF），=12﹣2（6﹣CF），=2CF；（3）存在，DF=3．理由如下:设DE=x,则DF=3x,∴EF=2x,CF=6﹣x，BE=x+7,由(2）知:BE=2CF，∴x+7=2（6﹣x），解得，x=1，∴DF=3，CF=5，∴=6．点评：本题考查了两点间的距离，中点的定义，准确识图，找出图中各线段之间的关系并准确判断出BE的表示是解题的关键．7．已知:如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上,D在线段BM上）(1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时,总有MD=3AC，直接填空：AM=AB．（3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．考点：比较线段的长短．专题: 分类讨论．分析：（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；（2)根据图形即可直接解答;(3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时,②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．解答：解:(1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cm∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm∴AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣6=2cm（2）（3）当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN∴BN=AM=AB，∴MN=AB，即．当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB∴MN=AB，即．综上所述=点评：本题考查求线段的长短的知识，有一定难度,关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3,0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1)如果点P到点M,点N的距离相等，那么x的值是﹣1；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在,请说明理由．（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1)根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（﹣3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时,②当点M和点N在点P两侧时求出即可．解答:解：（1）∵M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P到点M,点N的距离相等，∴x的值是﹣1．(2）存在符合题意的点P，此时x=﹣3.5或1。

学生做题前请先回答以下问题
问题1：动点问题的处理框架是什么？
问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？
动点问题（一）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.如图，在平行四边形OABC中，顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，且∠AOC= 60°，OC=2cm，OA=4cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿折线OA-AB运动；动点Q 从点O同时出发，
以相同的速度沿折线OC-CB运动．当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）设△OPQ的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，根据表达的不同，t的分段应为( )
A. B.
C. D.
2.（上接第1题）（2）S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向以1cm/s的速度向点E匀速运动；点Q从点B同时出发，沿BA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止．连接PQ，设运动的时间为t（s），解答下列问题：
（1）当PQ⊥AB时，t的值为( )
A. B.
C.3
D.
4.（上接第3题）（2）当点Q在线段BE上运动时，设五边形PQBCD的面积为，则y与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
5.（上接第3，4题）（3）在（2）的条件下，若存在某一时刻t，使PQ将四边形BCDE分成面积之比为1:29的两部分，即，则t的值为( )
A.2
B.
C. D.。

数轴上的动点问题（一）教师版 一、知识要点1、数轴上两点间的距离：A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，则线段AB的长度为b a -；2、数轴两点对应线段的中点：求中点，平均数如图，A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，则线段AB 的中点M 对应的数为2a b+； 解：设M 点对应的数为x （请在图中标记x ）.则有：MA= ，BM= ，∵M 为线段AB 的中点，∴MA=BM ，∴ ，∴x = ，即点M 对应的数为 . （a 、b 的平均数）二、典型例题例1．小涛在纸上画一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上A 、B 两点之间的距离为2014（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经上述折叠后重合，则A 点表示的数为（ C ）A ．－1006B ． －1007C ． －1008D ． －1009练习1一条数轴由点A 处对折，表示数－50的点恰好与表示数5的点重合，则点A 表示的数是 ．解：－22．5例2.已知数轴上点A 、B 对应的数分别为－8、16.点P 、点Q 为两个动点，点P 从A 点以6个单位长度每秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位长度每秒向左运动.(1)设运动时间t ，运动t 秒后，点P 对应的数是 ，点Q 对应的数是 . (2)当点P 与点Q 的距离为4个单位时，求t(1)-8+6t 16-2t (2) 26)216()68-=--+t t （解得411=t ， 415=t练习2（武珞路2015期中）已知点A 、B 在数轴上表示的数分别为a 、b 且满足|a －2|与(b －90)2互为相反数 (1) a 值为_________，b 值为_________(2) 一只电子狗P 从点A 出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度；另一电子狗Q 从点B 出发，向左运动运动，速度为每秒3个单位长度，且Q 比P 先运动2秒．已知在原点O 处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动，问电子狗P 经过多少时间，有P 、Q 两只电子狗相距70个单位长度？解：(1) a ＝2，b ＝9 (2) t=3或68例3.已知数轴上点A 、B 对应的数分别为－3、9(1) 数轴上是否存在点M ，使得MA ＝2MB ？若存在，请求出点M 所对应的数；若不存在，说明理由x(2) 点P 、点Q 为两个动点，点P 从A 点以3个单位长度每秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位长度每秒向左运动，若AP ＋BQ ＝2PQ ，求时间t 解：(1) 设M 对应的数为x当M 在A 、B 之间时，MA ＝x ＋3，MB ＝9－x ∴x ＋3＝2(9－x )，x ＝5当M 在B 点右侧时，MA ＝x ＋3，MB ＝x －9 ∴x ＋3＝2(x －9)，x ＝21 (2) 设运动的时间为t P 对应的数为：－3＋3t Q 对应的数为：9－2t∴PQ ＝|－3＋3t －(9－2t )|＝|5t －12| ∴3t ＋2t ＝2|5t －12|＝|10t －24| 当3t ＋2t ＝10t －24时，t ＝524 当3t ＋2t ＋10t －24＝0时，t ＝58 练习3（梅苑2016期中）已知数轴上点A 、B 对应的数分别为b a ,，且满足()0632=-++b a（1）填空：=a，=b 。

七年级数学上册数轴上的动点问题专题训练(一)七年级数学上册数轴上的动点问题专题训练（一）前言：数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

为了便于我们对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差，用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。

在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b，向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析。

在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

一、基础能力过关测试1.数轴上表示-5的点离原点的距离是5个单位长度，数轴上离原点6个单位长度的点有两个，它们表示的数是1和-1.2.数轴上的A点与表示-3的点距离4个单位长度，则A 点表示的数为-7.3.数轴上A、B两点离原点的距离分别为2和3，则AB 间距离是5.4.点A、B在数轴上对应的数分别是m、n，（n在m的右边）。

则AB间距离是n-m。

5.数轴上表示x和-2的两点间距离是|x+2|。

若|x+2|=5，则x=3或x=-7.6.若|a|=|b|，则a、b的关系是a=b或a=-b。

若|x−3|=|4−2x|，则x=2或x=5.7.若点A、点B表示的数分别是-2、6，则AB的中点为2.若点A、点B表示的数分别是a、b，则AB的中点为(a+b)/2.二、例题解析例1】如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发，向数轴正方向运动，A的速度为a个单位长度/秒，B的速度为b个单位长度/秒，且a、b满足(a^2)2<b^2<5a^21）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动到3秒时的位置；2）若A、B两点在（1）中的位置，在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点对应的数；3）若A、B两点从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好在两个动点的正中间；4）若A、B两点从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，问几秒后点A和点B相距2个单位长度；例2】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为-40和20.点A 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）。

完整版)初一平面直角坐标系动点问题(经典难题)一）找规律1.如图1，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动。

在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后按照箭头所示方向跳动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…），每秒跳动一个单位。

那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（4，1），因此答案为A。

2.如图2，所有正方形的中心都在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行。

从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示。

顶点A55的坐标是（54，54），因此答案为A。

3.如图3，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中点的坐标分别为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…的规律排列。

根据这个规律，第2015个点的横坐标为1，因此答案为A。

4.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按照向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图3所示。

1）填写下列各点的坐标：A1（0，1），A3（2，1），A12（6，﹣2）；2）点A4n的坐标为（2n，﹣2n+1）；3）蚂蚁从点A100到A101的移动方向为向上。

5.观察下列有序数对：（3，﹣1），（﹣5，0），（7，﹣1），（﹣9，0），…根据你发现的规律，第100个有序数对是（195，﹣1）。

6.观察下列有规律的点的坐标：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，0），A4（8，1），…依照规律，A11的坐标为（1024，1），A12的坐标为（2048，0）。

7.以原点为起点，正东，正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系。

一个机器人从原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2，再向正西方向走9米到达A3，再向XXX方向走12米到达A4，再向正东方向走15米到达A5，按此规律走下去，当机器人走到A6时，A6的坐标是（﹣3，﹣3）。

等边三角形动点问题(一)等边三角形动点问题问题描述•在一个等边三角形ABC中，点M可以在边AB上移动，点N可以在边AC上移动，点P可以在边BC上移动。

当M、N和P移动时，使得三角形MNP的面积保持不变，求证：M、N和P三点共线。

解释说明1.等边三角形性质：等边三角形三边相等，三个内角都为60度。

2.面积保持不变的条件：三角形面积等于底边长度与高的乘积的一半，因此要使MNP的面积保持不变，需要保持MNP的底边长度与高不变，即AM/AE = BN/BO = CP/PD（其中E、O、D为三角形ABC的三个垂足）。

3.共线的条件：由于AM/AE = BN/BO = CP/PD成立，根据共线性的定理可知M、N和P三点共线。

相关问题针对等边三角形动点问题，还可以进一步探讨以下问题：1.等边三角形的特点有哪些？–等边三角形的三条边相等。

–等边三角形的三个内角均为60度。

–等边三角形的三条高、三条中线和三条角平分线都重合。

–等边三角形的外接圆与内切圆半径相等。

2.证明等边三角形MNP的面积保持不变的过程是怎样的？–根据等边三角形的特点，三角形MNP的三边分别与三角形ABC的三边平行。

–对于M、N和P，可以分别证明AM/AE = BN/BO = CP/PD，即M、N和P到相应垂足（E、O、D）的距离比例恒定。

–利用距离比例恒定可以推导出M、N和P三点共线，进而推导出MNP的面积保持不变。

3.是否存在其他能使等边三角形MNP的面积保持不变的动点？–可以在等边三角形的内部或外部取其他点C’、A’、B’，并使点M、N和P分别在线段A’B’、B’C’和C’A’上移动。

–同样可以证明在这种情况下，M、N和P仍然共线，且MNP 的面积仍然保持不变。

4.如何利用计算机方法探索等边三角形动点问题？–可以利用计算机绘制等边三角形ABC和动点M、N和P，并通过编写程序来模拟动点的移动。

–可以计算并比较不同动点位置下MNP的面积，验证面积是否保持不变。

七年级动点问题详解(一)七年级动点问题解析什么是动点问题？动点问题是数学中的一个重要概念，在七年级的学习中经常会遇到。

它涉及到物体在运动过程中的位置和时间的关系，需要通过数学方法进行分析和解决。

动点问题的类型动点问题可以分为以下几种类型：1.直线运动问题：物体在直线上匀速或者非匀速运动，通过已知的速度和时间，计算出位移、距离等信息。

2.圆周运动问题：物体在圆周上匀速或者非匀速运动，通过已知的角速度和时间，计算出角度、弧长等信息。

3.抛体运动问题：物体在竖直方向上抛出，受到重力的作用，通过已知的初速度和时间，计算出最高点高度、落地时间等信息。

解决动点问题的步骤解决动点问题可以按照以下步骤进行：1.确定问题类型：首先需要明确问题是直线运动问题、圆周运动问题还是抛体运动问题，根据问题的描述确定问题所属类型。

2.建立坐标系：根据问题中的描述，建立合适的坐标系，一般选择与问题相关的直角坐标系或极坐标系。

3.确定已知条件：根据问题的描述，确定已知条件，包括物体的初速度、时间、速度等信息。

进行标记。

4.设定未知量：确定需要计算的未知量，根据问题的要求，可能是位移、距离、时间、角度等信息。

5.进行计算：根据已知条件和未知量，利用相应的运动方程或几何关系进行计算，得出结果。

6.检查答案：回顾问题的要求，将答案与问题对应，确保计算结果符合实际意义。

动点问题的注意事项在解决动点问题时，需要注意以下几点：•注意单位：在计算过程中，要确保所采用的单位统一，避免因单位不一致而导致计算出错。

•切勿取近似值：在计算中，应尽量保留结果的精确性，不要轻易取近似值。

只有在实际问题中对精确度要求不高时，才可以适当进行近似处理。

•关注问题的实际意义：动点问题的目的是为了解决实际问题，因此在计算过程中，要时刻关注问题的实际意义，将计算结果以合理的方式作出解释。

动点问题的应用领域动点问题不仅在数学学科中有应用，还广泛应用于其他科学领域，如物理学、机械工程等。

1.1 因动点产生的相似三角形问题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A 和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，-．所以AH＝1，OH A(1因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，-，可得设y＝ax(x－2)，代入点A(1a=．图23所以抛物线的表达式为2(2)333y x x x x =-=-．（2）由221)y x x ==-得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1-、B (2,0)、M (1,)3-，得tan ABO ∠=AB =OM =所以∠ABO ＝30°，OAOM= 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC =．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图51.2因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ． 因此△PDM ∽△QDN ．所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图2 图3 图4①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)．（2）直线DB 的解析式为142y x =-+． 由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42Q m m m --．所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++．当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)． 所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-．①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图41.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个，符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个．请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，MN 有4次机会等于3，这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个，而符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个．思路点拨1．第（2）题求∠ABO 的正切值，要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN ＝y M －y N ＝BC ，并且检验x 的值是否在对称轴左侧．满分解答（1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,164 3.c b c =⎧⎨-++=⎩解得92b =，c ＝1． 所以抛物线的解析式是2912y x x =-++． （2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5． 如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ．在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5AOH OBC ∠=∠=，所以4sin 5AH OA AOH =⋅∠=． 图2 所以35OH =，225BH OB OH =-=．在Rt △ABH 中，4222tan 5511AH ABO BH ∠==÷=．（3）直线AB 的解析式为112y x =+．设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1(,1)2x x +，那么2291(1)(1)422MN x x x x x =-++-+=-+．当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3．解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3．因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9(1,)2（如图3）．图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得2x =5）．所以符合题意的点M 有4个：9(1,)2，11(3,)2，(2，(2+．1.5 因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73t a n =∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P 向右运动，可以体验到，D 、P 间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE 与∠PDH 保持相等．请打开超级画板文件名“12松江24”， 拖动点P 向右运动，可以体验到，D 、P 间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE 与∠PDH 保持相等，tan 0.43DPE ∠≈，四边形BDEP 的面积为24．思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A 、B 、C 、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D 、P 两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE 的正切值中的7的几何意义就是D 、P 两点间的垂直距离等于7，那么点P 向右平移到直线x ＝3时，就停止平移．满分解答（1）直线y ＝3x －3与x 轴的交点为A (1，0)，与y 轴的交点为B (0,－3)． 将A (1，0)、B (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2x ＋c ， 得20,3.a c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得1,3.a c =⎧⎨=-⎩所以抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3． 对称轴为直线x ＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B 关于直线l 的对称点C 的坐标为(－2,－3)． 因为CD //AB ，设直线CD 的解析式为y ＝3x ＋b ， 代入点C (－2,－3)，可得b ＝3．所以点D 的坐标为（0，3）．②过点P 作PH ⊥y 轴，垂足为H ，那么∠PDH ＝∠DPE ．由73tan =∠DPE ，得3tan 7PH PDH DH ∠==．而DH ＝7，所以PH ＝3．因此点E 的坐标为（3，6）． 所以1()242BDEP S BD EP PH =+⋅=梯形．图2 图3考点伸展第（2）①用几何法求点D 的坐标更简便： 因为CD //AB ，所以∠CDB ＝∠ABO ．因此13BC OA BD OB ==．所以BD ＝3BC ＝6，OD ＝3．因此D （0，3）．1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1动感体验请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．思路点拨1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方． 4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --． 当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--．整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）． 所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．1.7 因动点产生的相切问题例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．（1）当1tan 2A =时，求AP 的长；（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到，等腰三角形QPO 与等腰三角形OAP 保持相似，y 与x 成反比例．⊙M 、⊙O 和⊙Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到， y 与x 成反比例．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为0.82，⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为9，⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切．思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32．解得m =24AP AH m ===．（2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？ 同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3． 由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt △BEE ′中，BE ＝3，EE ′＝m ，所以BE ′2＝9＋m 2． 所以A ′B 2＋BE ′2＝16＋(2－m )2＋9＋m 2＝2(m －1)2＋27． 所以当m ＝1时，A ′B 2＋BE ′2取得最小值，最小值为27．此时点A ′是AO 的中点，点E ′向右平移了1个单位，所以E ′(1,1)． ②如图4，当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标为8(,1)7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B 作y 轴的垂线l ，作点E ′关于直线l 的对称点E ′′， 所以A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋BE ′′．当A ′、B 、E ′′三点共线时，A ′B ＋BE ′′取得最小值，最小值为线段A ′E ′′．在Rt △A ′O ′E ′′中，A ′O ′＝2，O ′E ′′＝7，所以A ′E ′′ 当A ′、B 、E ′′三点共线时，''''''A O A O BO E O =．所以247m =． 解得87m =．此时8'(,1)7E ．。

2012年数学中考动点问题一（单点与双点以及函数中的运动）一、单点运动［例1］如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x ，6x 21y +-=的图象交于点A 。

动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ//x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与ΔOAB 重叠部分的面积为S 。

（1）求点A 的坐标。

（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式。

（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 和ΔOAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是__________。

练习题1.如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4.（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标.图①y xEODCB A图②OAyEDCBPMNx·EDBCAQP二、双点运动例1：在三角形ABC 中,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

数轴类动点问题（一）（北师版）一、填空题(共5道，每道18分)1.已知：c是最小的两位正整数，且a，b满足，请回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值：a=____，b=____，c=____.答案：-26, -10, 10解题思路：解：（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足∴c=10，a+26=0，b+c=0∴a=-26，b=-10，c=10故答案是：-26，-10，10试题难度：一颗星知识点：动点问题2.（上接第一题）（2）在数轴上a，b，c所对应的点分别是A，B，C.①记A，B两点间的距离为AB，则AB=____，AC=____；②点P为该数轴上的动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP=____，PC=____.答案：16, 36, x+26, 10-x解题思路：（2）①∵数轴上a，b，c三个数所对应的点分别是A，B，C，∴点A表示的数是-26，点B表示的数是-10，点C表示的数是10，所画的数轴如图所示：∴AB=-10-(-26)=16AC=10-(-26)=36故答案为：16，36；②∵点P为点A和点C之间一点，其对应的数为x，∴AP=x+26，PC=10-x；故答案为：x+26，10-x.试题难度：一颗星知识点：动点问题3.如图，已知点A，B，C为数轴上的三点，点C表示的数为9，BC=6，AB=18，O为数轴原点.（1）数轴上点A表示的数为____；点B表示的数为____.答案：-15, 3解题思路：解：（1）∵BC=6，AB=18∴AC=6+18=24∴点A表示的数为：9-24=-15点B表示的数为OB=9-6=3故答案为：-15，3；试题难度：一颗星知识点：动点问题4.（上接第三题）（2）若动点P从A出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M为AP中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点M表示的数为____.（用含t的式子表示）答案：-15+3t解题思路：（2）如图1，∵AP=6t，M是AP的中点，∴AM=3t∵OA=15∴OM=15-3t∵点A表示的数是-15∴数轴上点M表示的数为：-15+3t故答案为：-15+3t试题难度：一颗星知识点：动点问题5.（上接第三题）（3）若动点P，Q同时从A，C出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动．N在线段PQ上，且PN=PQ，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点N表示的数为____（用含t的式子表示）．答案：5t-7解题思路：（3）∵AP=6t，CQ=3t∴PQ=OP+OQ=15-6t+9+3t=24-3t∵PN=PQ∴PN=(24-3t)=8-t①当N在O的左边时，如图2，ON=OP-PN=7-5t，则点N表示的数为：5t-7；②当N在O的右边时，同理得：ON=PN-OP=5t-7，则点N表示的数为：5t-7；综上所述，点N表示的数为：5t-7；故答案为：5t-7试题难度：一颗星知识点：动点问题。