八年级数学二次根式综合应用讲义

八年级下册数学二次根式知识点PPT 在八年级下册数学中，二次根式是必须要学习的知识点之一。

在这个学习过程中，老师可能会使用PPT演示来帮助学生更好地理解和掌握这个知识点。

本文将介绍八年级下册数学二次根式知识点PPT的内容和结构，以及如何根据PPT来巩固学习。

PPT的主要内容
1. 二次根式的定义和概念：通过图片和文字来解释定义和基本概念，包括二次根式的含义、形式等。

2. 平方差公式和完全平方公式：通过实例演示和公式推导来介绍平方差公式和完全平方公式，使学生能够几何和代数两个层面理解二次根式知识点。

3. 化简二次根式：通过实例演示来展示如何化简含有二次根式的代数式，但化简过程较为复杂，需要反复练习。

4. 二次根式的加减乘除：说明含有二次根式的代数式的加减乘除运算规律，并结合实例讲解具体操作方法。

PPT的学习策略
1. 认真查看PPT内容：在老师或自己演示PPT的过程中，需要认真查看PPT的每一个内容，理解公式的来源、准确性和应用。

2. 积极思考和提出问题：在学习过程中需要积极思考问题，并
向老师提出困惑和疑问，帮助更好地理解知识点。

3. 利用课后习题巩固和扩展：针对所学知识点的问题，可以在
老师的辅导下或自己学习习题集进行习题练习，巩固和扩展所学
的解决方案。

4. 借助各类教育工具提高学习效果：在学习过程中，可以借助
包括试题、考试、模拟考试、研究、替代题，乃至华容镇之战等
各类教育工具来提高学习效果和成果。

总之，通过PPT演示的方式，八年级下册数学二次根式知识点
得到了较为简单和生动的解释，在认真学习和巩固练习的过程中，学生能够更好地掌握这个知识点，进一步提升数学学习成绩。

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。

《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。

其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。

需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。

例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。

二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。

2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。

4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。

三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。

最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

学生：科目：数学第阶段第次课教师：郑海燕（滨江分校）课题二次根式的含义和性质的学习教学目标学习二次根式的含义，熟练掌握二次根式的性质和运算重点、难点1、掌握二次根式的性质；2、学习并且熟练掌握二次根式的运算；考点及考试要求1、学会运用二次根式的性质；2、学会二次根式的运算，包括二次根式的乘除运算；教学内容知识框架二次根式是初二下册第一章节的知识，学生要掌握二次根式的含义，理解何为二次根式；其次，二次根式的性质和运算是学生要掌握的重点和难点，也别是二次根式的运算，学生要熟练掌握，主要是乘法和除法的运算，掌握运算法则。

考点一：典型例题1、二次根式的含义和性质的学习（1）、二次根式的含义直角三角形的斜边长是：24a厘米；正方形的边长是：3-b厘米；等腰直角三角形的边长是：S2厘米；像24a +、3-b 、S 2这样表示的算式平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式；另外，像一个数的二次根式，如2、15这样的式子也叫做二次根式；根据算式平方根的意义，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或者等于零；（2）二次根式的性质例题分析：2的平方根是什么？什么数的平方是2？（2±）根据上面的式子，我们得到：（2）2=2， （－2)2=2由上面的提问得到什么样的结论？()a a =2注意：这里要注意，a 不能小于0，即a ≥0；根据所学知识，我们知道： 性质一：2a==a ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a性质二：一般地，二次根式的积与商的性质：积的性质：ab =a ·b (a≥0,b≥0);商的性质：a b=a b（ a≥0,b ＞0）知识概括、方法总结与易错点分析学习并且熟练掌握二次根式的性质，包括二次根式的化简和二次根式的乘除运算；针对性练习 1、计算 （1）、22)15()10(--（2）、[]222)2(22+∙--2、计算下面式子的值 （1）、（-222)2004()4()5-+--（2）、222)12()6()3-+--（（3）、3254)3253(2-+-考点二：典型例题1、二次根式的运算 （1）、二次根式的乘除运算法则 )0,0();0,0(>≥=≥≥=⨯b a ba b a b a ab b a注意：① 被开方数是带分数要先化成假分。

二次根式的概念专题讲义知识准备平方根的性质：正数有个平方根，它们；0的平方根是；负数平方根。

一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”称为（二次）根号．注：开平方时，被开方数a的取值范围（为什么？）例1．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？例2、当x+在实数范围内有意义？例3=0，求a2004+b2004的值．练习(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、x>0）、、、（x≥0，y•≥0）是二次根式的有：不是二次根式的有：（2）当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？a5二次根式的性质1a≥0）是一个非负数2、理解二次根式的两个性质（2=a（a≥0）和（a≥0）。

探究（—）当a>0a 0;当a=00 0.概括:探究（二）根据算术平方根的意义填空：）2=_______；是4411x+1x1x y+）2=4．）2=_______；2=______；）2=_______．概括:例题与练习：计算（1）2（2）（2（3）（）2；)3(2-=；)21(2-= ；。

二次根式的性质：练习：1、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A、a>0 B、a≥0 C、a<0 D、a=0 2有意义，则x的取值范围为（）A、x>3B、x≥3C、x<3 D．x=33、（2=________；=________4x的取值范围是_______5是一个正整数，则正整数m的最小值是________．6、计算（1）2（2）-2（3）（）27=0，求x y的值．二次根式的乘法用“>、< 或＝”填空．，94⨯094⨯归纳:对二次根式的乘法规定为12反过来:例题与练习计算①2×5②3×12③×④化简④324ba计算(1)14×7（2）35×（3）x3·xy31判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4=4=8计算：（1）24×27（2）6×（—15）（3）18×20×75（4）54332⨯⨯2、下列各等式成立的是（）．A、、、、二次根式的除法二次根式的除法公式：________________________(_____________________)计算（1）624（2)440（3）23101÷计算：（1（2）39（3）3135÷计算：（1（2（3（4）515（5）a2a6÷（6）5b220ab÷=最简二次根式：二次根式的加减复习、类比1、什么是同类项？2、合并同类项（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2类比回答：（1）2x 4与-5x 4是 项 （2）3532-与是 二次根式。

8年级下册数学二次根式课程讲解八年级下册数学二次根式课程讲解一、课程概述二次根式是八年级下册数学中的一个重要内容，它涉及到对实数的简化、四则运算以及根式的性质等方面的知识。

通过学习二次根式，学生可以加深对实数域的理解，提高数学运算能力，并为后续学习一元二次方程等知识打下基础。

二、课程目标1. 理解二次根式的概念，掌握根号的书写规则。

2. 掌握二次根式的性质和运算方法，包括简化、合并同类项、加减法、乘除法等。

3. 理解二次根式的应用，能够解决与二次根式相关的实际问题。

三、课程内容1. 二次根式的定义与性质定义：如果一个数的平方等于一个给定的数，则这个数称为给定数的平方根。

例如，4的平方根是±2。

性质：非负实数都有唯一的非负平方根；正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；0的平方根是0。

2. 二次根式的运算加减法：同类项的二次根式可以进行加减运算，例如：±√ab（a≥0，b≥0）。

乘除法：二次根式可以与有理数进行乘除运算，例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。

3. 二次根式的简化利用二次根式的性质，可以化简复杂的二次根式。

例如：√(ab^2) = b√a （a≥0，b≥0）。

4. 二次根式的应用通过解决实际问题，学生可以加深对二次根式的理解。

例如：求一元二次方程的解、计算面积和体积等。

四、教学建议1. 注重实际应用：通过解决实际问题，让学生更好地理解二次根式的概念和运算方法。

2. 强化运算训练：加强学生的运算能力训练，提高学生的计算速度和准确性。

3. 引导学生自主学习：引导学生自主学习，通过独立思考和合作探究的方式，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

八年级初二二次根式复习讲义(非常全面)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是．举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（）A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三：111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。

已知a 5整数部分，b 5的小数部分，求12a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4.公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。

二次根式的综合运算内容分析分母有理化和二次根式的综合运算是八年级数学上学期第一章第二节内容．分母有理化是“数与代数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据．一方面，它是在学习了平方根基础之上对实数的进一步深入；另一方面，又为学习二次根式的混合运算、一元二次方程、二次函数等知识奠定基础．二次根式的综合运算是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，掌握好方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力．知识结构模块一：分母有理化知识精讲1.分母有理化：（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．（2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．班假暑级年八2 / 122. 有理化因式：（1） 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．【例1】把下列各式分母有理化．（1）2(1)24a a -+； （2）2xy y x y--+．【例2】把下列各式分母有理化．（1）474+7-； （2）35233523-+； （3）b ba a -+．【例3】把下列各式分母有理化．（1）1111a a a a ++-+--； （2）()1011x x x x x--≤≤-+．【例4】化简： （1）4923m n m n-+； （2）()()2x xy y x y -+÷-； （3）xy y x xy--．例题解析【例5】解下列方程．（1）()1215=；（2）4)1)x x =+．【例6】解下列方程组．（1）1x =-=⎪⎩；（2）21==．【例7】解下列不等式．（11-<；（24x +【例8】已知x =班假暑级年八4 / 121、二次根式的混合运算（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用； （2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．【例9】化简：（1）2x y xyx y x yx y++---+；（2）22b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）(236)(236)-++- ．例题解析知识精讲师生总结1、 什么叫作分母有理化？2、 分母有理化的方法是什么？3、 什么叫作有理化因式？模块二：二次根式混合运算【例10】 已知：a ，b =，求22a ab b -+的值．【例11】a ，小数部分是b ，试求(21a ab +的值．【例12】 已知a b -=，b c -=，求 222a b c ab bc ac ++---的值．【例13】 计算：（1；（2）0,0)x y÷>>．【例14】下列分母有理化计算.===， ……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002++.班假暑级年八6 / 12【例15】 已知2222a b =+=-求代数式：()b aab a b ab bab aa ba b-+÷⋅+-++的值．【例16】先化简再求值：4[]()()()a b a b a b a b ab b a ab+-+÷+--，其中3a =，4b =．【例17】 已知451a =-，求出321212a a a ---的值．师生总结1、 二次根式混合运算的法则是什么？【习题1】 化简下列各式． （1）535353--+；（2）23773273⎛⎫-++ ⎪ ⎪-⎝⎭； （3）()()362185438-÷+；（4）111355773---+-．【习题2】 化简下列各式． （1）()m n m n m n-≠-； （2）x xy xy y++； （3）121+x x x++．【习题3】 化简下列各式．（1）221111x x x x +++-+； （2）473132x x x x ----+--．【习题4】【习题5】 解下列方程组或不等式． （1）22623x x +>； （2）155()3()53x x +=+； 随堂检测（3）==．【习题6】 化简求值：22222a ab b a b ++-，其中a =，b =【习题7】（1）；（2-÷+；（3）．【习题8】 已知：x =，y ，求x yy x+的值．【习题9】 已知：x y =【习题10】 若a =，求54321996a a a --的值．班假暑级年八10 / 12【作业1】 计算． （1）a b a b -+； （2）11n n n n +-++；（3）35353535-+++-（3）53(5225)(5225)53---÷++．【作业2】 计算． （1）21a a a++； （2）222424x x x x x x++++-+．【作业3】 化简并求值：x xy xy y xy yx xy+-++-，其中23x =+，23y =-．【作业4】 已知：3a b +=，1ab =，且a b >，求a b a b-+的值.．课后作业【作业5】 1的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b a b ++的值．【作业6】 已知x ，求2222321111x x x x x x x --⎛⎫-+-÷ ⎪-⎝⎭的值．【作业7】 已知x y ==，求代数式22353x xy y -+的值．【作业8】 已知x y ==，求下列各式的值：（1）225x xy y -+； （2-【作业9】已知x =时，求321x x x --+的值．【作业10】2003++。