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初三数学二次三项式的因式分解教学优化设计【概念与规律】1.若方程ax2+bx+c=0(aM0)的两实根为xl,x2,则二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可因式分解成ax2+bx+c=a(x—x1)(x—x2).2.用公式法分解二次三项式时要注意：(1)右边不能遗漏二次项系数a.(2)若xl,x2的分母的积恰好是a的约数时，则将a分解成两个适当的数的积，分别乘入两个括号中，约去分母；若xl,x2的分母的积不是a的约数时，则a仍保留在括号外.(3)当4V0时，则二次三项式在实数范围内不能分解因式.【讲解设计】•重点与难点例1在实数范围内分解因式：分析直接运用公式可进行因式分解.例2在实数范围内分解因式：(1)2x2－8xy＋5y2；(2)3x2y2－5xy－1.分析(1)将它看成关于x的二次三项式，运用公式法分解因式；(2)将它看成关于(xy)的二次三项式，运用公式法分解因式.例3在实数范围内分解因式：(1)4x2＋8xy－y2；(2)x4－2x2－3.分析(1)将它看成关于x的二次三项式运用公式法分解因式；(2)先用十字相乘法，再在实数范围内运用平方差公式进行因式分解.例4在实数范围内分解因式：(2)(x2＋1)(x2＋2)－73.分析(1)将它看成关于x的二次三项式，但要注意根式运算的准确性；(2)展开后转化为双二次型的因式分解.(2)(x2＋1)(x2＋2)－73=x4＋3x2－70=(x2＋10)(x2－7)=(x2＋【讲解设计】•思路与方法例5若2x2—3x+m+1可以在实数范围内分解因式，求m的取值范围.提示二次三项式在实数范围内能分解因式的条件是对应的二次方程根的判别式△三0.例6分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：(x2—5x+4)(x2+9x+18)+180.提示原式=(x—1)(x—4)(x+3)(x+6)+180=(x2+2x—3)(x2+2x—24)+180,转化为(x2+2x)的二次三项式.但要注意两种不同的分解范围.【练习设计】•识记与理解1.填空题：(1)若x1,x2是ax2+bx+c=0(aM0)的两个根，则二次三项式ax2+bx+c分解因式的结果为.(2)分解因式x2—2xy—3y2=.(3)在实数范围内分解因式x2—x—1=.(4)若2x2—3x+m—1是一个完全平方式，则m=；若它能在实数范围内分解因式，则m的取值范围是.2．选择题：(1)在实数范围内分解x4—16为[]A．(x2＋4)(x2－4)B．(x2＋4)(x＋2)(x—2)(2)二次三项式2x2—5x+1在实数范围内分解因式，其结果为[]3．在有理数范围内分解因式：(1)x＋2—x2；(2)—12z2—xyz＋x2y2；(3)(x2＋xy＋y2)(x2＋xy＋2y2)—12y4；(4)(x2＋x)2—2(7x2—12＋7x)．4．在实数范围内分解因式：(1)4x—4x2＋1；(3)(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋15；(4)(x2—7x＋6)(x2—x—6)＋56．【练习设计】•巩固与掌握在实数范围内因式分解的结果是什么？6.设x2—2kx+k=0有相等的两正根，试将二次三项式x2—(k+3)x+k在实数范围内分解因式．7.将x4—4在实数范围内分解因式，其结果共有几个含有x的代数式的因式(因式1除外)？这几个因式中，对任何实数x,哪个的值最小？8.若二次三项式x2+mx+n(nM0)可因式分解成(x—m)(x—n)，求m与n的值.9.已知：a，b分别是等腰三角形的一腰和底边的长.求证：关于x的二次三项式x2—4ax+b2一定能在实数范围内分解因式.10.在实数范围内分解因式：x2—px+q=(x—2)(x—3)，请写11.若多项式xmyn+x2y2+xy—1是一个五次四项式(m,n都是大于1的正整数)，试将二次三项式x2+(m+n)x+(—mn)分解因式.12.求证：对任何有理数a,x2+2ax+a2—2在有理数范围内总不能因式分解，而在实数范围内总能因式分解.13.已知a2+b2—2a—2b+2=0,m，n是方程y2—3y+2=0的两个根(m>n)，试将xa+b+mx+n 在实数范围内分解因式.【练习设计】•拓展与迁移14.已知在RtAABC中，ZC=90°,ZB=60°,a、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对边.试判断二次三项式ax2+bx+c能否在实数范围内分解因式，如果能，请写出分解的结果；如果不能，请说明理由.15.设m为正整数，x2—4x+m能在有理数范围内分解因式，(1)求出m的值；(2)对于所有可能的m值，写出这些多项式；(3)将写出的所有多项式相加，试问：相加后得到的多项式还能在有理数范围内分解吗？答案2.(1)B(2)D3.(1)—(x—2)(x+1)(2)(xy+3z)(xy—4z)(3)(x2+xy+5y2)(x—y)(x+2y)(4)(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋4)6.提示：先求k值，kl=l,k2=0(舍去)，再分解，x2—(k+8.m=l,n=—29.△=4(2a+b)(2a—b)，而2a+b,2a—b均大于011.(x＋6)(x—1)12.(1)A=8不是完全平方数(2)A=8>013.a=b=1，m=2，n=1，xa+b＋mx＋n=(x＋1)215.(1)m=3，m=4(2)x2—4x+3，x2—4x+4(3)2x2—8x+7,不能。
一、教学目标1.使学生理解二次三项式的意义;知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系;2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式;3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力;4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般;5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点难点疑点及解决办法1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法：二次三项式能分解因式二次三项式不能分解二次三项式分解成完全平方式三、教学步骤(一)教学过程1.复习提问(1)写出关于x的二次三项式?(2)将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①;②;③。
由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解(1)引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①;解：原式变形为。
，②;解原方程可变为观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
(2)推导出公式设方程的两个根为，那么，这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
(3)公式的应用例1 把分解因式解：∵方程的根是教师板书，学生回答。
由①到②是把4分解成22分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。
练习：将下列各式在实数范围因式分解。
(1);(2)学生板书、笔答，评价。
例2 用两种方程把分解因式。
方法一，解：方法二，解：，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。
二次三项式的因式分解（用公式法）（一）一、教学目标（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：二次三项式的因式分解–说课稿一. 教材分析全国初中数学教材中，二次三项式的因式分解是初中学段的重要内容，也是学生从小学阶段简单的一次方程、不等式过渡到初中阶段复杂的二次方程、不等式的关键。
本节课的内容为二次三项式的因式分解，通过学习本节课的内容，学生能够掌握因式分解的方法，提高解决数学问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了简单的一次方程、不等式，对解方程、解不等式的基本方法有一定的了解。
但二次三项式的因式分解相对于一次方程、不等式来说，难度较大，需要学生对数学知识有更深入的理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次三项式的因式分解的概念，掌握因式分解的方法，提高解决数学问题的能力。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次三项式的因式分解的概念和方法。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握二次三项式的因式分解方法，以及如何解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，结合多媒体课件、板书等教学手段，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，掌握二次三项式的因式分解方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对二次三项式的因式分解的兴趣，导入新课。
2.知识讲解：讲解二次三项式的因式分解的概念和方法，引导学生理解和掌握。
3.案例分析：分析一些典型的二次三项式因式分解的例子，让学生通过观察、思考、总结，加深对因式分解方法的理解。
4.小组合作：学生分组进行讨论，交流各自的解题方法，培养团队协作能力和解决问题的能力。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答，巩固所学知识。
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：二次三项式的因式分解–教学设计一. 教材分析二次三项式的因式分解是初中数学的重要内容，是学生掌握代数式分解和解决一元二次方程的关键。
通过学习，学生能够理解并掌握二次三项式的因式分解方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习二次三项式的因式分解前，已掌握一次三项式的因式分解和一元二次方程的基本概念。
但部分学生对因式分解的方法不够熟练，对二次三项式的因式分解过程理解不透彻，需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解二次三项式的因式分解的意义和作用。
2.让学生掌握二次三项式的因式分解方法，并能灵活运用。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：二次三项式的因式分解方法和步骤。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二次三项式的因式分解过程，以及如何运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的理解和运用能力。
六. 教学准备1.准备相关的学习材料和案例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次三项式的因式分解，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示二次三项式的因式分解的定义和意义，引导学生理解并掌握。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用二次三项式的因式分解方法进行解答，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）对学生的解答进行点评和指导，帮助学生理解和掌握二次三项式的因式分解方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将二次三项式的因式分解应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次三项式的因式分解的重要性和应用价值。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和关键步骤，方便学生复习和巩固。
第二十二章一元二次方程第九课初三（ ）班 姓名：_________ 学号：一、学习内容：二次三项式的因式分解。
二、学习目标：了解二次三项式的因式分解与解方程的关系，会利用一元二次方程求根公式在实数范围内将二次三项式因式分解。
三、学习过程：解方程： （1）3y 2-15=0 分解因式（1） 3y 2-15（2） 2x 2-6x+4=0 （2）2x 2-6x+4(3) 5x 2+6x-8=0 (3) 5x 2+6x-8观察上面的例子，猜想解方程与二次三项式之间的关系？填空：写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 的两个根x 1= 、x 2=计算x 1＋x 2= ，x 1?x 2= 。
则=a b ，=ac x 1?x 2 ∴ax 2＋bx ＋c =a(x 2＋a b x ＋a c ) =a [x 2-( x 1＋x 2)x + x 1?x 2]=a (x - x 1)(x - x 2)从上面的过程你想到什么？在分解二次三项式ax 2＋bx ＋c 的因式时，可先用公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0 的两个根x 1、x 2，然后写成 ax 2＋bx ＋c =a (x - x 1)(x - x 2) 。
四、分层练习：A 组：分解因式（1）x 2-5x ＋3 （2）2x 2-8xy ＋5y 2解：方程x 2-5x ＋3=0的根是 解：解关于x 的方程2x 2-8xy ＋5y 2=0得 x=2314552⨯⨯--±--）（）（ x=225248822⨯⨯⨯--±y y y ）（ =25±=y 24±∴x2-5x＋3=(x- )(x- ) ∴2x2-8xy＋5y2=2(x- y)(x- y) (3) x2-x-1 （4）p2-2p-4(5) 5x2+11x＋6 （6）2x2-4x-5(7) 6x2+x-15（8）3x2y2-10xy＋7B组分解因式：（1）42x2-85xy＋42y2 （2）-3m2-2m＋4(3) 14x2-67xy＋18y2（4）12x2-72xy＋2y2C组：分解因式（1）(x2+x)2-2x(x+1)-3。
对朱斌老师执教的《一元二次方程的应用——二次三项式的因式分解》的点评阅读了朱斌老师关于本节课的教学设计说明，并观看了课堂录像，我认为这是一堂注重学生数学思维，突现师生有效互动的数学味道浓郁的好课。
现就以下几个方面进行点评：一、关于教学目标朱斌老师认真分析了学生学习本课程的基础，包括知识、经验、能力、水平等，正确分析了所授课程的地位、作用、学习要求，在此基础上制定了切实可行的教学目标。
教学目标也较好地兼顾了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个维度。
其中特别强调“经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程”，体现了执教老师正确的教育理念、深刻的教材理解力和较强的课程实施能力，作为青年教师，难能可贵。
二、关于教学问题的分析与处理朱斌老师就数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本课程内容在教与学中可能遇到的障碍进行了全面、仔细的分析，并作了充分的预测，在此基础上指出了教学难点。
从课堂教学过程实录看，朱老师的分析是正确的，因此而采取的关于化解教学难点的设计是可行的，课堂具体的实施也是得当的，体现了执教老师良好的数学专业功底。
三、关于师生互动从教学过程设计与课堂教学实际对照来看，本节课的课堂生成十分精彩：对于224-+在实数范围内的分解问题，学生的“它无法在实数范围内分解”x x虽一语中的，但理由却是众说纷纭。
一度曾脱离课前教学设计的轨道。
面对授课班级学生如此活跃而广阔的思维，朱老师本着充分尊重学生的教学理念，和学生展开了充分而积极的数学交流，真正体现了“存疑、解释”和“归纳、释义”等过程。
在教学的其他环节，师生互动既体现在了语言的交流，还体现在了学习点评等活动中，同样充分而有效。
此中表现又一次体现了执教老师较为深厚的数学功底和不一般的教学能力。
四、关于学习成效由于思维过程的充分展现，也由于及时的真正意义上的存疑、解释和归纳、释义，使得学生清楚且较为深入地理解了所学内容，并较好地掌握了所学方法，这一点从课堂里学生的板书和投影的练习中可见一斑。
第二十二章一元二次方程第九课初三（ ）班 姓名：_________ 学号：一、学习内容：二次三项式的因式分解。
二、学习目标：了解二次三项式的因式分解与解方程的关系，会利用一元二次方程求根公式在实数范围内将二次三项式因式分解。
三、学习过程：解方程： （1）3y 2-15=0 分解因式（1） 3y 2-15（2） 2x 2-6x+4=0 （2）2x 2-6x+4(3) 5x 2+6x-8=0 (3) 5x 2+6x-8观察上面的例子，猜想解方程与二次三项式之间的关系？填空：写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 的两个根x 1=、x 2=计算x 1＋x 2=，x 1•x 2= 。
则=a b ，=ac x 1•x 2 ∴ax 2＋bx ＋c =a(x 2＋a b x ＋a c ) =a [x 2-( x 1＋x 2)x + x 1•x 2]=a (x - x 1)(x -x 2)从上面的过程你想到什么？在分解二次三项式ax 2＋bx ＋c 的因式时，可先用公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0 的两个根x 1、x 2，然后写成 ax 2＋bx ＋c =a (x - x 1)(x -x 2) 。
四、分层练习：A 组：分解因式（1）x 2-5x ＋3 （2）2x 2-8xy ＋5y 2解：方程x 2-5x ＋3=0的根是 解：解关于x 的方程2x 2-8xy ＋5y 2=0得 x=2314552⨯⨯--±--）（）（x=225248822⨯⨯⨯--±y y y ）（ =25±=y 24±∴x 2-5x ＋3=(x -)(x -) ∴ 2x 2-8xy ＋5y 2=2(x -y)(x-y )(3) x 2-x -1 （4）p 2-2p -4(5) 5x 2+11x ＋6 （6）2x 2-4x-5(7) 6x 2+x-15 （8）3x 2y 2-10xy ＋7B 组分解因式：（1）42x 2-85xy ＋42y 2 （2）-3m 2-2m ＋4(3)14x2-67xy＋18y2（4）12x2-72xy＋2y2C组：分解因式（1）(x2+x)2-2x(x+1)-3。
二次三项式的因式分解（用公式法）教学案（一）一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2相关资源关于网通联系我们用户注册隐私条款免责条款京ICP证020038协议.。
一元二次方程的应用（一）——二次三项式的因式分解教学设计说明上海民办兰生复旦中学朱斌一、内容与内容解析本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期§17.4（1）的内容．是一元二次方程的应用第一节课，内容是使用解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，在实数范围内来对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)因式分解．本课程是对七年级学习的因式分解的再思考，七年级第一学期的整式中，学生已经学习了在有理数范围内的因式分解，特别地，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，一般使用十字相乘法进行分解．在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解问题：（1）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？（2）如果可以在实数范围内分解，如何分解？（3）常数a,b,c满足什么条件时，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可以在有理数范围内分解？在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进行研究的基础．通过从特殊到一般的探究过程，使用学生比较熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分解，最终掌握通过解与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相联系的一元二次方程对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解的方法．同时，学生可以从无到有地对问题（1）、（2）进行研究，给有余力的同学提供思考问题（3）的基础，有利于学生以发展的眼光来认识数学．教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联系．同时，也为高中的进一步的数系扩充做准备，帮助学生在将来学习复数后，能够更加自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解．建立二次三项式ax2+bx+c(a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之间完整的对应关系．鉴于此，本课时的教学重点为：1、理解关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内进行因式分解的判据．2、掌握对于b2-4ac≥0的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的方法．二、目标与目标解析教学目标1．知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联系，会判断二次三项式在实数范围内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进行分解．2．经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，提高归纳、抽象概括的能力与代数式变形能力；在解题中体会化归的数学思想．3．在不断深入、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内在联系．三、教学问题诊断分析1．面对学生差异，重视因材施教授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体水平较高，理解能力和运算能力都比较强．同时，有部分同学在课余已经提前学习过该内容，知道通过解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)可以对ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多项式因式分解之间的内在联系．因此，本节课的核心任务有两个：（1）帮助学生掌握如何通过求解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解来对多项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．（2）揭示方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)和多项式ax 2+bx +c (a ≠0)因式分解的关系．因此，本课时通过具体的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习．课本中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式．然后，通过多项式展开和求根公式来进行证明．面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探索二次三项式因式分解方法，并通过具体问题加以验证．本节课中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，对二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行配方，通过配方成平方差（或平方和）的形式来处理．在此基础上直接发现二次三项式因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联系．让学生对这节课的知识点有更深入的理解和感受．2．唤醒相关旧知，铺设配方通途对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进行因式分解的合理方法．但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理．因此，在教学内容的引入部分，给出两个简单的因式分解问题，224,3x x --，帮助学生意识到，可以使用平方差的方法解决上述形式的二次二项式．对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)，则可以通过配方转化为上述的二次二项式的形式．练习题的前三个是变式训练：(1)2221(1)x x x -+=-；(2)223(1)(3)x x x x --=+-两题回顾七年级的做法，并帮助学生注意到他们之间的关系．(3)224x x --无法直接用过去的因式分解方法解决，此处学生若无法主动得出结论，引导学生关注(1)(2)(3)小题的联系，即：2223(1)4x x x --=--，2224(1)5x x x --=--．3．运用配方方法，得出初步结论学生运用配方方法，应该能够很好地处理问题(3)，2224(1)5(11x x x x x --=--=--+然后抛出问题(4)，研究224x x -+的因式分解这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法．经过尝试后，应该会得出无法因式分解的结论．但是可能会有以下几种情况，视具体情形来进行处理． (1)学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形：a) 无法清晰讲出原因；b) 应用配方：2224(1)3x x x -+=++得到平方和，所以无法分解；c) 过去提前学过，知道其与方程x 2-2x +4=0是否有实根有关，但是不知道原因． 对于情况b )的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法因式分解．对于情况c )的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容，并且告诉他们应该要理解每一个数学定理的来龙去脉．此时，可以提醒学生，将问题化归为23x +的因式分解研究，利用待定系数法，不考虑二次项系数，23x +一定分解为23()()x x m x n +=--，其中m 和n 为常数，于是，将得到：03a b ab +=⎧⎨=⎩，即a 2=-3，不存在实数a ，因此无法因式分解．同时也代表一切化为平方和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解． (2)学生能够解释原因因为部分学生能力较强，完全有可能有学生能够解释原因．应该都是想到使用待定系数法研究，2224()()4m n x x x m x n mn +=⎧-+=--⇒⎨=⎩，有以下几种可能：a) 通过代数式运算（比如：22240,()120m n m n +=-<-=-<等），得到矛盾． b) 利用特殊值法，若取x =m ，则m 2-2m +4=0，不存在这样的实数m ．c) 直接应用韦达定理，得到m 和n 为方程2240x x -+=的两根，得到矛盾． 对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进行思考．对于使用a ),b )方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生思考，怎样发现x 2-2x +4不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法．最终回到配方法，来进行说明．并让学生总结，得出初步结论：(1)如果可以通过配方转化为平方差的形式，则可以在实数范围内因式分解； (2)如果通过配方转为成为平方和的形式，则不可以在实数范围内因式分解．4．特殊走向一般，归纳最终结论让学生使用配方法研究：ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 因为之前很少遇到全为字母的形式，而且牵涉到比较复杂的讨论，学生可能会遇到的错误有以下几种，应用实物投影仪，进行展示，指出这些容易出错的地方，并由老师最终板演，让学生进行归纳：(1)22224()24b b ac ax bx c x a a -++=+-，学生直接将二次项系数a 除掉．让学生意识到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作．(2)22244b ac ax bx c a -++=-，学生默认a 是正数，并且直接将a 写成2，应当指出这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母a 提出来．(3)22224[()](24b b ac ax bx c a x a x x a a -++=+-=+，这种错误是不对24b ac -的正负进行讨论，直接开平方．(4)其他运算错误．老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性．在得到正确的结果后，由学生进行总结，并思考和已经学过的什么知识有联系．引导学生发现其与方程：20ax bx c ++=(a ≠0)之间的联系，并能用20ax bx c ++=(a ≠0)的求根来进行二次三项式：2ax bx c ++(a ≠0)的因式分解．学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是b 2-4ac ≥0的情况，对于给出最终结论可能有一定的难度．教师应写出来，帮助学生进行比较：20ax bx c ++=的两个实数根：12x x ==22224[()](24b b ac ax bx c a x a x x a a -++=+-=++12(()()a x x a x x x x =-=--，以得到最终结果．鉴于以上，本课时内容的教学难点如下：1、通过配方法研究多项式ax 2+bx +c 如何在实数范围内进行因式分解．2、通过对于ax 2+bx +c 的因式分解，发现其与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系．四、教学支持条件分析本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展示为主．通过师生之间的对话，关注怎么做？为什么？层层推进．借助不同的问题，不断深入研究，从特殊到一般，加深学生对该知识点的理解．（1）黑板 用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被遮住，主要进行一些解题过程的展示，右边黑板进行主要结论的推导和提纲性的说明．（2）实物投影仪 用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理解（3）投影仪 将总结内容做成PPT 进行投影，加深学生对于所学知识的印象．五、教学过程设计六、目标检测设计对于本课时的教学目标的检测，主要都放在教学的过程中穿插进行．本节课中，学生共要笔算三次问题，分别是：练习题：用已经学过的方法，对下列二次三项式进行因式分解．研究：使用配方法，研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．例题：使用解一元二次方程的方法，完成下列因式分解的问题．1．练习题（1）x2-2x+1 （2）x2-2x-3 （3）x2-2x-4 （4）x2-2x+4 先给出练习题（1）（2）（3），再巡视和展示完成后，再给出习题（4）继续研究．练习题（1）（2）着重在于唤醒学生对于因式分解基本方法的回忆，并体会本题组中贯穿的部分x2-2x，引导学生通过配方法对问题（3）（4）进行研究．根据前面的学习和铺垫，练习题（3）对于学生而言，最容易想到的方法就是配方法．此处应用配方法解决问题，加深学生对于配方的理解．老师在巡视过程中，观察学生本题的完成情况，了解学生配方以及多项式变形的能力．对于练习题（4），考察学生逻辑思维的严密，根据学生的回答加以引导，最终得到严格的证明．要求学生根据习题（3）、（4）能够归纳总结出初步结果，即用配方法判断二次三项式能否因式分解和如何因式分解．是对学生的理解和归纳能力的集中考察．2．通过配方法研究ax2+bx+c（a≠0）的因式分解本题是本节课的关键，目的在于通过本题的研究，得到通过解一元二次方程对二次三项式进行因式分解的方法．难度有二：（1）多项式的等价变换，根据前文所述学生的不同错误加以点评，锻炼学生的变形能力．（2）发现多项式因式分解和一元二次方程之间的关系．这里要求学生能够有较好的数学联想的能力，从已有的结果中，通过变形得到最终结论．3．例题运用解一元二次方程的方法，将下列多项式在实数范围内分解因式(1)x2+x-3 (2)2x2-3x-1 (3)x2+xy-3y2 (4)2x2-3xy-y2先给出前两个例题，通过板演和巡视，观察学生对于所学知识的掌握情况．关注学生对于公式能否正确应用．再给出习题(3)(4)．请学生口述，老师板演，考察学生能否使用化归的方法，将问题(3)(4)转化为问题(1)(2)，将字母y看作字母系数来处理．并通过含字母的方程的求根，得到所需的结果．考察学生课程所学知识的灵活运用，对于含字母问题的理解，以及代数运算的基本能力．在整个课堂教学的练习部分，安排充分时间让学生自主训练、由学生判断、给学生讲，让学生学会思考，学会质疑、评价和总结．。
