[精品]2019九年级数学下册 第7章 7.2 正弦、余弦 7.2.1 正弦、余弦同步练习2 (新版)苏科版

第7章 锐角三角函数7.2 第1课时 正弦、余弦知识点 1 正弦、余弦的定义1．如图7－2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，求sin A ，cos A 的值．图7－2－1解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝________． ∵∠A 的对边是________， ∠A 的邻边是________， 斜边是________，∴sin A ＝（ ）（ ）＝________，cos A ＝（ ）（ ）＝________．2．如图7－2－2，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.457－2－27－2－33．2017·怀化 如图7－2－3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α的值是( )A.35B.34C.45D.434．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sin B的值是________．5．如图7－2－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值．图7－2－46．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sin A和sin B的值．7．如图7－2－5，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝32，求sin B＋cos B的值．图7－2－5知识点 2 正弦值和余弦值的增减性8．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是( )A．sinα的值随α的增大而增大B．cosα的值随α的增大而减小C．tanα的值随α的增大而增大D．sinα，cosα，tanα的值都随α的增大而增大9．比较大小：(1)sin20°________sin21°；(2)cos20°________cos21°.知识点 3 用计算器求正弦值和余弦值10．用计算器求下列各值(精确到0.01)：(1)sin24°≈________；(2)sin68.25°≈________；(3)cos54°≈________；(4)cos38°36′≈________．图7－2－611．2018·丽水如图7－2－6，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB 与AD的长度之比为( )A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosβcosα图7－2－712．如图7－2－7，△ABC 的顶点都是小正方形组成的网格中的格点，则cos ∠ABC 等于( ) A.55 B.2 55C. 5D.2313．如图7－2－8所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A.23B.32C.34D.4314．已知抛物线y ＝x 2－2x －3上有三点A (cos10°，m )，B (cos20°，n )，C (cos40°，p )，则m ，n ，p 的大小关系为________．(用“＜”连接)7－2－87－2－915．2017·贵港 如图7－2－9，点P 在等边三角形ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P ′C ，连接AP ′，则sin ∠PAP ′的值为________．16．2017·上海 如图7－2－10，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC .(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为F ，求支架DE 的长．图7－2－1017．如图7－2－11所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，求cos ∠BAO 的值．图7－2－1118．2017·黔西南州 把(sin α)2记作sin 2α，根据图①和图②完成下列各题． (1)sin 2A 1＋cos 2A 1＝________，sin 2A 2＋cos 2A 2＝________，sin 2A 3＋cos 2A 3＝________； (2)观察上述等式猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，总有sin 2A ＋cos 2A ＝________； (3)如图②，在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想；(4)已知在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝1213，求cos A 的值．图7－2－12第7章 锐角三角函数 7.2 第1课时 正弦、余弦1．10 BC AC AB BC AB 35 AC AB 452．C [解析] cos B ＝BC AB ＝35.3．C [解析] 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，如图，先利用勾股定理计算出OA ＝5，然后在Rt △AOB 中利用正弦的定义得出sin α＝AB OA ＝45.4.345．解：(1)∵AC ＝5，BC ＝3， ∴AB ＝34，∴sin A ＝BC AB＝334＝33434，sin B ＝ACAB＝534＝53434.(2)∵AC ＝1，AB ＝5，∴BC ＝2，∴sin A ＝BCAB＝25＝2 55，sin B ＝ACAB＝15＝55. 6．解：由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5 cm ，∴sin A ＝BC AB ＝2 55，sin B ＝AC AB ＝55.7．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45，∴sin B ＋cos B ＝75.8．D [解析] 由三角函数值的变化规律，可知选项D 的说法不正确．9．(1)< (2)> [解析] 可以用计算器求解，也可以根据正弦值、余弦值的变化规律解题．[点评] 同名函数比较大小有以下两种方法：方法一，用计算器求出它们的函数值进行比较；方法二，根据锐角三角函数的变化情况进行比较．若0°＜α＜90°，0°＜β＜90°， 则当α＞β时，sin α＞sin β，cos α＜cos β； 当α＝β时，sin α＝sin β，cos α＝cos β； 当α＜β时，sin α＜sin β，cos α＞cos β.10．(1)0.41 (2)0.93 (3)0.59 (4)0.7811．B [解析] 由锐角三角函数的定义，得AB ＝AC sin α，AD ＝AC sin β，∴AB 与AD 的长度之比为sin βsin α，故选B.12．B 13.A14．m <n <p [解析] ∵抛物线y ＝x 2－2x －3的对称轴为直线x ＝1，cos40°＜cos20°＜cos10°＜1，∴m ＜n ＜p .15.35[解析] 连接PP ′，∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P ′C ，∴CP ＝CP ′＝6，∠PCP ′＝60°，∴△CPP ′为等边三角形，∴PP ′＝PC ＝6.∵△ABC 为等边三角形，∴CB ＝CA ，∠ACB ＝60°，∴∠PCB ＝∠P ′CA ，∴△PCB ≌△P ′CA ，∴PB ＝P ′A ＝10.∵62＋82＝102，∴PP ′2＋AP 2＝P ′A 2，∴△APP ′为直角三角形，且∠APP ′＝90°，∴sin ∠PAP ′＝PP ′P ′A ＝610＝35. 16．解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9米，AD ＝6米， ∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝3 13(米)，∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ， ∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23， ∴EF 6＝BF 9＝23， ∴EF ＝4(米)，BF ＝6(米)，∴DF ＝3米．在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5(米)．17．[解析] 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，由sin ∠BOA 的值求出BC 的长，在Rt △BOC 中，根据勾股定理求出OC 的长，进而求出AC 的长，在Rt △ABC 中，再由勾股定理求出AB 的长，最后根据锐角三角函数的定义求出cos ∠BAO 的值即可．解：过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ， ∵sin ∠BOA ＝35，BO ＝5，∴BC ＝3，由勾股定理得OC ＝4. ∵点A 的坐标为(10，0)， ∴OA ＝10，∴AC ＝6， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝3 5，∴cos ∠BAO ＝AC AB ＝2 55.18．解：(1)sin 2A 1＋cos 2A 1＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1，sin 2A 2＋cos 2A 2＝(12)2＋(12)2＝12＋12＝1，sin 2A 3＋cos 2A 3＝(35)2＋(45)2＝925＋1625＝1.故答案为1，1，1. (2)1(3)证明：∵sin A ＝ac ，cos A ＝b c，且a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋cos 2A ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1，即sin 2A ＋cos 2A ＝1.(4)∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠C ＝90°， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝1， 即(1213)2＋cos A 2＝1， 解得cos A ＝513或cos A ＝－513(舍去)，∴cos A ＝513.。