3三角函数的图像性质

三角函数的图像与性质1、函数y = ） （A ）[,]33ππ- （B ）[,]33k k ππππ-+，k ∈Z （C ）[2,2]33k k ππππ-+，k ∈Z （D ）R2、下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在(,)2ππ上为减函数的是（ ）（A ）y ＝sin2x ＋cos2x （B ）y ＝|sin x | （C ）y ＝cos 2x （D ）y ＝tan x 3、函数2sin sin 1y x x =+-的值域为（ ）（A ）[1,1]- （B ）5[,1]4-- （C ）5[,1]4- （D ）5[1,]4-4、函数1sin 22y x =的最小正周期T =5、函数sin()4y x π=-在区间[0,]2π上（ ）（A ）单调递增且有最大值 （B ）单调递增但无最大值 （C ）单调递减且有最大值 （D ）单调递减但无最大值6、已知函数()sin(2)6f x x π=-，若存在(0,)απ∈，使得()()f x f x αα+=-恒成立，则α的值是（ ）（A ）π6 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π27、若x 为三角形中的最小内角，则函数sin cos y x x =+的值域是（ ）（A ） （B ） （C ）1[2 （D ）1(2 8、函数1()sin 4f x x x π=-的零点的个数是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89、已知函数y ＝sin x 的定义域为[,]a b ，值域为1[1,]2-，则b －a 的值不可能是（ ）（A ）π3 （B ）2π3 （C ）π （D ）4π310、函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为11、函数lg(sin )y x =+的定义域为 12、设函数cos 2y x π=的图像位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，…。

则A 50的坐标是13、给出下列命题：①正切函数的图像的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若12x x >，则12sin sin x x >；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则()02Tf -=。

其中正确命题的序号是14、函数2()2sin cos 2sin 1f x x x x =-+。

（1）求函数()f x 的最小正周期及值域；（2）求()f x 的单调递增区间。

15、已知函数2()22cos f x x x m =++在区间[0,]2π上的最大值为6。

（1）求常数m 的值及函数()f x 图像的对称中心；（2）作函数()f x 关于y 轴的对称图像得函数1()f x 的图像，再把函数1()f x 的图像向右平移π4个单位得到函数2()f x 的图像，求函数2()f x 的单调递减区间。

16、已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求φ和ω的值。

课时作业(十八)【基础热身】1．C [解析] 由题意得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故选C.2．B [解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.3．C [解析] y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54， ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1，故选C. 4．π [解析] 由周期公式得T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【能力提升】5．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数， 又⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A. 6．D [解析] 设x －a ＝t ，得x ＝t ＋a ， 则f (x ＋a )＝f (x －a )可化为f (t ＋2a )＝f (t )，即函数f (x )是周期为2a 的周期函数，又f (x )的最小正周期为π，且a ∈(0，π)，∴a ＝π2，故选D.7．A [解析] 因x 为三角形中的最小内角，故x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3，由此可得y ＝sin x ＋cos x >1，排除错误选项B ，C ，D ，故选A.8．C [解析] 如图所示，画出函数y ＝sinπx 和y ＝14x 的图象，在[0，＋∞)上，两个函数图象有4个交点，∴在(－∞，＋∞)上，方程sinπx ＝1x 的解有7个，即函数f (x )＝sinπx －1x 的零点的个数是7，故选C.9．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，故选A. 10．π [解析] f (x )＝(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π.11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z [解析] 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 12．(99,0) [解析] 由12πx ＝π2＋k π，k ≥0且k ∈Z ，得图象的对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得A 50的坐标是(99,0)．13．④ [解析] ①正切函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝⎛⎭⎫－T 2＝f ⎝⎛⎭⎫－T 2＋T ＝f ⎝⎛⎭⎫T 2＝－f ⎝⎛⎭⎫－T 2，故f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0. 14．[解答] (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 15．[解答] (1)f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋m ， ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∴m ≤f (x )≤3＋m ，∴3＋m ＝6，m ＝3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋4. 所以函数f (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，4，k ∈Z . (2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋4， 得f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6＋4. 所以f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＋4 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋4. 因为－π2＋2k π≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z .所以π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，所以函数f 2(x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z . 【难点突破】16．[解答] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立． 又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4， ∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数． 综上得ω＝23或ω＝2三角函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质（一）1、已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）（A ）关于点(,0)3π对称 （B ）关于直线4x π=对称 （C ）关于点(,0)4π对称 （D ）关于直线3x π=对称2、函数()sin(2)3f x x π=+的图像的对称轴方程可以为（ ）（A ）x ＝π12 （B ）x ＝5π12 （C ）x ＝π3 （D ）x ＝π63、若函数sin()3y x π=+的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数为（ ）（A ）1sin()26y x π=+ （B ）1sin()23y x π=+ （C ）2sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=+4、如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (cm)和时间t (s)的函数关系是2sin()4S t ππ=+，[0,)t ∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是 s 。

5、对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）（A ）()f x 在(,)42ππ上是递增的 （B ）()f x 的图像关于原点对称（C ）()f x 的最小正周期为2π （D ）()f x 的最大值为26、函数2cos ()2y x π=-是（ ）（A ）最小正周期是π的偶函数 （B ）最小正周期是π的奇函数 （C ）最小正周期是2π的偶函数 （D ）最小正周期是2π的奇函数7、用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于（ ）（A ）π2 （B ）π （C ）3π2（D ）2π8、函数()sin()(,0,02)f x x x R ωϕωϕπ=+∈>≤≤的部分图像如图所示，则（ ）（A ）ω＝π2，φ＝π4 （B ）ω＝π3，φ＝π6 （C ）ω＝π4，φ＝π4 （D ）ω＝π4，φ＝5π49、函数y ＝sin x -cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移（ ）（A ）3π2个单位长度得到 （B ）π个单位长度得到 （C ）π4个单位长度得到 （D ）π2个单位长度得到10、将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(0,)2πωϕπ><<的图像，向右最少平移4π3个单位长度，或向左最少平移2π3个单位长度，所得到的函数图像均关于原点中心对称，则ω＝11、已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，若0A >，0ω>，02πϕ<<，则函数解析式为12、给出下面的3个命题：①函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π2；②函数3sin()2y x π=-在区间3[,)2ππ上单调递增；③x ＝5π4是函数5sin(2)2y x π=+的图像的一条对称轴。