高中数学选修2-3 2.2.1条件概率

条件概率教学设计课标分析《条件概率》是人教B 版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3 第二章随机变量及其分布中，二项分布及其应用的第一课时的内容，主要包括：（1）条件概率的概念；（2）条件概率的性质；（3）条件概率公式的简单应用。

《条件概率》的内容，利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过对有无“第一名同学没有中奖”条件，最后一名同学中奖的概率的比较，引出条件概率的概念，给出了条件概率的两个性质，并通过条件概率公式的简单应用加深对条件概率概念本质特征的理解掌握。

为相互独立事件和二项分布的内容教学，起“引流开山”之作用，即为定义相互独立事件和研究二项分布做好了知识铺垫。

正因本节是数学新概念引入建立，其教学便化身为本章的难点，对其进行合理的教学处理尤显重要。

本节教学重点和难点都是对条件概率的概念理解，应用公式对条件概率的计算是围绕这一中心的；在条件概率概念的引入中，应抓住“条件概率的本质是样本空间范围的缩小下的概率”这一转化关键。

教学关键是实际案例对比，甚者要辅以图示直观说明解释和反例验证等教学方式对条件概率的概念进行多角度分析研究，才能突破本节教学重点和教材分析《条件概率》第一课时是高中数学选修2－3第二章第二节的内容本节课是在必修三学习了概率的定义，概率的关系与运算，概率的基本性质，古典概型特点及其运算的基础上，学习如何计算已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率，它仍属于概率的范畴。

它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法，另一方面，为研究相互独立事件打下良好的基础教学重点、难点和关键：教学重点是条件概率的定义、计算公式的推导及条件概率的计算；难点是条件概率的判断与计算；教学关键是数学建模条件概率是比较难理解的概念。

教科书利用大家比较熟悉的抽奖为实例，以无放回抽取奖券的方式，通过比较抽奖前和在已知第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学中奖的概率从而引入条件概率的概念，给出条件概率的两种计算方法。

2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n A B n A B P A B n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =.由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅. 并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω.(2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===.例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A = 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯.(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。

条件概率一、知识概述条件概率的定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．注意：（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)．（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键．注：概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系：联系：事件A，B都发生了．区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W．二、例题讲解：例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．解：答案：②④例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．解：令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．则所求概率为Ｐ（B|A）．，．．即所求概率为．例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？解：记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．（1）．（2）．（3）．∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为．在甲地下雨时乙地也下雨的概率为．甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．例4、有外形相同的球分别装在三个盒子中，每个盒子中有10个球．其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有8个红球，2个白球．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在三号盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．解：设事件A＝｛从第一个盒子中取出字母为A的球｝，B＝｛从第一个盒子中取出字母为B的球｝，C＝｛第二次取球取出的是红球｝，D＝｛第二次取球取出的是白球｝，则P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，P（C｜A）＝0.5，P（D｜A）＝0.5，P（C｜B）＝0.8，P（D｜B）＝0.2．试验成功表示，∵AC与BC互斥，∴试验成功的概率为0.59．例5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：（1）．（2）记事件A={乙箱中取出的一个产品是正品}，事件B1={甲箱中取出的2个产品均为正品}，B2={甲箱中取出的2个产品均为次品}，B3={甲箱中取出的2个产品一正品一次品}．．．∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝.∴所求的概率为．。

§2.2.1条件概率学习目标1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

2.把握一些简洁的条件概率的计算。

学习过程【任务一】问题分析问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设大事=A “蓝色骰子的点数为3或6”，大事=B “两颗骰子的点数之和大于8”，求： （1）大事A 发生的概率； （2）大事B 发生的概率；（3）已知大事A 发生的状况下，大事再B 发生的概率。

问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考：（1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？（2）若已知第一名同学没有中奖，那么其次名同学中奖的概率各是多少？（3）在（1）和（2）中其次名同学中奖的概率是否相等？为什么？【任务二】概念理解1.条件概率：对于任何两个大事A 和B ，在已知大事A 发生的条件下，大事B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。

2.由大事A 和B 所构成的大事D ，称为大事A 和B 的交（或积），记作3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数包含的基本事件数A B A =总数包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P【任务三】典型例题分析例1：抛掷一颗骰子,观看消灭的点数=A {消灭的点数是奇数}＝}531{，，，=B {消灭的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知消灭的点数不超过3，求消灭的点数是奇数的概率。

例2：在5道题中有3道理科题和2道文科题.假如不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【任务四】课后作业1.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取两次，每次抽一张，已知第一次抽到A ，求其次次也抽到A 的概率。

2.2.1条件概率A组1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于()A. B. C. D.解析:由条件概率公式变形得到乘法公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=.答案:C2.抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是()A. B. C. D.解析:抛掷红、黄两枚骰子共有6×6=36个基本事件,其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件,此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6,共4个基本事件.所求概率为.答案:B3.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为,则在吹东风的条件下下雨的概率为()A. B. C. D.解析:设事件A表示“该地区四月份下雨”,B表示“四月份吹东风”,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)=.答案:D4.在某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是()A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6解析:A=“数学不及格”,B=“语文不及格”,P(B|A)==0.2.所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为0.2.答案:A5.在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率为()A. B. C. D.解析:不放回地依次摸出2个球,“第1次摸出红球”记为事件A,“第2次摸出红球”记为事件B,则n(A)=6×9=54,n(AB)=6×5=30,故P(B|A)=.答案:D6.从1~100这100个整数中,任取1个数,已知取出的1个数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为.解析:根据题意可知取出的1个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数共有33个,故所求概率为.答案:7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=.解析:P(A)=,P(A∩B)=.由条件概率计算公式,得P(B|A)=.答案:8.如图,一个正方形被平均分成9部分,向大正方形区域随机地投掷一点(每一次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,求P(A|B),P(AB).解:用μ(B)表示事件B所包含区域的面积,μ(Ω)表示大正方形区域的面积,由题意可知, P(AB)=,P(B)=,P(A|B)=.9.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一个球,问:(1)在从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?(2)从2号箱取出红球的概率是多少?解:记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”;事件B为“从1号箱中取出的是红球”.P(B)=,P()=1-P(B)=.(1)P(A|B)=.(2)∵P(A|)=,∴P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.B组1.某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为()A. B. C. D.解析:记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B.P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=.答案:B2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是()A. B. C. D.解析:设“至少有一枚出现6点”为事件A,设“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,所以P(A|B)=.答案:A3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,则它活到25岁的概率是.解析:“该动物由出生算起活到20岁”记为事件A,“活到25岁”记为事件B.P(A)=0.8,P(AB)=0.4,∴P(B|A)==0.5.答案:0.54.从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为.解析:记“选出4号球”为事件A,“选出球的最大号码为6”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.答案:5.任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点,问:(1)该点落在区间内的概率是多少?(2)在(1)的条件下,求该点落在内的概率.解:由题意可知,任意向(0,1)这一区间内投掷一个点,该点落在(0,1)内各个位置是等可能的, 令A=,由几何概型的概率计算公式可知(1)P(A)=.(2)令B=,则AB=,∴P(AB)=,故在A的条件下B发生的概率为P(B|A)=.6.在一次口试中,共有10道题可供考生选择,已知某考生会答其中的6道题,现随机从中抽5道题供考生回答,答对3道题及格,求该考生在第一道题不会答的情况下及格的概率.解:设事件A为“从10道题中依次抽5道题,第一道题不会答”;设事件B为“从10道题中依次抽5道题,第一道题不会答,其余4道题中有3道题或4道题会答”.n(A)=,n(B)=).则P=.所以该考生在第一道题不会答的情况下及格的概率为.7.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为.(1)求白球的个数;(2)现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,已知第2次取得白球,求第1次取得黑球的概率.解:(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件A,记袋中白球个数为x.则P(A)=1-,解得x=5,即白球的个数为5.(2)记“第2次取得白球”为事件B,“第1次取得黑球”为事件C,则P(BC)=,P(B)=.故P(C|B)=.。