微分几何期中考试

微分几何试题及答案导言：微分几何是现代数学的一个重要分支，研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的几何关系。

本文将给出一些微分几何的试题，并提供对应的答案和解析，以帮助读者更好地理解微分几何的概念和方法。

1. 曲线的参数方程试题：给定二维曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, 求C在t=1处的切向量和法向量。

解析：曲线C的切向量和法向量可以通过求导得到。

对参数方程关于t求导，得到 x' = 2t, y' = 3t^2。

将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 3。

因此，在t=1处，曲线C的切向量为 (2, 3)，法向量为 (-3, 2)。

2. 曲线的切线方程试题：已知二维曲线C的参数方程为 x = cos t, y = sin t，求C在t=π/4处的切线方程。

解析：曲线C在t=π/4处的切向量可以通过求导得到。

对参数方程关于t求导，得到 x' = -sin t, y' = cos t。

将t=π/4代入求得x'(π/4) = -1/√2，y'(π/4) = 1/√2。

因此，在t=π/4处，曲线C的切向量为 (-1/√2, 1/√2)。

切向量与点的乘积即切线方程的标准形式。

对于曲线C在t=π/4处的切线方程，带入坐标点(cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)，切向量 (-1/√2, 1/√2)，得到切线方程 -x + y = 0。

3. 曲线的曲率和法曲率试题：已知三维曲线C的参数方程为 x = 2t, y = t^2, z = 3t^3，求C在t=1处的曲率和法曲率。

解析：曲线C的曲率和法曲率可以通过求导得到。

对参数方程关于t求导，得到 x' = 2, y' = 2t, z' = 9t^2。

将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 2，z'(1) = 9。

微积分(上)期中模拟试卷(一)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设⎩⎨⎧≥-<=0, 20, )(2x x x x x f ，则=-)]1([f f 。

2. =∞→xx x 21sin3lim 。

3. 函数23)3ln()(2+++=x x x x x f 的可去间断点为 。

4. 设xxx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 时, )(x f 在0=x 处连续。

5. 设)(x f 在a x =处可导, 则=--→ha f h a f h )()2(lim 0___________ .二、选择题(每小题3分，共15分)1. 函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。

(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 原点 (D) 直线x y =2. 设⎩⎨⎧>≤=0,0,)(x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ ）。

(A) 无定义(B) 无极限(C) 不连续(D) 连续3. 设)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在点0x 处（ ）。

(A) 必有定义(B) 必有定义, 但与极限值无关 (C) 可以没有定义(D) 函数值必须等于极限值.4. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处必（ ）. (A) 可导(B) 不可导(C) 连续(D) 不连续5. 0→x 时与x 等价的无穷小是（ ）.(A) x x +3 (B) 1sin 1-+x (C) )1e sin(-x (D) x cos 1-三、计算题(每小题6分，共48分)1. 求极限 )1ln()cos 1(1cossin 3lim2x x xx x x +++→ .2. 求极限 1e tan 1tan 1lim---+→xx xx .3. 求极限 xx x π)(coslim 0+→.4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 , 0 ,cos ln )(2x a x x xx f 在0=x 处连续，则=a .5. 设⎩⎨⎧<+≥+=0arctan 01 )(bx , x a x , x x f 在0=x 处可导，求常数b a ,。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

))(),(sin ,cos )(('''u g v f v u f r u=微分几何期中作业证明：一个正则参数曲面是旋转面的充分必要条件是，它的所有法线都与一条固定的直线相交。

证明过程：必要性：当我们假设旋转面的方程为()()))(,sin ,cos (r u g v v f u f υ=此时，如果对r 分别对u,v 求导，则可以得到所以，通过对其做向量乘法可得： 因此，我们可知单位法向量为：))(,sin )(,cos )(())(())((1),('''2'2'u f v u g v u g u g u f v u n --+=该曲线的法线的参数方程是)(,sin (,cos (),sin ,cos (2'2''2'2''2'2''gf f v gf g v gf g g v f v f r ++-+-+=λ这里的λ是法线上的参数，如果0)('=u g ，则该处的法线与Z 轴平行；如果0)('≠u g ，取)())(())(()('2'2'u g u g u f u f +=λ，则在法线上的对应点的坐标为），（)()()()(0,0''u g u f u f u g +，这个点在Z 轴上，所以这个平面的法线都经过Z 轴。

对于充分性：我们假定曲面S 的所有法线都经过z 轴，用一个通过z 轴，且与OXZ 平面夹角为ν的平面截曲面S ，这条截线的参数方程可以假设为）（),(,sin ,cos v u g v u v u ,这说明，截线上的点到Z 轴的距离为μ，到OXY 平面的距离是g(μ，ν)，μ为该截线上的参数，ν是任意固定值。

而且此时，当ν变化时上面的截线扫出曲面S ，因此，曲面S 的参数方程是)),(,sin ,cos (v u g v u v u r =，此时，我们可以知道参数曲线的切向量是),cos ,sin (),,sin ,(cos v v u ug v u v u g v v r r-==，曲面法向量则可以表示为：),sin cos ,cos sin (u v ug v g v ug v g r r u v u v v u ---=⨯，所以曲面S 的法线的参数方程可写为：）（u g v g u v g v g u v g u v u v λλλλλ+-+--+,sin )1(cos ,cos )1(sin ，其中，λ是法线上,0)(>u f )0,cos )(,sin )((v u f v u f rv-=)),()(,sin )(,cos )()((''u f u f v u f v u g u f r r vu --=⨯的参数。

一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。

（10分） 四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3） 计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。

210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

临沂大学2013－2014学年度第一学期
《微分几何》期中测试
1
、证明：曲线{}23
():2,C t t =r 的切线与直线0y z x =-=交于定角。

2、设曲线()():C s =r r （s 为自然参数），证明：
（1）k τ=-⋅αγ；（2）()2,,k τ=r r r 。

3、求曲线32232x a y xz a ⎧=⎨=⎩
的曲率和挠率。

4、证明：如果曲线的所有密切平面都垂直于某条固定直线，则此曲线为平面曲
线。

5、证明：曲线{}cosh ,2sinh ,t t t e =r 为平面曲线，并求它所在的平面方程。

6、已知圆柱螺线{}:cos ,sin ,(0),a a b ab θθθθΓ=≠-∞<<+∞r ，证明：它的曲率
中心的轨迹*Γ仍是圆柱螺线，且*2k ττ=。

7、试在曲面1xyz =上求平行于平面50x y z ++-=的切平面方程。

8、试证明曲面()y z xf x
=的所有切平面都通过一个定点。

9、求曲面{}:cos ,sin ,S r u v u v av =
上，由微分方程du 定义的曲线的在正交轨线。

要求：字迹工整，步骤清晰详尽，推导合理，结果准确，独立完成，按时交卷。

12 / 16二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点,1P 是曲线上P 点附近的一点,S ∆为弧1PP 的长,ϕ∆为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角,k<s> 是曲线在P 点的曲率。

则下面 不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。

①0()k t ② |0()r t | ③0|()|t α④0()t τ2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则β= 。

① k<s>α② -k<s>α+()s τγ ③ -()s τα④ k<s>α-()s τγ3．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则γ= .① k<s>β②()s τβ③-k<s>α+()s τγ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则下式 不正确。

①α=- k<s>β②β= -k<s>α+()s τγ ③α= k<s>β④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则k<s>= 。

①αβ②βα ③αβ④γβ6．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

则下式 不正确。

①α=2β②β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ④γ =2β13 / 167．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则()s τ= 。

①αβ②βγ ③βα④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k,挠率为τ,则下式 不正确。

微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。

答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。

答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。

2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。

答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。

几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。

四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。

答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。

在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。

曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。