微分几何期中考试

微分几何试题及答案导言：微分几何是现代数学的一个重要分支，研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的几何关系。

本文将给出一些微分几何的试题，并提供对应的答案和解析，以帮助读者更好地理解微分几何的概念和方法。

1. 曲线的参数方程试题：给定二维曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, 求C在t=1处的切向量和法向量。

解析：曲线C的切向量和法向量可以通过求导得到。

对参数方程关于t求导，得到 x' = 2t, y' = 3t^2。

将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 3。

因此，在t=1处，曲线C的切向量为 (2, 3)，法向量为 (-3, 2)。

2. 曲线的切线方程试题：已知二维曲线C的参数方程为 x = cos t, y = sin t，求C在t=π/4处的切线方程。

解析：曲线C在t=π/4处的切向量可以通过求导得到。

对参数方程关于t求导，得到 x' = -sin t, y' = cos t。

将t=π/4代入求得x'(π/4) = -1/√2，y'(π/4) = 1/√2。

因此，在t=π/4处，曲线C的切向量为 (-1/√2, 1/√2)。

切向量与点的乘积即切线方程的标准形式。

对于曲线C在t=π/4处的切线方程，带入坐标点(cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)，切向量 (-1/√2, 1/√2)，得到切线方程 -x + y = 0。

3. 曲线的曲率和法曲率试题：已知三维曲线C的参数方程为 x = 2t, y = t^2, z = 3t^3，求C在t=1处的曲率和法曲率。

解析：曲线C的曲率和法曲率可以通过求导得到。

对参数方程关于t求导，得到 x' = 2, y' = 2t, z' = 9t^2。

将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 2，z'(1) = 9。

微积分(上)期中模拟试卷(一)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设⎩⎨⎧≥-<=0, 20, )(2x x x x x f ，则=-)]1([f f 。

2. =∞→xx x 21sin3lim 。

3. 函数23)3ln()(2+++=x x x x x f 的可去间断点为 。

4. 设xxx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 时, )(x f 在0=x 处连续。

5. 设)(x f 在a x =处可导, 则=--→ha f h a f h )()2(lim 0___________ .二、选择题(每小题3分，共15分)1. 函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。

(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 原点 (D) 直线x y =2. 设⎩⎨⎧>≤=0,0,)(x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ ）。

(A) 无定义(B) 无极限(C) 不连续(D) 连续3. 设)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在点0x 处（ ）。

(A) 必有定义(B) 必有定义, 但与极限值无关 (C) 可以没有定义(D) 函数值必须等于极限值.4. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处必（ ）. (A) 可导(B) 不可导(C) 连续(D) 不连续5. 0→x 时与x 等价的无穷小是（ ）.(A) x x +3 (B) 1sin 1-+x (C) )1e sin(-x (D) x cos 1-三、计算题(每小题6分，共48分)1. 求极限 )1ln()cos 1(1cossin 3lim2x x xx x x +++→ .2. 求极限 1e tan 1tan 1lim---+→xx xx .3. 求极限 xx x π)(coslim 0+→.4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 , 0 ,cos ln )(2x a x x xx f 在0=x 处连续，则=a .5. 设⎩⎨⎧<+≥+=0arctan 01 )(bx , x a x , x x f 在0=x 处可导，求常数b a ,。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

))(),(sin ,cos )(('''u g v f v u f r u=微分几何期中作业证明：一个正则参数曲面是旋转面的充分必要条件是，它的所有法线都与一条固定的直线相交。

证明过程：必要性：当我们假设旋转面的方程为()()))(,sin ,cos (r u g v v f u f υ=此时，如果对r 分别对u,v 求导，则可以得到所以，通过对其做向量乘法可得： 因此，我们可知单位法向量为：))(,sin )(,cos )(())(())((1),('''2'2'u f v u g v u g u g u f v u n --+=该曲线的法线的参数方程是)(,sin (,cos (),sin ,cos (2'2''2'2''2'2''gf f v gf g v gf g g v f v f r ++-+-+=λ这里的λ是法线上的参数，如果0)('=u g ，则该处的法线与Z 轴平行；如果0)('≠u g ，取)())(())(()('2'2'u g u g u f u f +=λ，则在法线上的对应点的坐标为），（)()()()(0,0''u g u f u f u g +，这个点在Z 轴上，所以这个平面的法线都经过Z 轴。

对于充分性：我们假定曲面S 的所有法线都经过z 轴，用一个通过z 轴，且与OXZ 平面夹角为ν的平面截曲面S ，这条截线的参数方程可以假设为）（),(,sin ,cos v u g v u v u ,这说明，截线上的点到Z 轴的距离为μ，到OXY 平面的距离是g(μ，ν)，μ为该截线上的参数，ν是任意固定值。

而且此时，当ν变化时上面的截线扫出曲面S ，因此，曲面S 的参数方程是)),(,sin ,cos (v u g v u v u r =，此时，我们可以知道参数曲线的切向量是),cos ,sin (),,sin ,(cos v v u ug v u v u g v v r r-==，曲面法向量则可以表示为：),sin cos ,cos sin (u v ug v g v ug v g r r u v u v v u ---=⨯，所以曲面S 的法线的参数方程可写为：）（u g v g u v g v g u v g u v u v λλλλλ+-+--+,sin )1(cos ,cos )1(sin ，其中，λ是法线上,0)(>u f )0,cos )(,sin )((v u f v u f rv-=)),()(,sin )(,cos )()((''u f u f v u f v u g u f r r vu --=⨯的参数。

一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。

（10分） 四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3） 计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。

210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

临沂大学2013－2014学年度第一学期
《微分几何》期中测试
1
、证明：曲线{}23
():2,C t t =r 的切线与直线0y z x =-=交于定角。

2、设曲线()():C s =r r （s 为自然参数），证明：
（1）k τ=-⋅αγ；（2）()2,,k τ=r r r 。

3、求曲线32232x a y xz a ⎧=⎨=⎩
的曲率和挠率。

4、证明：如果曲线的所有密切平面都垂直于某条固定直线，则此曲线为平面曲
线。

5、证明：曲线{}cosh ,2sinh ,t t t e =r 为平面曲线，并求它所在的平面方程。

6、已知圆柱螺线{}:cos ,sin ,(0),a a b ab θθθθΓ=≠-∞<<+∞r ，证明：它的曲率
中心的轨迹*Γ仍是圆柱螺线，且*2k ττ=。

7、试在曲面1xyz =上求平行于平面50x y z ++-=的切平面方程。

8、试证明曲面()y z xf x
=的所有切平面都通过一个定点。

9、求曲面{}:cos ,sin ,S r u v u v av =
上，由微分方程du 定义的曲线的在正交轨线。

要求：字迹工整，步骤清晰详尽，推导合理，结果准确，独立完成，按时交卷。

12 / 16二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点,1P 是曲线上P 点附近的一点,S ∆为弧1PP 的长,ϕ∆为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角,k<s> 是曲线在P 点的曲率。

则下面 不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。

①0()k t ② |0()r t | ③0|()|t α④0()t τ2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则β= 。

① k<s>α② -k<s>α+()s τγ ③ -()s τα④ k<s>α-()s τγ3．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则γ= .① k<s>β②()s τβ③-k<s>α+()s τγ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则下式 不正确。

①α=- k<s>β②β= -k<s>α+()s τγ ③α= k<s>β④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则k<s>= 。

①αβ②βα ③αβ④γβ6．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

则下式 不正确。

①α=2β②β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ④γ =2β13 / 167．曲线r =()r s 在P 〔s 点的基本向量为α,β,γ。

在P 点的曲率k<s>,挠率为()s τ,则()s τ= 。

①αβ②βγ ③βα④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k,挠率为τ,则下式 不正确。

微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。

答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。

答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。

2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。

答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。

几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。

四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。

答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。

在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。

曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。

微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。

答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。

答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。

答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。

答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。

答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。

2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。

3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。

答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。

12 / 11二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点，1P 是曲线上P 点附近的一点，S ∆为弧1PP 的长，ϕ∆为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。

则下面 不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。

①0()k t ② |0()r t | ③0|()|t α④0()t τ2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则β= 。

① k(s)α② -k(s)α+()s τγ③ -()s τα④ k(s)α-()s τγ3．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γ= .① k(s)β②()s τβ③-k(s)α+()s τγ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。

①α=- k(s)β②β= -k(s)α+()s τγ ③α= k(s)β④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。

①αβ②βα③αβ④γβ6．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

则下式 不正确。

①α=2β②β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ④γ =2β7．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

13 / 11①αβ②βγ ③βα④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式 不正确。

①2|'''||'|r r k r ⨯=②3|'''||'|r r k r ⨯= ③||k r =④2(','',''')(''')r r r r r τ=⨯9．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式 不正确。

微分几何测试题集锦(含答案)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯='B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

微分几何试题及答案试题1.设曲线 C 的参数方程为x = \\cos t, y = \\sin t, z = t其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。

求曲线 C 上一点 P 的切向量和法向量。

2.给定曲线 C：\(x = t^2, y = t^3\)，其中 \(t\) 是参数。

求曲线 C 在点 (4, 8) 处的切线方程。

3.设平面曲线 C 的参数方程为x = \\cos t, y = \\sin t, z = t其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。

求曲线 C 上一点 P 的切平面方程。

4.设曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)，点 P 的坐标为 (1, 1, -1)。

求曲面 S 上点 P 的切平面方程。

5.已知曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 - 2z = 0\)，点 P 的坐标为 (1, 1, 1)。

求曲面 S 上点 P 的法向量。

答案1.切向量的计算：曲线 C 上一点 P 的切向量为曲线的导数：\[ \begin{align} \frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}} & =\frac{{dx}}{{dt}}\mathbf{i} + \frac{{dy}}{{dt}}\mathbf{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\mathbf{k} \\ & = -\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k} \end{align} \]所以，曲线 C 上一点 P 的切向量为 \(-\sin t\mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k}\)。

法向量的计算：曲线 C 上一点 P 的法向量垂直于切向量，可以选择切向量既是切线上的，也是切平面上的。

所以，曲线 C 上一点 P 的法向量为 \(-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k}\)。

《微分几何》 期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____一、 填空题（每空1分, 共20分）1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 .2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 .3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.4. 距离单位球面球心距离为)10(<<d d 的平面与球面的交线的法曲率为 ； 测地曲率为 .5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ；坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .6. 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 和 .7. 圆柱螺线的自然方程是 },sin ,cos {)(bt t a t a t r =；自然参数方程是______ ________________.8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的 和 .9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ；脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点；极小曲面上除平点之外的其它点是 点.二、 单项选择题（每题2分，共20分）1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】A. 曲率B. 挠率C. 法曲率D. 测地曲率2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】A. 球面与柱面B. 柱面与平面C. 平面与伪球面D. 伪球面与可展曲面3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】A. 法平面B. 密切平面C. 从切平面D. 不存在4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】A. 直线B. 圆C. 圆柱螺线D. 平面曲线5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线B. 测地线具有等距不变性C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小D. 平面上测地线必是直线6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. NG k L E k ==21, C. v E G k k ∂∂−==ln 2121 D. u G E k k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n kA． B.n g k k k +=n g k k k +=C. D.222n g k k k +=222n g k k k +=8. 曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 【 】A. 2/πθ=B. 0=θC. πθ=D. 不确定9．下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 【 】 A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直10. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 】A. 脐点处，任何方向都是主方向B. 非脐点处，主方向垂直C. 脐点处，无主方向D. 非脐点处，有且仅有两个主方向三、判断题（每题1分，共10分）1． 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立.【 】 2． 欧氏合同的两曲面必等距等价，反之，等距等价的两曲面必欧氏合同.【 】 3． 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向.【 】 4． 球面上测地三角形的内角和大于1800.【 】 5． 曲面上直线（若存在）既是渐近线，又是测地线.【 】 6． 圆柱面的高斯映射球面像是单位球面上的单点集.【 】 7． 平面上，曲线的测地曲率即它作为平面曲线时的相对曲率. 【 】8． 测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的.【 】 9． 球极投影是球面（去掉北极点）与平面的等距对应. 【 】10． 旋转曲面的坐标曲线网是正交网. 【 】四、计算与证明题（每题10分，共50分）1. 求正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率，t t t 2cos ,sin ,cos 332/0π<<t .2. 证明螺旋面},sin ,cos {),(bv v u v u v u r =是极小曲面，但不是可展曲面.3. 若曲线的法平面包含非零常向量e . 证明：该曲线为直线或平面曲线.4. 证明: 在Gauss 曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线.5. 证明: 若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.。

数学系98级数学教育专业《微分几何》 期终试题（A ）2001/07班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____一、 填空题（每空1分, 共24分）1. 曲率为0的曲线是______________, 挠率为0的曲线是______________________.2. 半径为R 的圆的曲率为___________, 半径为R 的球面的法曲率为____________.3. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___________和____________.4. 曲率和挠率是关于______________和________________的不变量.5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________, 坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是___________________.6. 设曲面的, 则沿u -线，曲面的主曲率为 Σ2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= __________________；-线的测地曲率为______________.u 7. 平面曲线相对曲率的几何意义是__________________________, 它与绝对曲率 的不同点是__________________________________________________________.8. 圆柱面的高斯曲率为___________, 极小曲面的平均曲率为____________.9. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________, 把第二类基本 量L=M=N=0的脐点称为____________.10. 法曲率的最大值和最小值正好是_____________, 使法曲率达到最大值和最小值 的方向是________________方向.11. 若)(:t r r =Γ是以t 为参数的正则曲线, 则)(t t t =是容许的参数变换的充要条 件是_____________________；又若),(:v u r r =Σ是以为参数的正则曲面, ),(v u 则⎩⎨⎧==),(),(v u v v v u u u 是容许的参数变换的充要条件是__________________________.12. 下图是一空间曲线，画出其上两点的21,P P α和β.二、多项选择题（每题4分，共24分）1. 下面各量中, 是内蕴量的是( )A. 曲面上曲线的曲率B. 曲面域的面积C. 曲线的弧长D. 高斯曲率E. 曲面的主曲率2. 下面关于特殊曲面的正确的结论是( )A.可展曲面(局部地)或为柱面，或为锥面，或为切线面（等距等价意义下）B.常曲率曲面(局部地)或为平面，或为球面，或为伪球面（等距等价意义下）C.全脐点曲面必为球面或平面（或它们的一部分）D.极小曲面必为面积最小的曲面E. 直纹面必与平面等距等价3. 下面说法正确的是( )A. 等距对应一定是共形对应B. 共形对应一定是等距对应C. 平面与圆柱面成等距对应D. 平面与除去北极外的球面成共形对应E. 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立4. 下列关于特殊曲线的论断，正确的是( )A.若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线B.平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身C.球面曲线的特征是法平面通过定点D.圆柱螺线的特征是曲率和挠率成定比E.曲面上若含有直线，则直线同时是测地线，渐近曲线，曲率线5. 下列关于曲面的主方向和渐近方向，正确的说法是( )A. 曲面上任一点处，都至少有两个主方向B. 曲面上任一点处，至多有两个渐近方向C. 除脐点处外，主方向是正交的D. 平面上任何方向既是主方向又是渐近方向F.球面上任何方向既是主方向又是渐近方向6. 下列关于测地线，正确的说法是（）A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线B. 测地线具有等距不变性C. 旋转曲面的子午线一定是测地线D. 平面上测地线必是直线E. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小三、（本题满分18分，第1题12分，第2题6分）1. 已知参数曲线 ={} ，)(t r t t t 2cos ,sin ,cos 332/0π<<t ，（1）验证参数t 是否弧长参数？（2）求基本向量γβα，，（3）求的曲率和挠率.)(t r 2. 证明：若曲线的所有法平面包含非零常向量e r，则此曲线为直线或平面曲线. 四、（本题满分16分）设正螺面的参数方程为},sin ,cos {),(av v u v u v u r =（1）求正螺面的高斯曲率和平均曲率，并判定正螺面是否可展曲面或极小曲面？（2）证明：正螺面的渐近曲线就是它上面的直母线和螺线.五、（本题满分18分）（1）证明：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.（2）证明：球面上曲线是测地线的充分必要条件是该曲线是大圆（弧）.六、附加题（本题满分15分）（1）证明球面与柱面之间不存在等距对应.（2）根据（1）猜想：若曲面上存在一条直线，该曲面是否可与球面之间建立等距 对应？并证明你猜想的结果.。