中考数学第二十五题案例分析 (5)

九年试题分析中考数学压轴题是对学生所学知识的灵活运用，及分析问题和解决问题能力的全面考察.它具有很强的导向作用，由于压轴题的知识覆盖面广，综合性强，难度系数大。

即考察基础知识和基本技能，又考察数学思想方法和数学能力，特别是注重发展学生的创造能力.从近几年辽宁中考试卷可以看出，几何压轴题命题趋势呈现多样化，主要体现出创新意识。

下面就鞍山市2019中考试卷25题试卷解析，论述此类中考压轴题的策略与方法.【试题解析】鞍山市2019中考试卷25题中考25题是几何压轴题，一个综合性问题，考察学生的综合能力.它属于相似三角形的综合题，由构造全等，类比转化构造相似，考察了等腰直角三角形的性质；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；类比转化相似三角形的判定与性质；考察学生对综合知识掌握的能力，同时考察数形结合转化，分类思想方法，同时考察了运算、探索、推理等数学能力.（一）基本图形再现以公共直角顶点的两个等腰直角三角形旋转图形为基本图形.已知：在△ACB中，∠ACB=90°，在△ACB内有一点D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDF，∠DCF=90°，AC=CB，则BD与AF的关系.【解析】这个基本图形学生容易看出两个三角形△BCD≌△ACF（SAS）得出BD=AF，∠CBD=∠CAF，得出BD⊥AF.【解题策略】从已知条件出发，寻找证全等的条件，利用SAS证明两个三角形全等，用全等三角形的性质证出边、角相等.通过“8”字形，证两线垂直.由基本图形生成结论，两线相等，两线垂直.证明两条线垂直的方法：①已知有90°利用“8”字形证另一角等于90°即得两条线垂直；②利用勾股定理的逆定理证，两线垂直；③利用三角函数或者相似得到两线垂直；④利用等腰三角形三线合一性，得到两线垂直.（二）鞍山市2019年中考25题（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．（1）若AC＝BC，BD＝DE．①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为；【解析】由BC=CA，BD=AF，构造全等，缺夹角∠CBD、∠CAF，用“8”字图证明∠CBD=∠CAF.再由等腰直角三角形的性质得出DF=√2CD.此类问题实际上是还原基本图形，添加一个平行四边形条件，构造两个三角形全等.【解题策略】几何题中，研究两条线段数量关系，解题策略：①把两条线段放在两个三角形中，证全等或证相似。

2023福建中考数学25题
摘要：
1.题目分析
2.解题思路
3.解题步骤
4.易错点分析
5.总结与建议
正文：
2023年福建中考数学第25题如下：
已知矩形ABCD的边长为2，E为AD的中点，F为CD的中点，连接EF、AF、BE。

求证：四边形AFBE是矩形。

【解题过程】
一、绘制图形，标注已知条件和所求问题。

如图，矩形ABCD，E为AD中点，F为CD中点，连接EF、AF、BE。

二、利用已知条件和几何定理推导结论。

1.因为ABCD是矩形，所以AD=BC，AD//BC。

2.因为E是AD中点，F是CD中点，所以EF//AD，EF=AD/2。

3.由于矩形ABCD，所以∠BAD=90°，∠ADC=90°。

4.因为EF//AD，所以∠AEF=∠BAD（同位角相等）。

5.因为AD=BC，所以∠AFE=∠BEA（等角对应等边）。

6.由于矩形ABCD，所以∠DAF=∠ACB（对顶角相等）。

三、得出结论。

根据以上推导，可知四边形AFBE是矩形。

2021年南宁中考数学T25题深度解析
据说这是高中老师出的题，这个题要说超纲，也有点超了，毕竟用到了均值不等式，如果不懂均值不等式，这个题难度还是有的，不过均值用初中的知识也可以推出来，所以也不算超纲，好吧，所以，这个题目难度是变大很多，要说这个题目即使放在必修二的期末考试题目，也不过分，我想也有不少同学不会做！
但是至少可以把三角形面积公式给列出来，这应该是没有任何问题的，如果是一个训练有素的学生，列出以下式子，是基本的水准：这个题即使第三问没拿到分，或者可以拿到2-3分，也就是最后一步没法得分，这是正常的，但是，如果第一二问也没得分，那就不是题目的问题，而是能力的问题。

刚才写26题，我觉得A+不会有什么变动，现在写完25题，我对A+线的判断又有了新的认识。

可能还真的降一些分。

我还是不太相信这些学生，好吧。

完善数学知识体系㊀培养数学核心素养２０２１年广东省中考数学第２５题难点分析及教学启示武也文(江苏省南京市第六十六中学ꎬ江苏南京２１００３７)摘㊀要:２０２１年广东省中考数学第２５题是一道压轴题ꎬ笔者认真研读此题ꎬ发现此题起点高㊁综合性强ꎬ对学生而言具有极大的挑战性.文章通过分析此题ꎬ帮助学生寻找解题思路ꎬ梳理二次函数的知识ꎬ建构函数与方程㊁不等式的知识体系ꎬ提升学生的思维能力.关键词:数学知识体系ꎻ数学核心素养ꎻ函数综合题ꎻ教学启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００５０－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:武也文(１９８５.５－)ꎬ男ꎬ江苏省南京人ꎬ本科ꎬ一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀二次函数是初中数学的重要内容ꎬ是历年中考热点问题ꎬ承载着一定的选拔性功能ꎬ对学生而言具有一定的难度.在２０２３年中考第一轮复习时ꎬ笔者借助２０２１年广东省中考数学第２５题ꎬ帮助学生梳理二次函数的知识ꎬ建构完备的知识体系ꎬ提升学生的数学核心素养.１试题呈现已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点(－１ꎬ０)ꎬ且对任意实数ｘꎬ都有４ｘ－１２ɤａｘ２＋ｂｘ＋ｃɤ２ｘ２－８ｘ＋６.(１)求该二次函数的解析式ꎻ(２)若(１)中二次函数图象与ｘ轴的正半轴交点为Ａꎬ与ｙ轴交点为Ｃ.点Ｍ是(１)中二次函数图象上的动点.问在ｘ轴上是否存在点Ｎꎬ使以Ａ㊁Ｃ㊁Ｍ㊁Ｎ为顶点的四边形是平行四边形.若存在ꎬ求出所有满足条件的点Ｎ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.本题主要考查一次函数㊁二次函数的图象与性质㊁函数与方程㊁不等式之间的联系等数学核心知识及函数思想㊁方程思想㊁转化思想㊁数形结合思想㊁分类思想等重要的数学思想方法ꎬ需要学生具有完备的数学知识体系ꎬ对学生的数学核心素养要求较高.２试题的思路突破及难点分析２.１思路突破问题(１):先将代数式４ｘ－１２设为函数ｙ１＝４ｘ－１２ꎬ另一个代数式２ｘ２－８ｘ＋６设为函数ｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６ꎬ联立这两个函数解析式得到ｙ＝４ｘ－１２ꎬｙ＝２ｘ２－８ｘ＋６.{从而可得４ｘ－１２＝２ｘ２－８ｘ＋６ꎬ即２ｘ２－１２ｘ＋１８＝０ꎬ解得ｘ＝３ꎬ所以ｙ１＝４ｘ－１２与ｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６只有一个交点ꎬ且交点的坐标为(３ꎬ０)ꎬ所以二次函数ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点(３ꎬ０).又因为二次函数ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点(－１ꎬ０)ꎬ所以得ａ－ｂ＋ｃ＝０ꎬ９ａ＋３ｂ＋ｃ＝０.{解得ｂ＝－２ａꎬｃ＝－３ａ.{从而得到ｙ３＝ａｘ２－２ａｘ－３ａ.再列出方程ａｘ２－２ａｘ－３ａ＝４ｘ－１２ꎬ整理得ａｘ２－(２ａ＋４)ｘ－３ａ＋１２＝０.因为函数ｙ１㊁ｙ３的图象只有一个交点ꎬ所以根的判别式ә＝ｂ２－４ａｃ＝０ꎬ从而得到[－(２ａ＋４)]２－４ａ(－３ａ＋１２)＝０ꎬ化简得(ａ－１)２＝０ꎬ解得ａ＝１.把ａ＝１代入ｙ３＝ａｘ２－２ａｘ－３ａ中ꎬ得到二次０５函数的解析式为ｙ３＝ｘ２－２ｘ－３.图１㊀问题(１)图问题(２):因为二次函数ｙ３＝ｘ２－２ｘ－３图象与ｘ轴的正半轴交点为Ａꎬ与ｙ轴交点为Ｃꎬ所以解得点Ａ和点Ｃ的坐标分别为(３ꎬ０)ꎬ(０ꎬ－３)ꎻ又因为点Ｍ是二次函数ｙ３＝ｘ２－２ｘ－３图象上的动点ꎬ点Ｎ在ｘ轴上ꎬ所以设点Ｍ的坐标为(ｍꎬｍ２－２ｍ－３)ꎬ点Ｎ的坐标为(ｎꎬ０).根据点Ａ㊁Ｃ㊁Ｍ㊁Ｎ的位置情况讨论ꎬ构造如图２~５ꎬ进一步分析ꎬ得出点Ｎ的坐标为(１ꎬ０)ꎬ(５ꎬ０)ꎬ(７－２ꎬ０)ꎬ(－７－２ꎬ０).图２㊀点Ｎ在ｘ轴正半轴且在在点Ａ的左边ꎬ点Ｍ在ｘ轴下方图３㊀点Ｎ在ｘ轴正半轴且在点Ａ的右边ꎬ点Ｍ在ｘ轴下方图４㊀点Ｎ在ｘ轴正半轴且在在点Ａ的右边ꎬ点Ｍ在ｘ轴上方２.２难点分析本题是一道压轴题ꎬ主要考查学生对初中代数核心知识的综合运用能力.虽然本题的题干简洁ꎬ学图５㊀点Ｎ在ｘ轴负半轴ꎬ点Ｍ在ｘ轴上方生读起来一目了然ꎬ但是题型新颖且起点较高ꎬ学生不知如何解决问题.以下从该题的主要难点给出几点反思.难点之一:一般来说ꎬ压轴题中的问题是按照从易到难的过程来设置的ꎬ但本题的问题(１)既是本题的亮点ꎬ也是本题的难点.许多学生做不出这道题ꎬ就是没有弄清楚题目中的条件应该如何使用ꎬ如何转换成有效信息.问题(１)求该二次函数的解析式ꎬ学生最常用的方法是待定系数法ꎬ但函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ有三个系数未知ꎬ题目中的条件只给了一个已知点(－１ꎬ０)ꎬ直接用待定系数法不能解决这个问题ꎬ怎么办?难点之二:考查一次函数㊁二次函数㊁不等式和方程等数学知识之间的内在联系ꎬ并借助函数图象分析㊁解决问题的能力.问题(１)对于学生而言从 ４ｘ－１２ɤａｘ２＋ｂｘ＋ｃɤ２ｘ２－８ｘ＋６ 这个连续不等式ꎬ或许不难想到三个函数:ｙ１＝４ｘ－１２ꎬｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６ꎬｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ.但条件中的两个 ɤ 有什么作用ꎬ怎么使用呢?这就要求学生必须借助函数的图象来分析问题ꎬ通过画示意图发现函数ｙ１＝４ｘ－１２ꎬｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６的图象只有一个交点(３ꎬ０)ꎬ如图１所示ꎻ根据 ４ｘ－１２ɤａｘ２＋ｂｘ＋ｃɤ２ｘ２－８ｘ＋６ 这个条件ꎬｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６的图象在ｙ１＝４ｘ－１２的图象的上方且这两个图象有交点ꎬ并且ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象在ｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６的图象的下方且这两个图象也有交点ꎬ不难画出三个函数图象有且只有一个交点(３ꎬ０).做到这一步ꎬ得到了ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象上的第二个点的坐标.由点(－１ꎬ０)ꎬ(３ꎬ０)在函数ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象上ꎬ只能得到系数ｂ㊁ｃ与ａ之间的数量关系ꎬ即ｂ＝－２ａꎬｃ＝－３ａꎬ从而把函数ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ写成ｙ３＝ａｘ２－２ａｘ－３ａꎬ问题仍没有解决.１５难点之三:考查学生对于函数交点个数与方程根的个数之间的关系的理解ꎬ以及运用一元二次方程根的判别式判别方程实数根的情况.由函数ｙ１＝４ｘ－１２ꎬｙ２＝２ｘ２－８ｘ＋６的图象只有一个交点(３ꎬ０)ꎬ得到方程ａｘ２－２ａｘ－３ａ＝４ｘ－１２ꎬ且这个方程只有一个解.再逆运用一元二次方程根的判别式ｂ２－４ａｃ＝０ꎬ解得ａ＝１ꎬ得出函数的解析式为ｙ３＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃꎬ问题才得以解决.难点之四:问题(２)是一个常见的几何分类问题ꎬ难点在于如何合理制定分类的标准.理解平行四边形的判定方法ꎬ制定合理的分类标准ꎬ使问题解决不重不漏.３教学启示３.１完善数学知识体系ꎬ提升解题能力在中考复习的课堂教学中ꎬ教师不仅要引导学生复习巩固函数基础知识㊁基本方法ꎬ更要唤起学生学习函数知识的经历ꎬ知道函数知识点在初中代数知识体系中所处的地位㊁作用以及与方程(组)㊁不等式等 点状 知识点之间的联系和区别ꎬ帮助他们构建初中代数知识体系.在教学中ꎬ教师为了让学生构建初中代数知识体系ꎬ可以借助知识框图㊁思维导图等可视化的思维方式引导学生ꎬ把所学知识点在知识体系中的位置清晰地呈现出来ꎬ使学生形成稳固的认知结构ꎬ力争让学生的初中代数知识㊁解题的思想方法融会贯通ꎬ进而培养学生解决综合问题的能力.３.２培养核心素养ꎬ理解核心知识«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»指出ꎬ数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养[１].数学课程要培养的学生核心素养主要包括以下三个方面:会用数学的眼光观察现实世界ꎻ会用数学的思维思考现实世界ꎻ会用数学的语言表达现实世界.核心素养具有整体性㊁一致性和阶段性ꎬ在不同阶段具有不同表现ꎬ小学阶段侧重对经验的感悟ꎬ初中阶段侧重对概念的理解.初中阶段ꎬ核心素养主要表现为:抽象能力㊁运算能力㊁几何直观㊁空间观念㊁推理能力㊁数据观念㊁应用意识㊁创新意识.本题考查的初中数学核心知识有:一次函数㊁二次函数的图象与性质ꎬ函数与方程㊁不等式之间的联系ꎬ平行四边形的判定.问题(１)通过 ４ｘ－１２ɤａｘ２＋ｂｘ＋ｃɤ２ｘ２－８ｘ＋６ 这个连续不等式ꎬ联想到这是三个函数之间的数量关系ꎬ进而从抽象的数量关系ꎬ转化为直观的函数图象ꎬ研究三个函数的图象不难发现它都相交于同一个点(３ꎬ０)ꎬ体现了对数学抽象㊁直观想象的考查.最后运用函数与方程的内在联系ꎬ根的判别式值为０的数学核心知识ꎬ需要学生解含有字母ａ的一元二次方程ꎬ体现了逻辑推理㊁数学运算的考查[２].问题(２)是近几年来数学中考命题的一个热点 动态几何题.点Ｍ是二次函数图象上的动点ꎬ导致以Ａ㊁Ｃ㊁Ｍ㊁Ｎ为顶点的平行四边形的形状㊁位置不能确定ꎬ这时就要分类讨论.本题分类的依据是平行四边形的判定定理.学生在解题时能否想到分类讨论ꎬ取决于学生对相关概念㊁定义㊁定理的理解是否透彻ꎬ在日常的学习过程中ꎬ要经历分类讨论的过程ꎬ从而积累解决分类讨论问题的经验.因此教师要努力地使学生掌握分类思想方法ꎬ要求教师认真钻研教材ꎬ研究中考试题ꎬ有意识地为学生感悟分类思想创设问题情境㊁组织学习活动[３].４结束语完善数学知识体系和培养数学核心素养是相辅相成的.只有掌握了扎实的数学知识ꎬ才能更好地运用数学思维解决实际问题ꎻ只有具备了较高的数学核心素养ꎬ才能更好地理解和掌握数学知识.因此ꎬ教师在教学过程中应注重数学知识与核心素养的融合ꎬ为学生的发展打下坚实的基础.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[２]陈坤明.结合中考命题ꎬ谈初中数学函数教学[Ｊ].中学数学研究(初中版)ꎬ２０１９(１０):８－１０.[３]石树伟.动态几何压轴题的分析及教学启示[Ｊ].中学数学教育(初中版)ꎬ２０１３(９):４３－４５.[责任编辑:李㊀璟]２５。

32中学数学研究2020年第12期(下)2020年广州市中考数学第25题评析与教学思考广东省广州市第二中学(510631)卢奕摘要2020年广州市中考数学压轴题是一道融合代数几何于一体的综合问题,是一道凸显数学思想方法的试题.文章从试题特色与分析,介绍了试题特点,分析了运用数形结合,合情推理寻求该试题的破题思路,并从几种不同的角度以思维导图呈现该试题的解法思路,还阐述了试题对教学的启示:重夯实基础,重深度思考,重积累经验.关键词数形结合;含参数问题;教学建议2020年中考广州考卷第25题一如既往的以二次函数抛物线为背景压轴出场.抛物线和各种几何图形组合易于综合考查多个知识点,蕴涵丰富的数学思想方法,特别适合考查学生的综合各项信息,解决问题的能力.下面笔者将对该二次函数综合题进行试题特色分析,赏析各类解法,并在此基础上为教学提供建议.再由双峰模型有S∆ABDS∆BDE=ACCE=a+1,所以S∆ABD=(a+1)S∆BDE,由风筝模型有S∆BDES∆ABE=P DAP=1 p ,所以S∆BDE=1pS∆ABE,再由风筝模型和双峰模型有BPP E=S∆ABDS∆ADE=(a+1)S∆BDES∆ADE=(a+1)·1pS∆ABES∆ADE=a+1p·BCCD=a+1p−a.解法二(燕尾模型)由共边定理有S∆P BCS∆ABC=P DAD= 1p+1,由燕尾模型有S∆P ABS∆P BC=AEEC=a,所以S∆P ABS∆ABC=S∆P ABS∆P BC·S∆P BCS∆ABC=ap+1所以S∆P AC S∆ABC =1−1p+1−ap+1=p−ap+1故由燕尾模型有CD BD =S∆P ACS∆P AB=S∆P ACS∆ABC=S∆ABCS∆P AB =p−ap+1·p+1a=p−aa另一方面由共边定理(3)有P E BE =S∆P ACS∆ABC=p−ap+1所以BPBE=1−p−ap+1=a+1p+1,BPP E=BPBE·BEP E=a+1p−a.由以上四个问题我们可以发现在三角形内两塞瓦线相交的图形模型中,只要知道了三角形两边上的线段比和两塞瓦线上的线段比这四组线段比中的两组,就可以求出另外两组线段比.为了叙述的简便性,我们将三角形的边称为“外边”,将塞瓦线成为“内边”.称“内边”AD与“外边”BC是相对的位置关系,称“内边”AD与“外边”AC是相邻的位置关系.同理可知BE与AC相对,BE与BC相邻.我们可以将解题思路简要地通过下面的三个流程图进行总结.图17图18图19若题目中再给出一个小三角形的面积,则可求得图形中各个三角形,四边形的面积,就是前面我们所列举的那些竞赛真题的考察形式.至此我们对此类问题给出了通解通法.参考文献[1]徐伟宣,王世坤,王鸣主编.华罗庚金杯少年数学邀请赛1至18届试题和解答汇编(初一册)[M].北京:科学普及出版社,2014.10. [2]刘嘉主编.小学数学竞赛年鉴MO2017[M].武汉:湖北科学技术出版社,2018.2.[3](美)Paul Zeitz著,李胜宏译.怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第二版)[M].北京:人民邮电出版社,2010.7:301-317.[4](古希腊)欧几里得著,邹忌编译.几何原本(修订本)[M].重庆:重庆出版社,2014.1:2-18,181-190.[5]张景中,彭翕成.共边定理[J].中学生数理化(八年级数学)（人教版）,2007(11):4-7.[6]张景中,彭翕成.共角定理[J].中学生数理化(八年级数学)(北师大版),2008(03):4-6.[7]周沛耕,刘建业著.平面几何题的解题规律[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2017.3:202-204.2020年第12期(下)中学数学研究33 1原题呈现平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0<a<12)过点A(1,c−5a),B(x1,3),C(x2,3).顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设∆OBE的面积为S1,∆OCE的面积为S2,S1=S2+3 2 .(1)用含a的式子表示b;(2)求点E的坐标;(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3,求y=ax2+bx+c在1<x<6时的取值范围(用含a的式子表示).2试题特色本题考查多个知识点,包括二次函数图象的基本性质,坐标与面积,函数值取值范围等.考查起点低、入口宽,不同层次的学生都有机会着手解答问题,如第(1)问考生只需了解图象上的点这一概念,将点坐标代入解析式,可顺利得到结论.考查的知识点丰富.考生需要调用的知识模块包括解析式与点的坐标互相转化,图形面积与点的坐标的互相转化,最值问题的求解,含参数问题的计算等,有良好解题习惯的考生有机会展示自身的积累.问题的呈现独具匠心,沿袭了几年来广州中考压轴题的风格,不拘于常规表达,既注重考查考生概念的本质的理解,又重视对考生数学思想方法的自觉运用的考查,最大限度的克服当下的“套路”解题,真正关注优等生的能力发展.鼓励创新,考生可构思解决问题的途径及策略多样,在寻找途径的过程中,就蕴含运用不同的思想方法、对应不同的推理过程,这里所有的不同,均体现了创新,意在鼓励考生的创造性思维.很好地体现了中考数学压轴题的选拔功能.3试题分析及解法赏析第(1)问考查点与函数图象的位置关系,本小题的设计有效考查了考生对图形与坐标部分基本内容的理解,解答是只需要将点A的坐标代入抛物线解析式中,可得解.解答如下:(1)∵抛物线G:y=ax2+bx+c(0<a<12)过点A(1,c−5a),∴c−5a=a+b+c,∴b=−6a;第(2)问考查知识模块图形面积与点的坐标相互转化.题目没有给出图象,需要考生自觉运用数形结合画出示意图,直观分析,形成思路,再全面考虑,自觉运用分类讨论,完善解答.首先,根据抛物线的基本性质,画出包含对称轴,顶点坐标大致位置的示意图是良好的开始,再根据题意画出∆OBE和∆OCE的大致位置,分析图形性质,把握利用图形面积求点的坐标的关键就是将S1,S2的面积关系转化为线段BE、CE的关系,再转化为点E的坐标,实现三者相互转化解决图形面积问题,最后考虑B、C位置的不确定从而要分类讨论,完善结果.以上除了选择直接由EM线段长度求点E坐标外,还可以应用方程思想,先设点E(m,3)将点坐标条件转化为线段长,再转化为面积关系.解法本质仍然是实现坐标、线段、面积三者相互转化解决图形面积问题,故解法不再赘述.第(3)问以抛物线和直线相交为问题背景,对参数方程进行运算,求特定自变量取值范围下的函数取值范围.具有良好解题习惯的考生,能够在解题过程注重解题的方向,大胆猜想,敢于动手,也同时相对繁杂的含参数计算也需要考生有稳定的心理素质,小心求解,寻求a与c的等量关系的方法多样,需要考生积累各个基础知识模块间的横向联系与运用,熟悉数学知识的关联性,灵活建构解题思路、选择解题方法.解题思思维导图如图2.不难发现求得a,c数量是解题的核心,是沟通结论与条件的必经之路.其解法关键仍在于坐标图象、坐标与图形的相互转化.具有多种解题思路:类型一:待定系数法求直线DE解析式后,代入点的坐34中学数学研究2020年第12期(下)标,得到含a,c的式子表示的等式.法1.利用点D和点E坐标,求直线DE解析式,再将点F的坐标代入,可得a,c的关系式;法2.利用点D和点F坐标,求直线DF解析式,再将点E的坐标代入,可得a,c的关系式;法3.利用点E和点F坐标,求直线EF解析式,再将点D的坐标代入,可得a,c的关系式;法4.利用点E和点F坐标,求得直线EF解析式,利用点D和点E坐标,求得直线DE解析式,D,E,F在同一直线上,所得两解析式的k值相等,可得a,c的关系式.以法2为例,后续解答过程如下:出直线DF的解析式为:y=6x−18+c−9a把点E(32,3)代入得,c=9a,∴抛物线解析式为:y=ax2−6ax+9a,∵1<x<6,抛物线顶点坐标为(3,0),∴当x=3时,y min=0,当x=6时,y max=9a,∴0 y<9a.类型二:应用相似三角形性质得点D,E,F有关的线段关系.法5:如图过F点作对称轴x=3的垂线,垂足为N,∴∆DME ∆DNF,∴DNDM=MENF,∴3c−9a=0.56a,∴c=9a,继而解答如上法2.类型三:应用三角函数得点D,E,F有关的线段关系.法6:如图过F点作对称轴x=3的垂线,垂足为N,tan∠EDM=DNDM=MENF,继而解答如上法2.还有许多方法,限于篇幅,不再赘述.4试题对教学的启示二次函数是初中数学的核心内容,历来都是中考必不可少的一项内容,常广泛结合各知识,突出考查几何思维水平和数学思想方法,这为我们教师今后的教学给予了一定的启示.4.1重夯实基础,让知识变得透彻正确的解题思路源于对基础知识、基本技能的熟练掌握.教学上应引导学生避免浮躁地堆砌知识,而应着重深度理解最基本的概念和原理,真正理解基础知识.如教学上引导学生对某个一元二次方程的根的认识,形成四个层次:首先有直观感知,将根代入方程,等式成立;进一步可以运用根的判别式了解根的存在情况;还想知道根的大致范围,可以运用根与系数的关系;最后应用求根公式明确求根.从这四个对根的认识,由浅入深,符合人们对事物的认知规律能帮助学生深度理解根的意义,构建学生良好的基础知识水平.数学运算作为数学六大核心素养之一,是良好的解题习惯,解题速度和准确度的保证.运算能力作为课标核心词,不应狭隘、极端地理解为短时间、高效率、准确性.《课标》指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题.”运算的正确、灵活、合理、简洁是运算能力的主要特征,良好的运算能力是优等生形成与自身综合实力匹配的稳定的心理素质的前提.4.2重深度思考,让思维得以延续解题教学中,不仅需要教师引导学生分析问题,从不同方向思考,寻求解题途径,还需要教师引导学生进行深度思考,挖掘问题的本质,避免落入花式技巧和套路的学习怪圈.只有提升学生思维的深广度,才能真正收获解题方法和经验,形成解题能力.如在代数综合类问题解题教学中,特别是与函数相关的内容,常依据问题的背景做一些分类:函数与平行四边形,函数与面积,函数与全等等.但教学上要避免陷入学生机械地套路解题,而应引导学生深刻认识到图形与坐标关系的本质,是点的坐标、线段长之间的相互转化.函数与多方面知识结合形成千变万化的问题,其本质为归纳出线段的关系,进而转化点的坐标关系.4.3重积累经验,让数学本质得以挖掘经历深度思考的解题之后,学生要学会将知识置于整个知识体系中,积累学习经验.教师引导学生及时总结题目所蕴含的结论以及所涉及的思想方法.学生构建合理的知识结构与知识系统,才能在解决问题是能够顺畅地提取知识.初中几何有许多的知识是以图形为线索展开的,如与中点相关的定理在几何各个章节里都有出现,教师在教学中，引导学生归纳与中点有关的定理,让学生“见到中点能想到什么……”,学生在总结和归纳中发现知识的纵横联系,有助于提高学生在新问题情境下准确把握核心知识、形成解题决策的能力,从而提高运用已有经验解决新问题的能力.类似的经验还有“证明线段相等的方法”,“用轴对称变换的观念添加辅助线”等.参考文献[1]谷晓凯,张海营.广泛联系•突出思想•适度创新:2017年中考“图形与坐标”专题命题分析[J].中国数学教育(初中版),2018(3): 6-13.[2]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011版)[M].北京:北京师范大学出版社,2010.。

2010年北京市中考数学试题第25题分析题目：已知△ABC 中，∠BAC=2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD=CD ，BD=BA 。

探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。

请你完成下列探究过程：A先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

（1） 当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图，观察图形AB 与AC 的数量关系为当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为（2） 当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

解题分析：⑴：①、依问题中的条件补全右图：考察线段垂直平分线的性质定理及圆概念在作图中的运用。

以点B 为圆心BA 长为半径作圆交线段AC的中垂线于△ABC 内点D 。

②、AB 与AC 的数量关系：考察Rt 三角形中角度计算、三角形内角和定理、等角对等边。

由∠BAC=2∠ACB ，∠BAC=90°，得∠ACB=45°，则∠ABC=∠ACB=45°，得到AB=AC 。

③、∠DBC 的度数为：考察等腰三角形性质、三角形内角和定理、弦切角、圆心角。

C BA D由∠BAC=90°得AC 切⊙B 于点A ，则DAC ABD ∠=∠2，又有DAC BAD ∠-︒=∠90，且AD=CD ，则DAC BAD BDA ∠-︒=∠=∠90。

由︒=∠+∠+∠180ABD BDA BAD ，推出∠DAC=15°，则∠DBA=30°， 则∠DBC 的度数为15.④、∠DBC 与∠ABC 度数的比值：1：3。

⑵：∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同：考察轴对称图形性质、梯形及等腰梯形的概念及性质、平行线性质、等腰等边三角形判定及性质、三角形内角和定理。

上海中考数学第25题分析（下）——与圆有关的压轴题前言：我们古代数学家刘徽、祖冲之为了研究圆（周长和面积），费尽毕生精力，不管是割圆术还是牟合方盖，不管极限思想还是圆周率的精确，都是古人智慧的结晶，也许正因为古人的智慧铺垫，才有了如今我们学习圆的轻松和方便，今天我们一起来探究下圆的压轴！一、圆的知识梳理及拓展延伸——重要！！！1、圆的定义（轨迹法）：平面上的动点到定点的距离等于定长，这样的轨迹称之为圆（定点为圆心，定长为半径）。

2、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5、切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6、切线的性质：①经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

③圆的切线垂直于经过切点的半径。

7、直径所对的圆心角为直角。

8、两圆相交，则连心线平分公共弦——注意事连心线，不是圆心之间的线段！ 9、①圆的周长及面积公式：r C π2=，2r S π=； ②扇形的周长及面积公式：r n C π2360=，2360r n S π=； 10、圆的割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

11、圆和圆的位置关系：相交、相离（外离+内含）、相切（外切+内切）。

12、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；②圆内接四边形的对角互补；③圆内接四边形的外角等于内对角。

题外话：圆的性质是所有章节最多的一个，还有弦切角+圆心角+圆周角的关系、圆幂定理及逆定理、托勒密定理及其逆定理等等，但可恨的是上海中考这个拿学业水平考当选拨的考试，它根本就不考那么多！二、25题与圆有关的压轴题题型归纳圆的综合在一模试卷中出现的不多，二模中是重点题型。

2023福建中考数学25题
题目：某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

从班级中随机选择3名学生，求选择的3名学生中至少有2名男生的概率。

解析：首先，我们需要计算总的选择方式。

从30名学生中选择3名学生的方式共有C(30, 3)种，即30个学生中选出3个学生的组合数。

接下来，我们计算选择的3名学生中至少有2名男生的方式。

有两种情况满足这个条件：
选择3名男生：从15名男生中选择3名学生的方式共有C(15, 3)种。

选择2名男生和1名女生：从15名男生中选择2名学生的方式共有C(15, 2)种，从15名女生中选择1名学生的方式共有C(15, 1)种。

因此，选择2名男生和1名女生的方式共有C(15, 2) * C(15, 1)种。

最后，我们将两种情况的方式数相加，得到选择的3名学生中至少有2名男生的方式总数。

概率等于选择的方式数除以总的选择方式数。

因此，最终的概率为：
P(至少有2名男生) = (C(15, 3) + C(15, 2) * C(15, 1)) / C(30, 3)。

二次函数与几何图形综合问题------十堰中考第25题二．近三年中考试题1.（2016十堰中考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=，PH=，由此发现，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2017十堰中考）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y轴于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．3.（2018十堰中考）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S △PBO =S △PBC ，求证：AP ∥BC ；（3）在抛物线上是否存在点D ，直线BD 交x 轴于点E ，使△ABE 与以A ，B ，C ，E 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．三、2019年中考预测试题1.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-2，0)，B (-3，3)及原点O ，顶点为C ． (1)求抛物线的函数解析式；(2)设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四 边形，求点D 的坐标；变式1：在抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△BCF 为等腰三角形，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；变式2：在抛物线上是否存在点Q ，使△BCQ 以BC 为直角边的三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；变式3：在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB+PA 的值最小时的点P 的坐标； (3)P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，已知抛物线21y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点(4,0)B ，与过A 点的直线相交于另一点5(3,)2D ，过点D 作DC x ⊥轴，垂足为C . （1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），过P 作x PN ⊥轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求PCM ∆面积的最大值；（3）若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点N D C M 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线23y ax bx =+-经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC=3OB.（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在y 轴上，且∠BDO=∠BAC ，求点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在。

25题解析一、例题赏析（2013）25.（本题满分12分）问题探究（1） 请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2） 如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点.如果AB=a ，CD=b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.25．（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC 的边长为3+3．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求。

（2）设正方形E'F'P'N'的边长为x ．∵△ABC 为正三角形，∴3AE'=BF'=x 3。

∴23x+x=3+33。

∴9+33x=23+3，即x=333-。

（3）如图②，连接NE ，EP ，PN ，则0NEP=90∠。

设正方形DEMN 和正方形EFPH 的边长分别为m 、n （m ≥n ），它们的面积和为S ，则NE=2m ，PE=2n 。

九年级数学上册第二十五章概率初步经典大题例题单选题1、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）A ．19B ．16C ．13D ．23 答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列表如下：3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13.故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ）A ．2081B ．1081C ．5243D ．10243答案：B分析：因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有36种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3×C 64，根据概率公式求解．解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有36种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为3×6×5，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=3×6×536=1081， 故选：B ． 【小提示】选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．3、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C分析：根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是P =24=12； 故选C ．小提示：本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．4、现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．56答案：D分析：列举出所有的情况，再得到至少有一盒过期的情况数，利用概率公式计算即可．解：∵有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，设未过期的两盒为A ，B ，过期的两盒为C ，D ，随机抽取2盒，则结果可能为（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），共6种情况，其中至少有一盒过期的有5种，∴至少有一盒过期的概率是56，故选D ．小提示：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n ．5、不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34 答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．小提示：本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6、如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是（ ）A ．14B ．18C ．316D ．23答案：C分析：先求出黑色区域的面积是正方形桌面的分率，再根据概率公式即可得出答案．解：观察图形可知，黑色区域的面积是正方形桌面的316， ∴最终停在黑色区域的概率是316， 故选：C ．小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．7、将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A ．12B ．13C ．25D ．35 答案：A分析：随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．解：设正六边形边长为a ，过A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥CE 于E ，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，∴在RtΔACD 中，∠ADC =90°,∠CAD =60°,AC =a ，则AD =12a,CD =√32a ， ∴BC =2CD =√3a ，∴在RtΔBCE 中，∠BEC =90°,∠BCE =60°,BC =√3a ，则CE =√32a,BE =32a ， 则灰色部分面积为3S ΔABC =3×12BC ⋅AD =3×12×√3a ×12a =34√3a 2，白色区域面积为2S ΔBCE =2×12CE ⋅BE =√32a ×32a =3√34a 2，所以正六边形面积为两部分面积之和为32√3a 2， 飞镖落在白色区域的概率P =34√3a 232√3a 2=12， 故选：A ．小提示：本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．8、若气象部门预报明天下雨的概率是70%，下列说法正确的是（ ）A ．明天下雨的可能性比较大B ．明天下雨的可能性比较小C ．明天一定会下雨D ．明天一定不会下雨答案：A分析：根据“概率”的意义进行判断即可．解：A ．明天下雨的概率是70%，即明天下雨的可能性是70%，也就是说明天下雨的可能性比较大，因此选项A 符合题意；B ．明天下雨的可能性是70%，也就是说明天下雨的可能性比较大，因此选项B 不符合题意；C ． 明天下雨的可能性是70%，并不代表明天一定会下雨，因此选项C 不符合题意；D ． 明天下雨的可能性比较大，与明天一定不会下雨是矛盾的，因此选项D 不符合题意； 故选：A ． 小提示：本题考查了概率与可能性的关系，正确理解概率的意义是解题的关键．9、五张不透明的卡片，正面分别写有实数−1，√2，115，√9，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45 答案：B分析：通过有理数和无理数的概念判断，然后利用概率计算公式计算即可．有理数有：−1，115，√9；无理数有：√2，5.06006000600006……；则取到的卡片正面的数是无理数的概率是2，5故选：B．小提示：本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可．10、某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（）.A．众数B．中位数C．平均数D．方差答案：B分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选B．点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数填空题11、如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰的概率为_________．好使得△ABC的面积为12答案：3##0.3758分析：按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可．的三角形，解：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为12，则概率为：6÷16=38所以答案是：3．8小提示：此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．12、从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是__________．答案：29分析：依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况，一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况，∴一根标有A，一根标有C的概率是29．所以答案是：29．小提示：本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，先向盒中放入5个黑球，摇匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中25次摸到黑球，则估计盒中有__________个白球．答案：95分析：可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．解：设盒子里有白球x个，根据题意得：5 x+5=25500，解得：x＝95，答：估计盒中大约有白球95个；所以答案是：95．小提示：本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．14、如图，四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若在四边形ABCD 内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为_____________．答案：12##0.5 分析：先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH 是平行四边形，然后由AC ⊥BD 可以证得平行四边形EFGH 是矩形．解：如图，∵E 、F 、G 、H 分别是线段AD ，AB ，BC ，CD 的中点，∴EH 、FG 分别是△ACD 、△ABC 的中位线，EF 、HG 分别是△ABD 、△BCD 的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF ∥BD ，GH ∥BD 且EF =12BD ，GH =12BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=EF •FG =14AC •BD ， ∵四边形ABCD 的面积=12AC •BD ， ∴这一点落在图中阴影部分的概率为：14AC·BD 12AC·BD =12， 所以答案是：12． 小提示：本题主要考查了几何概率，中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH 是平行四边形是解题的关键．15、汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2:3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.答案：1213分析：设勾为2k，则股为3k，弦为√13k，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率．详解：设勾为2k，则股为3k，弦为√13k，∴大正方形面积S=√13k×√13k=13k2，中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k2，故阴影部分的面积为：13 k2-k2=12 k2∴针尖落在阴影区域的概率为:12k213k2=1213．故答案为1213．点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．解答题16、下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)太阳从西边落山；(2)某人的体温是100 ℃；(3)a2＋b2＝0；(4)某个等腰三角形中任意两个角都不相等；(5)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．答案：(1) “太阳从西边落山”是必然事件；(2) “某人的体温是100 ℃”是不可能事件；(3) “a2＋b2＝0”是随机事件；(4) “某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件；(5) “经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件．分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．解：(1)根据生活常识，可知太阳一定从西边落山，所以“太阳从西边落山”是必然事件．(2)因为正常人体的体温都在37 ℃左右，所以“某人的体温是100 ℃”是不可能事件．(3)当a=b=0时，a2＋b2=0，当a，b中至少有一个不等于0时，a2＋b2为正数，所以“a2＋b2=0”是随机事件．(4)根据等腰三角形的性质，等腰三角形中至少有两个角相等，所以“某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件．(5)经过有信号灯的十字路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，所以“经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件．小提示：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．17、从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．答案：(1)13(2)12分析：（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．（1）解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是1.3（2）列表如下：所以一定有乙的概率为：612=1 2 .小提示：本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．18、如图为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．(1)小明如果踩在9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是______；(2)如图，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个小方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗地雷．①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地面的概率是______；②小明和小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，请用所学的概率的知识，通过计算来说明这个约定对谁有利．答案：(1)1081(2)①38；②这个约定对小亮有利，理由见解析．分析：（1）直接利用概率公式计算；（2）①直接利用概率公式计算；②根据概率公式，分别计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后比较两概率的大小即可得到这个约定对谁有利．（1）解：小明如果踩在9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率为1081；所以答案是：1081；（2）①小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率=38；所以答案是：38；②小明胜的概率=8−38=58，小亮胜的概率=81−9−781−9=6572,∵58=4572<6572，∴小亮胜的机会大，即这个约定对小亮有利．小提示：考查了概率的计算公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

25. 如题25图，抛物线233y x bx c +=++与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左右两侧，33BO AO ==,过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，3.BC CD =（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA上。

当ABD 与BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标。

()()()()()()()()()()()()222211,0,3,0;331,0,3,03333110;33333302:30,33333363233331,3BD A B A B y x bx c b c b b c c L y k x k y x x y k x x x k D DE x E BC CD BC B CD -+-=++⎧⎧++⋅-+⋅-+==-⎪⎪⎪∴⎨⎨++⎪⎪⋅+⋅+==-⎪⎪⎩=-≠⎧+++=--⎪⎨⎪=-⎩==--⊥=∴=解：易知把代入得令联立方程组解得或者；过作轴交于点，()()()()()12343,,3313,3:33234333123,0,523,0,,0,,0,BD O OE k k L y x Q Q Q Q =--+=-∴=--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即解得()()()()330,45,105;2130,3,3451233213,0;31052243tan153********,0ABD ADB DAB ADB APQ ABP EP PQB QE PE Q PQB QE PE Q ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒=∠=︒==⎛⎫∴- ⎪⎝⎭∠=︒=︒=⨯-=-⎛⎫∴+- ⎝⎭分析如下只分析化简之后的图形：易知根据与相似，分以下情形讨论：若易知 当时，如图；易知，当时，如图；易知，()()()()()43;1,0245,2,45323123,0;1054tan152234231423,0;523,0QABP EP PQB QE PE Q PQB QE PE Q Q ⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∠=︒=∠=︒==∴-∠=︒=︒=⨯-=-∴+--即；若易知 当时，如图；易知，当时，如图；易知，即；。