2017重庆中考数学第25题几何专题训练

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为，点M的坐标为；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•市中区二模）如图，直线AC与双曲线y＝（k≠0）交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，直线AD与x轴交于点D（﹣11，0），（1）请直接写出m，n的值；（2）若点E在x轴上，若点F在y轴上，求AF+EF+BE的最小值；（3）P是直线AD上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】（2022春•渝中区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），其中OA＝1，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交BC于Q，PH∥x轴交BC于H，求△PQH周长最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y水平向右平移1个单位得到新抛物线y′，点G为新抛物线y′对称轴上一点，将线段AC沿着直线BC平移，平移后的线段记为A1C1，点K是平面内任意一点，在线段平移的过程中，是否存在以A1、C1、G、K为顶点且A1G为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题1．（2022春•雨花区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1）点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“坐标矩形”．图为点P，Q的“坐标矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0）．（1）若点B的坐标为（3，﹣1），求点A，B的“坐标矩形”的面积；（2）点C在y轴上，若点A，C的“坐标矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）在直线y＝2x+7的图象上，是否存在点D，使得点A、D的“坐标矩形”为正方形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022春•凤山县期末）如图矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝a，OC＝b，且a，b满足+|b﹣7|＝0，一次函数y＝﹣x+5的图象与边OC，AB分别交于D，E两点．（1）求点B的坐标；（2）直线OB与一次函数y＝﹣x+5交于点M，求点M的坐标；（3）点G在线段DE上运动，过点G作GF⊥BC，GH⊥AB垂足分别为点F，H．是否存在这样的点G，使以F，G，H，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022春•临西县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上．（1）求点A，B的坐标．。

中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图是一正方体展开图，则有、志、者三面的对面分别是（）A．事竟成B．事成竟C．成竟事D．竟成事2．下列四个图中，每个都是由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．3．如图，下列说法正确的是（）A．直线OM与直线MN是同一条直线B．射线MO与射线MN是同一条射线C．线段OM与线段ON是同一条线段D．射线NO与射线MO是同一条射线4．如图是某同学在数学实践课上设计的正方体纸盒的展开图，每个面上都有一个汉字，其中与“明”字相对的面上的字是（）A．诚B．信C．友D．善5．图是一个正方体的表面展开图，将它折成正方体后，“法”字在上面，那么在下面的一定是（）A ．明B ．诚C ．信D ．制 6．如图，在直线l 上的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 7．如图，C 为线段AB 上一点，点D 为AC 的中点，且2AD =，10AB =．若点E 在直线AB 上，且1BE =，则DE 的长为（ ）A ．7B ．10C ．7或9D ．10或11 8．已知3725α∠=︒'，则α∠的补角是( )A ．14235︒'B ．15235︒'C ．14275︒'D ．15275︒' 9．能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”这实际问题的数学知识是（ ） A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短D ．同角的补角相等10．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）A ．90°B ．75°C ．65°D ．60° 11．用度、分、秒表示21.24为（ ）A ．211424'''B ．212024'''C ．21144'''D ．2114' 12．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（ ）A ．正方体B ．正四棱台C ．有正方形孔的正方体D ．底面是长方形的四棱锥 13．有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中A ，B ，C ，D 中的（ ）位置拼接正方形．A ．AB ．BC ．CD ．D14．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．下列图形中，不可以作为一个正方体的表面展开图的是A ．B ．C ．D ． 16．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：∠AC CD =；∠A BEC ∠=∠；∠AB EB ⊥；∠CD 平分ADE ∠；其中一定正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠17．下列说法中，正确的是（ ）∠射线AB 和射线BA 是同一条射线；∠等角的余角相等；∠若AB BC =，则点B 为线段AC 的中点；∠点C 在线段AB 上，M ，N 分别是线段AC ，CB 的中点，若5MN =，则线段10AB =．A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠ 18．已知射线OC 是∠AOB 的平分线，若∠AOC=30°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 19．用两把常用三角板不可能拼成的角度为（ ）A ．45B ．105C ．125D ．150 20．如图，在∠ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF∠BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题21．已知2437α'∠=︒，那么α∠的补角等于______．22．已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．23．在空间搭4个大小一样的等边三角形，至少要_______根游戏棒.24．已知线段14cm AB =，点C 是直线AB 上一点，4cm BC =，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是___________cm ．25．下午12:20 分，钟表上时针与分针所夹角的度数为_____度（所求夹角小于180︒）．26．和都是 的余角，则______．27．图，∠AOC =∠BOD =90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在∠BOD 的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ，B 两题中任选一题作答．A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为__________．B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为__________（用含α的代数式表示）．28．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC＝______度．29．对几何体分类时，首先确定标准，即：（1）从形状方面，按柱体、________、球划分；（2）从面的方面，按组成的面有无__________划分；（3）从顶点方面，按有无________划分．30．几个同学在公园玩，发现一个漂亮的“古董”. 甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形，这个长方形有八种颜色，挺好看. 通过这四个同学的对话，从几何体的名称来看，这个“古董“的形状是_____________.31．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．32．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，字母B的对面是________．（用图中字母表示）33．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m /min ，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min 到达点A ，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min 到达点B ．则A 、B 两点的直线距离为______m ．34．平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 与点E ，且将BC 分成4cm 和6cm 两部分，则平行四边形ABCD 的周长为_____________．35．如图，AB 是∠O 的直径，点C 、D 是AB 两侧∠O 上的点，若∠CAB ＝34°，则∠ADC ＝_____°．36．点C 在直线AB 上，若AB ＝3，BC ＝2，则AC 为_____．37．由O 点引出的7条射线如图，若OA OE ⊥，OC OG ⊥，BOC FOG ∠>∠，则图中以O 为顶角的锐角共有________个．38．一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个正方体，把大正方体中相对的两面打通，结果如图，则图中剩下的小正方有______个．39．如图，∠α=120°，∠β=90°，则∠γ的度数是________ °．40．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD+DE的最小值为______．三、解答题41．如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AC上，点F在BC上，连接BE交AD于点G，连接EF，∠1＝∠2.(1)求证：∠BEF与∠AGB互补；(2)若∠C＝75°，EF∠BC，求∠ABC的度数．42．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．求出∠D0E及其补角的度数.43．小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的∠和∠．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的∠重新粘贴到∠上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，请你帮助小明在∠上补全．(作图要求：先用尺和铅笔画图，再用黑色的签字笔描一遍)（3）小明说：已知这个长方形纸盒高为3cm ，底面是一个正方形，并且这个长方形纸盒所有棱长的和是92cm ，请计算，这个长方体纸盒的体积是___________cm 3．44．如图1，已知AB //CD ，点G 在AB 上，点H 在EF 上，连接CG 、CH ，CG CH ⊥，90CHE CGA ∠+∠=︒．(1)求证：AB //EF ；(2)如图2，若90BAE ∠=︒，延长HC 交BA 的延长线于点M ，请直接写出图2中所有与AGC ∠互余的角．45．如图，100AOB ∠=︒，射线OC 以2/s ︒的速度从OA 位置出发，射线OD 以10/s ︒的速度从OB 位置出发，设两条射线同时绕点O 逆时针旋转s t ．(1)当10t =时，求COD ∠的度数；(2)若015t ≤≤．∠当三条射线OA 、OC 、OD 构成的三个度数大于0︒的角中，有两个角相等，求此时t 的值；∠在射线OD ，OC 转动过程中，射线OE 始终在BOD ∠内部，且OF 平分AOC ∠，当110EOF ∠=︒，求BOE AOD∠∠的值． 46．如图：点A ，B ，E 在同一条直线上，AD AC ⊥，且BD AD AE EC ⊥⊥，，垂足分别为A ，D ，E ．(1)求证：ABD ∽CAE ；(2)若1356AB BD AC ===，，，求CE 的值．47．如图，AF BC ∥．72FAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，4CDE BCD ∠=∠．(1)求CDE ∠的度数．(2)求证：AED B ∠=∠．48．(1)如图1，已知点C ，D 在线段AB 上，P 是BD 的中点，线段AB ，CP 的长度m ，n 满足227(15)0m n -+-=，AD ：BC ＝5：7，求线段CD 的长度；(2)已知∠AOB ＝140°，将射线OB 绕着点O 逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜140°）得到射线OD ，作∠BOD 的平分线OP ，将射线OP 绕着点O 逆时针旋转60°得到射线OC ．∠AOD ：∠BOC ＝1：t ．∠如图2，若t ＜1，请直接用含有t 的式子表示出∠AOD 的度数；∠若∠COD ＝12∠AOC ，求t 的值． 49．问题提出（1）如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上作一点P ，使得AP BP +的值最小．问题探究（2）如图2，正方形ABCD 的边长为6，点M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，则DN MN +的最小值是_________．问题解决（3）现在各大景区都在流行“真人CS ”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边,,BC CD DA 上插小旗子，最后回到点E ．求游戏者所跑的最少路程．50．如图，已知，在Rt ABC 中，斜边10AB =，4sin 5A = ，点P 为边AB 上一动点（不与A ，B 重合），PQ 平分CPB ∠交边BC 于点Q ，QM AB ⊥于M QN CP ⊥，于N ．(1)当AP=CP 时，求QP ；(2)若CP AB ⊥ ，求CQ ；(3)探究：AP 为何值时，四边形PMQN 与BPQ 的面积相等？参考答案：1．A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“有”与面“事”相对，面“志”与面“竟”相对，“者”与面“成”相对．故选A．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．C【详解】试题解析：A、折叠后，没有上下底面，故不能围成正方体；B、折叠后，缺少一个底面，故也不能围成正方体；C、折叠后能围成正方体；D、折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体；故选C．考点：展开图折叠成几何体．3．A【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可【详解】解：同一条直线可由这条直线上任意两点的大写字母表示，选项A正确；同一条射线必须满足端点相同，延伸方向相同，选项B，D错误；同一条线段的两个端点相同，选项C错误.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是线段、射线以及直线的概念，熟记概念定义是解题的关键. 4．B【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，在正方体盒子上与“明”字相对的面上的字是“信”．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5．C【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，这一特点作答即可．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∠与“法”字相对的面上的汉字是“信”．故应选：C ．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键6．B【分析】根据图像点与线的关系可直接得出答案．【详解】解：由图像可知点A 、C 、D 在直线l 外，点B 在直线l 上故选B ．【点睛】本题考查了点线关系，比较简单．7．C【分析】由题意根据线段中点的性质，可得AD 、DC 的长，进而根据线段的和差，可得DE 的长．【详解】解：∠点D 为AC 的中点，且2AD =，∠2AD DC ==，∠10AB =，∠6BC AB AD DC =--=,∠1BE =，当E 在B 左侧，2617DE DC BC BE =+-=+-=,当E 在B 右侧，2619DE DC BC BE =++=++=.∠DE 的长为7或9.故选：C.【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是利用线段的和差以及线段中点的性质． 8．A【分析】根据互补两角之和180°计算即可．【详解】∠3725α∠=︒'∠α∠的补角=1803725︒-︒'=14235︒'，故选A ．【点睛】本题考查补角定义和角度计算，需要注意角度度分秒计算时进制时60． 9．B【分析】根据两点确定一条直线解答即可．【详解】解：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”这实际问题的数学知识是:两点确定一条直线，故选B ．【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 10．B【分析】根据平行线的性质可得∠FDC ＝∠F ＝30°，然后根据三角形外角的性质可得结果．【详解】解：如图，∠EF ∠BC ，∠∠FDC ＝∠F ＝30°，∠∠1＝∠FDC +∠C ＝30°+45°＝75°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知三角板各个角的度数是解本题的关键．11．A【分析】根据度、分、秒之间的进制，先将度中的小数部分转化为分，再将分的小数部分转化为秒即得．【详解】解：21.24210.2460︒'︒=+⨯2114.4︒'=+21140.460'''=︒++⨯211424'''=︒++211424'''=︒．故选：A ．【点评】本题考查了度、分、秒运算，熟练掌握度、分、秒之间的六十进制是解题关键，六十进制与十进制易混淆．12．A【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到三个图形一致的几何体即可．【详解】解：A、正方体的三视图是全等的正方形，符合题意；B、正四棱台的三视图分别为梯形，梯形，两个正方形的组合图形，不符合题意；C、有正方孔的正方体的左视图与主视图都是正方形里面有两条竖直的虚线，俯视图是两个正方形的组合图形，不符合题意；D、四棱锥的三视图分别是三角形，三角形，四边形及中心，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意看不到的棱用虚线表示．13．A【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．【详解】解：如图所示：根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形．故选：A．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．14．C【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．【详解】A ．俯视图与主视图都是正方形，故该选项不合题意；B ．俯视图与主视图都是矩形，故该选项不合题意；C ．俯视图是圆，左视图是三角形；故该选项符合题意；D ．俯视图与主视图都是圆，故该选项不合题意；故选C ．【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．15．B【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．【详解】A ．可以作为一个正方体的展开图，B ．不可以作为一个正方体的展开图，C ．可以作为一个正方体的展开图，D ．可以作为一个正方体的展开图，故选B ．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．16．A【分析】根据旋转的性质得到AC CD =，BC CE =，A EDC ∠=∠，故∠正确；得到ACD BCE ∠=∠，CBE BEC ∠=∠，根据三角形的内角和得到1802ACD A ADC ︒-∠∠=∠=，1802BCE CBE BEC ︒-∠∠=∠=，求得A BEC ∠=∠，故∠正确；由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故∠错误，可求得ADC EDC ∠=∠，故可判定∠．【详解】解：∠ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∠AC CD =，BC CE =，A EDC ∠=∠，ACB ECD ∠=∠，故①正确；∴A ADC EDC ∠=∠=∠，ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠，∠CD 平分ADE ∠，ACD BCE ∠=∠，故∠正确；∠BC CE =，∠CBE BEC ∠=∠，∠根据三角形内角和定理可知1802ACDA ADC︒-∠∠=∠=，1802BCECBE BEC ︒-∠∠=∠=，∠A BEC∠=∠，故∠正确；∠A ABC∠+∠不一定等于90︒，ABC CBE∴∠+∠不一定等于90︒，故∠错误．综上，正确的由①②④，故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质、、三角形的内角和定理、角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．17．C【分析】根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．【详解】∠射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；∠同角的余角相等，正确；∠若AB=BC，点B在线段AC上时，则点B为线段AC的中点，错误；∠点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10，正确．故选：C．【点睛】本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．18．D【分析】根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：∠射线OC是∠AOB的平分线，∠AOC=30°，∠∠AOB=60°．故答案选：D．【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是熟练掌握角平分线的定义．19．C【分析】根据两个三角板可拼出的角度有15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°【详解】∠三角板的度数为30°,60°,90°;45°,45°,90°∠可拼出的角度有15°,30°,45°,60°,75°,90°105°,120°,135°,150°,180°.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是角的计算，解题的关键是熟练的掌握角之间的转换.20．CAB，由角平分线的定义可证得【分析】由直角三角形的性质可求得DF=BD=12DE∠BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】解:∠AF∠BF，D为AB的中点，∠DF=DB=1AB=6，2∠∠DBF=∠DFB，∠BF平分∠ABC，∠∠DBF=∠CBF，∠∠DFB=∠CBF，∠DE∠BC，∠DE为∠ABC的中位线，∠DE=1BC=10，2∠EF=DE−DF=10−6=4，故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得∠DBF 为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为∠ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.21．155°23′【分析】根据补角的概念，直接作答即可．【详解】解：根据题意，∠α=24°37′，则∠α的补角=180°-24°37′=155°23′．故答案为：155°23′．【点睛】此题考查补角的问题．解题的关键是掌握补角的定义，涉及角度问题时，需要特别注意题干中是否带有单位．22．30【详解】∠互余两角的和等于90°，∠α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3023．6【分析】根据题意可知在同一平面内用游戏棒搭4个大小一样的等边三角形（两个菱形），至少要9根游戏棒，在空间搭4个大小一样的等边三角形，如三棱锥，至少要6根游戏棒．【详解】由题可知：因为4个等边三角形需12根游戏棒，但可共用3根，所以至少要9根游戏棒；因为空间可以共棱，所以至少要6根游戏棒．【点睛】此题涉及到规律型：数字的变化类．主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．24．7【分析】本题需要分两种情况讨论，∠当点C在线段AB上时，∠当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．【详解】如图，当点C在线段AB上时，则14410AC=-=∠M是AC的中点，N是BC的中点，∠1152722MN MC CN AC BC=+=+=+=；如图，当点C在线段AB的延长线上时，则14418AC=+=，∠M是AC的中点，N是BC的中点，∠1192722MN MC CN AC BC=-=-=-=，综上所述，段MN的长度是7cm，故答案为：7【点睛】本题考查了两点间的距离，关键是利用了线段的中点的定义，分情况讨论．25．110【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【详解】解：∠时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∠钟表上12时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20=10°，分针在数字4上．∠钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∠12时20分钟时分针与时针的夹角4×30°-10°=110°．故答案为：110．【点睛】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．26．=【详解】解：∠α=90°-∠AOB ，∠β=90°-∠AOB ，故∠α=∠β．故答案为=． 27． 110°或130° 1203α⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭或21503α⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭ 【分析】A 、根据角的和差得到∠AOB =90°-30°=60°，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE =13∠AOB =20°，∠当∠BOE ′=13∠AOB =20°，根据角的和差即可得到结论；B 、根据角的和差得到∠AOB ，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE =13∠AOB ，∠当∠BOE ′=13∠AOB ，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：A 、如图，∠∠AOC =90°，∠BOC =30°，∠∠AOB =90°-30°=60°，∠OE 是∠AOB 的一条三等分线，∠∠当∠AOE =13∠AOB =20°， ∠∠BOE =40°，∠∠BOD=90°，∠∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，∠当∠BOE′=13∠AOB=20°，∠∠DOE′=90°+20°=110°，综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；B、∠∠AOC=90°，∠BOC=α°，∠∠AOB=90°-α°，∠OE是∠AOB的一条三等分线，∠∠当∠AOE=13∠AOB=30°-13α°，∠∠BOE=90°-α-（30-13α）°=60°-23α°，∠∠BOD=90°，∠∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-23α°，∠当∠BOE′=13∠AOB=30°-13α°，∠∠DOE′=90°+30°-13α°=120°-13α°，综上所述，∠EOD的度数为150°-23α°或120°-13α°，故答案为：150°-23α°或120°-13α°；【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．28．75【分析】由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∠CD，所以∠BAE=∠D=30°，利用三角形的外角关系即可求出∠AEC的度数．【详解】解：∠∠BAC=∠ACD=90°，∠AB∠CD，∠∠BAE=∠D=30°，∠∠AEC=∠B+∠BAE=75°，故答案为：75.【点睛】此题主要三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，判断出AB ∠CD 是解本题的关键．29． 锥体 曲的面 顶点【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解．【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分；（2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分；（3）从顶点方面，按有无____顶点____划分．故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点．【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 30．八棱柱【分析】棱柱有两个面互相平行，其余各面都是多边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行；据此，再结合“这个‘古董’有8个面是正方形，2个面是多边形”，即可确定答案.【详解】根据甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形.可知它符合棱柱的特征，可知是一个八棱柱.故答案为八棱柱.【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握棱柱的特征.31．【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =， 过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，30AB =，AE BE ∴== 在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒，CE ∴=AC AE CE ∴=+=∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．32．D【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以字母B的对面是D．故答案为D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．33．1000【分析】先画出草图，根据∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，得到∠AOB=90°，根据路程=速度×时间，得到OA=40×15=600，OB=40×20=800，利用勾股定理计算AB即可．【详解】画出草图如下，∠∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，∠∠AOB=90°，∠路程=速度×时间，∠OA =40×15=600，OB =40×20=800，∠AB =1000，故答案为：1000．【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角的意义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．34．32cm 或28cm【分析】根据角平分线性质，得BAE DAE ∠=∠；根据平行四边形及平行线性质，得BEA DAE ∠=∠，从而得BAE BEA ∠=∠；根据等腰三角形性质，得BA BE =；根据题意，分两种情况分析，通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，如图：∠AE 平分∠BAD 交BC 与点E ，∠BAE DAE ∠=∠∠平行四边形ABCD∠//AD BC∠BEA DAE ∠=∠∠BAE BEA ∠=∠∠BA BE =AE 将BC 分成4cm 和6cm 两部分，当6cm BE =时，得6cm BA BE ==∠10cm BC BE EC =+=∠平行四边形ABCD 的周长为2232cm BA BC +=当4cm BE =时，得4cm BA BE ==∠平行四边形ABCD 的周长为2228cm BA BC +=故答案为：32cm 或28cm ．【点睛】本题考查了角平分线、平行四边形、平行线、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行四边形、等腰三角形的性质，从而完成求解．35．56【分析】先由圆周角定理得∠ACB ＝90°，求得∠ABC 的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC 的度数．【详解】解：∠AB 为∠O 的直径，∠∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝34°，∠∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝56°，∠∠ADC ＝∠ABC ＝56°．故答案为：56．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．36．1或5【分析】分为两种情况，画出图形，根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：当C 在线段AB 上时，AC=AB-BC=3-2=1，当C 在线段AB 的延长线时，AC=AB+BC=3+2=5，即AC=1或5，故答案为：1或5．【点睛】本题考查了线段的和差，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意要进行分类讨论．37．15【分析】分别以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为一边，数出所有角，找出其中的非锐角，相减即可得答案．【详解】解：以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为始边，分别有角6个，5个，4个，3个，2个，1个，图中共有角21个，OA OE ⊥，所以以OA 为边的非锐角有3个，分别为,,AOG AOF AOE ，,OC OG ,BOC FOG∠∠COF +∠BOC ＞90°，∠∠FOB ＞90°．所以以OB 为边的非锐角有2个，分别为,BOG BOF ，以OC 为边的非锐角有1个，为COG ∠．于是图中共有锐角21-（3+2+1）=15个．故答案为15．【点睛】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数，要注意去掉非锐角．38．73【分析】根据题意：我们把相对面打通需要去掉的小正方体分三种情况，按一定的顺序数去掉的小正方体数量，如前后面，上下面，左右面分别去数数，然后用总数125减掉数出来的三部分即可，注意：前面数过的后面的一定去掉，否则会重复的．【详解】解：前后面少(3+2)×5＝25(个)，上下面少的(去掉与前后面重复的)(5-3)+2×3+1×5＝13(个)，左右面少的(去掉与前后，上下重复的)(5-3)+(5-1)+(5-2)+(5-2-1)+(5-2)＝14(个)， 125-(25+13+14)＝73(个)，答：图中剩下的小正方体有73个．故答案为：73．【点睛】本题考查了正方体的对面上的数字，要注意不能重复和遗漏．39．150.【分析】根据周角的定义，利用360度减去∠α和∠β即可求解．【详解】由题意可得，∠γ=360°-∠α-∠β=360°-120°-90°=150°．故答案是：150．【点睛】本题考查了角度的计算，正确得到图中三个角之间的关系是解决问题的关键．40．16【分析】作点C关于AB的对称点C'，过点C'作C'E∠AC，交AB于点D'，即可确定C'E 就是CD+DE的最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识求解即可．【详解】作点C关于AB的对称点C'，过点C'作C'E∠AC，交AB于点D'，则CD+DE的最小值为C'E的长；∠∠ACB=90°，AC=20，BC=10，，∠∠A=∠C'，∠''C E AC CC AB，∠C'E=16；故答案为16；【点睛】本题考查了相似三角形、勾股定理和最短距离问题，其中运用作对称点确定最短距离是解答的关键．41．(1)证明见解析(2)∠ABC=75°【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠DAC=∠1，则∠DAC=∠2，于是可判断。

2020年重庆中考几何25题专题训练一1、（原创）已知如图，平行四边形ABCD中，连接AC ,丛:符■亡口国匕"滋叫乩了，点E是边BC上一点，过点B作于点F（1）如图1，若心范0莒求丄匚-的面积；（2）如图2，点G为BC的中点，连接AG，FG，求证：J/-' + \!2GF HF.图1 图22、（原创）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上，且AB =AE，/ BAE =90，。

过E作EF丄AC于点F ,点G是BE的中点，连接FG .、AG.（1）若- !'■ ■ , ,求EF 的长；（2 ）求证：3、（原创）如图,在平行四边形ABCD中,连接AC，ZBAC =90 且AB = AC，点E为AC上一点，连接BE ,过点A作AF丄BE于点F ,交BC于点G ,点H是BE上任意一点。

⑴如图1,连接AH，若AH平分ZBAC ,且BH =4,求AG的长；⑵如图2,连接CH ,交AG于点P，若点P恰为CH中点，求证: BH =2 FP .⑵ 证D/)HHMFNNABB(1)图2图1 24、 如图，在平行四边形 ABCD 中，过 B 作 BE 丄AB 交 CD 于E.AB=BE ，连 AE ,过 B 作 BH 丄AE 于 H ，点 M 是 BE 上一点，且 BM=CE ，连接AM 交BH 于N.5、(原创) 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC ，ZBAC=90 ，且 AB=AC,点E 为B C 上一点， 连接 AE ， 过点 C 作 CG 丄A E 于点G ， 交AB 于点F. ⑴如图1,若ZCBE= 1'， 求ZEAM 的度数;如图2.延长AM 交BC 于 F ，连接EF,当点F 为BC 的中点时,求如图1，若，_口一1求的长; (2) 且点如图2，点 为的中点 T 在上，连接 若 ，求证：、 ，A-交 ::于占 I /八、、图1 图26、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC , /BAC=90°，且AB=AC,点E为平行四边形ABCD外一点,过点C作CE丄BE于点G , 交AB于点F.(1 ) 如图1 ,若 'r'" •，升7，求/的长；(2 ) 如图2，连接廿，过点A作AG丄BC于点G，交CF于点M.若二“匚求证：“—廳型。

题型七 几何图形旋转探究类型一 几何图形旋转探究针对演练1. (2016甘孜州)如图①，AD 为等腰直角△ABC 的高，点A 和点C 分别在正方形DEFG 的边DG 和DE 上，连接BG 、AE . (1)求证：BG ＝AE ；(2)将正方形DEFG 绕点D 旋转，当线段EG 经过点A 时(如图②所示)． ①求证：BG ⊥GE ；②设DG 与AB 交于点M ，若AG ∶AE ＝3∶4，求GM MD的值．第1题图2. 四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 上(不与端点B 、C 重合)，点F 在对角线AC 上，且EF ⊥AC ，连接AE ，点G 是AE 的中点，连接DF 、FG . (1)若AB ＝72，BE ＝2，求FG 的长； (2)求证：DF ＝2FG ；(3)将图①中的△CEF 绕点C 按顺时针旋转，使边CF 恰好在正方形ABCD 的边BC 上(如图②)，连接AE ，点G 仍是AE 的中点，猜想BF 与FG 之间的数量关系，并证明你的猜想．第2题图3. (2016重庆南开九下半期考试)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F，使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH；(3)如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α(0°<α<360°)得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN.已知CD＝AE＝4，直接写出DN的取值范围．第3题图4. (2016重庆西大附中第七次月考)已知如图①，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于F，连接AF，G为AF中点，连接EG，CG.(1)如果BE＝2，∠BAF＝30°，求EG，GC的长；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取AF中点G，连接EG，CG.延长CG至M，使GM＝GC，连接EM、EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，取AF中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？证明你的结论．第4题图5. (2016重庆巴蜀中学上期期末考试)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE ＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF.(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，不需要证明；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长．第5题图6. (2016重庆育才二诊)菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 和点F 分别是BC 和CD 上一动点，且∠EOF ＋∠BCD ＝180°，连接EF .(1)如图①，当∠ABC ＝90°，若AC ＝42，EC ＝32，求线段EF 的长；(2)如图②，当∠ABC ＝60°时，求证：CE ＋CF ＝12AB ；(3)如图③，当∠ABC ＝90°时，将∠EOF 的顶点移到AO 上任意一点O ′处，∠EO ′F 绕点O ′旋转，仍满足∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，O ′E 交BC 的延长线于点E ，射线O ′F 交CD 的延长线于点F ，连接EF ，探究在整个运动变化过程中，线段CE 、CF ，O ′C 之间满足的数量关系，并证明你的结论．第6题图答案类型一 几何图形旋转探究针对演练1. (1)证明：∵AD 为等腰直角△ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠BDG ＝90°， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ， 在△BDG 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=DE DG ADE BDG AD BD90， ∴△BDG ≌△ADE (SAS)， ∴BG ＝AE.(2)①证明：如解图，第1题解图∵四边形DEFG 为正方形， ∴△DEG 为等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°，∵DE ＝DG ，由(1)得AD ＝BD ， BG ＝AE ，∴△BDG ≌△ADE(SSS)， ∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°， 即∠BGE ＝90°， ∴BG ⊥GE ；②解：设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，GE ＝7x ， ∴DG ＝22GE ＝722x ， ∵△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝22)3()4(x x +＝5x ， ∵△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ， ∴∠3＝∠4，又∵∠BDM ＝∠GDB ， ∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM ∶BD ，即522x ∶722x ＝DM ∶522x ，解得：DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝x x142257212＝2425. 2. (1)解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ABC ＝90°，根据勾股定理得，AE ＝AB 2＋BE 2＝10， ∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°， ∵点G 是AE 中点，∴FG ＝12AE ＝5.(2)证明：连接BF ，BG ，如解图①，第2题解图①∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴AB ＝AD ，∠DAC ＝∠BAC ， ∵AF ＝AF ，∴△AFD ≌△AFB (SAS)， ∴DF ＝BF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°， ∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°， ∵G 为AE 的中点， ∴AG ＝FG ＝BG ，∴∠GAF ＝∠GFA ，∠GAB ＝∠GBA ， 又∵∠BAF ＝45°，∴∠BGF ＝∠EGF ＋∠EGB ＝∠GAF ＋∠GFA ＋∠GAB ＋∠GBA ＝45°＋45°＝90°， ∴△BGF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2FG ， ∵DF ＝BF ， ∴DF ＝2FG .(3)解：BF ＝2FG .证明：连接BG ，CG ，如解图②，第2题解图②∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°， AB ＝BC ，根据旋转性质可知，∠CFE ＝90°，∠ECF ＝45°， ∴∠ACE ＝90°， ∵点G 是AE 的中点， ∴EG ＝CG ＝AG ，∴△ABG ≌△CGB (SSS)，∴∠ABG ＝∠CBG ＝12∠ABC ＝45°，∵在△EFG 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧===FG FG CF EF CG EG ， ∴△EFG ≌△CFG (SSS)，∴∠EFG ＋∠CFG ＝360°－∠CFE ＝360°－90°＝270°， ∴∠EFG ＝135°， ∵∠BFE ＝90°， ∴∠BFG ＝45°，∴△BGF 为等腰直角三角形， ∴BF ＝2FG .3. (1)解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝90°. ∵∠ECD ＝30°， ∴CD ＝CE ·cos30°＝4×32＝23，AD ＝2CD ＝43， 又∵DE ＝CE ·sin30°＝4×12＝2,∴AE ＝AD －DE ＝43－2.∴△AEC 的面积为：12×(43－2)×23＝12－2 3.(2)证明：如解图①，在HF 上取点M ，使MF ＝DH , 连接AM .第3题解图①∵AF ∥DC ， ∴∠F ＝∠DGH . ∵DH ⊥FG ，∴∠DHG ＝∠EDG ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DGH ＝∠F . ∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ， ∴AF ＝AD .在△AMF 和△AHD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AF ADH F HD MF ∴△AMF ≌△AHD (SAS)， ∴AM ＝AH ，∠FAM ＝∠DAH. ∵∠FAM ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＋∠DAH ＝90°，即∠MAH ＝90°，∴MH 2＝2AH 2,∴MH ＝2AH ，∴FH ＝FM ＋MH ＝DH ＋2AH ， 即FH ＝2AH ＋DH.(3)解：25－2≤DN ≤25＋2.【解法提示】如解图②，取AC 的中点O ，连接DO 、NO ，则ON ＝12AE ′＝2.第3题解图②∵CD ＝4，AD ＝2CD ＝8，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝42＋82＝45， ∴ OD －ON ≤DN ≤OD ＋ON ，∴DN 的取值范围是25－2≤DN ≤25＋2. 4. (1)解：∵EF ⊥AB ，∠BAF ＝30°， ∴∠EFA ＝60°， ∵G 是AF 的中点，∴CG ＝EG ＝12AF ＝GF ，∴EG ＝EF ＝GF ， ∵∠B ＝45°， ∴BE ＝EF ＝2， ∴GC ＝EG ＝EF ＝2.(2)证明：连接MF ，如解图①，第4题解图①在△AGC 和△FGM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GM GC FGM AGC FG AG ∴△AGC ≌△FGM (SAS)，∴AC ＝FM ，∠CAG ＝∠MFG ＝45°，由旋转性质可知，∠E BF ＝∠BFE ＝45°，BE ＝EF ， ∴∠EFM ＝∠EBC ＝90°， ∵BC ＝AC ＝MF ， ∴△BCE ≌△FME ，∴EC ＝EM ，∠BEC ＝∠FEM ，∴∠BEC ＋∠CEF ＝∠FEM ＋∠CEF ＝90°， ∴△EMC 是等腰直角三角形． (3)解：GE ⊥GC ，EG ＝GC .证明：连接EC ，延长CG 到M ，使GM ＝GC ，如解图②，易证△ACG ≌△FMG ，得∠MFG ＝∠CAG ，MF ＝CA ＝CB ，第4题解图②∵∠EBF ＝∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∴∠EFM ＝360°－∠BFE －∠AFB －∠MFG ＝360°－45°－(180°－∠ABF －∠BAF )－(45°＋∠BAF )＝90°＋∠ABF ，∠CBE ＝∠EBF ＋∠ABF ＋∠ABC ＝90°＋∠ABF ， ∴∠CBE ＝∠MFE ， ∵BE ＝EF ，∴△BCE ≌△FME (SAS)， ∴EC ＝EM ，∠BCE ＝∠FME ， ∵∠ACG ＝∠FMG ，∴∠FME ＋∠FMG ＋∠MCE ＝∠BCE ＋∠A CG ＋∠MCE ， 即∠EMG ＋∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴∠MEC ＝90°， ∵CG ＝MG ，∴GE ⊥GC ，EG ＝GC.5. 解：(1)DF ＝CF ，DF ⊥CF.【解法提示】∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，点F 为BE 中点，∴DF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF .∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°， ∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF ，∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ， ∴∠DFE ＝2∠DBF ，同理得：∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°， ∴DF ＝CF ，DF ⊥CF.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①所示，此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .第5题解图①∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°， ∴DE ∥BC ，∴∠D EF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF . ∵F 为BE 中点， ∴EF ＝BF.在△DEF 和△GBF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BF EF BGF EDF GBF DEF ,∴△DEF ≌△GBF (AAS)， ∴DE ＝GB ，DF ＝GF . ∵AD ＝DE ， ∴AD ＝GB ， ∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ， ∴DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形， ∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .(3)延长DF 交BA 于点H ，如解图②，第5题解图②∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，AD ＝DE ， ∴∠AED ＝∠ABC ＝45°.∵由旋转性质可知，∠CAE ＝∠BAD ＝90°， ∴AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ， ∴∠DEF ＝∠HBF . ∵F 是BE 的中点， ∴EF ＝BF ，在△DEF 和△HBF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BFH EFD BFEF HBF DEF ∴△DEF ≌△HBF (ASA)， ∴ED ＝BH ， ∵AC ＝22，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝4， ∵AD ＝1， ∴ED ＝BH ＝1，∴AH ＝3，在Rt △HAD 中，由勾股定理，得DH ＝10， ∴DF ＝102， ∴CF ＝DF ＝102. 6. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形，∴OC ⊥OD ，OC ＝OD ，∠OCE ＝∠ODF ＝45°，∠BCD ＝90°. ∵∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EOF －∠COF ＝∠COD －∠COF ， ∴∠EOC ＝∠FOD . 在△COE 和△DOF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODF OCE ODOC DOF COE ∴△COE ≌△DOF (ASA)，∴DF ＝CE ＝32.∵CD ＝AC ·sin45°＝42×22＝4， ∴CF ＝CD －DF ＝4－32＝52，在Rt △ECF 中，由勾股定理得， ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝（32）2＋（52)2＝342. (2)证明：如解图①，取BC 的中点G ，连接OG ，第6题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴OC ⊥OD ，∴OG ＝12BC ＝BG ＝CG .∵∠ABC ＝60°， ∴∠BCD ＝120°，∴∠BCA ＝60°，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∴OC ＝12AC ＝12BC ，∴OG ＝OC ＝CG ，∴∠OGC ＝∠COG ＝60°.∵∠BCD ＝120°，∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝60°，∴∠COF ＝30°， ∴∠EOF ＝∠COG ＝60°， ∴∠GOE ＝∠COF. 在△COF 和△GOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OGE OCOG COF GOE ∴△COF ≌△GOE (ASA)， ∴CF ＝GE.∵EG ＋CE ＝CG ＝12BC ＝12AB ，∴CE ＋CF ＝12AB .(3)解：CF －CE ＝2O ′C.证明：如解图②，第6题解图②过O′作O′G ⊥AC ，与CF 相交于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形， ∴∠ACD ＝45°. 又∵O′G ⊥AC ，∴∠O ′GC ＝∠ACD ＝45°，∴O ′C ＝O′G ，∠O ′GF ＝∠O′CE ＝135°. ∵∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，∠BCD ＝90°， ∴∠EO ′F ＝90°， ∵∠CO ′G ＝90°，∴∠EO ′F －∠EO′G ＝∠CO′G －∠EO′G ， 即∠GO′F ＝∠CO′E ， 在△O′GF 和△O′CE 中，,''''''⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CE O GF O CO G O E CO F GO ∴△O ′GF ≌△O ′CE (ASA)， ∴GF ＝CE.∵CF －GF ＝CG ， ∴CF －CE ＝CG.∵CG ＝O′C 2＋O′G 2＝2O′C， ∴CF －CE ＝2O′C .类型二几何图形动点探究针对演练1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F分别在边AD、AB上．(1)如图①，若点P与点O重合；①求证：AF＝DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE＝15°时，求线段EF的长；(2)如图②，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD＝3BP时，证明：PE＝2PF.第1题图2. (2016重庆南开阶段测试三)已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB；(3)如图③，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图，P为正方形ABCD边BC上任意一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.(1)如图①，若正方形的边长为22，PB＝1，求BG的长度；(2)如图②，当P点为BC的中点时，求证：CE＝2BG；(3)如图③，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN＋DN＝2AN.第3题图4. △ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，点D 在AB 边上(不与点A 、B 重合)，以CD 为腰作等腰直角△CDE ，∠DCE ＝90°.(1)如图①，作EF ⊥BC 于F ，求证：DB ＝FC ； (2)在图①中，连接AE 交BC 于M ，求ADBM的值；(3)如图②，过点E 作EH ⊥CE 交CB 的延长线于点H ，过点D 作DG ⊥DC ，交AC 于点G ，连接GH .当点D 在边AB 上运动时，式子HE －GDGH的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．第4题图5. (2016重庆十一中一诊)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF ＝AE ，连接BE 、EF .(1)如图①，当E 是线段AC 的中点，且AB ＝2时，求△ABC 的面积；(2)如图②，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE ＝EF ；(3)如图③，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．第5题图6. (2016重庆A 卷)在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°.点D 是BC 上一点，连接AD .过点A 作AG ⊥AD .在AG 上取点F ，连接DF ，延长DA 至E ，使AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF . (1)若AB ＝22，求BC 的长；(2)如图①，当点G 在AC 上时，求证：BD ＝12CG ；(3)如图②，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接．．写出ABCG的值．第6题图7. (2016重庆一中一模)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．(1)如图①，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长；(2)如图②，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE；(3)如图③，若点E在CB的延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．第7题图答案类型二 几何图形动点探究针对演练1. (1)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OD ，∠OAF ＝∠ODE ＝45°，∠AOD ＝90°， ∴∠AOE ＋∠DOE ＝90°， ∵∠EPF ＝90°，∴∠AOF ＋∠AOE ＝90°， ∴∠DOE ＝∠AOF ， 在△AOF 和△DOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODE OAF ODOA DOE AOF ∴△AOF ≌△DOE (ASA )． ∴AF ＝DE ；②如解图①，过点O 作OG ⊥AB 于G ，第1题解图①∵正方形的边长为23，∴OG ＝12BC ＝3，∵∠DOE ＝15°，由①知△AOF ≌△DOE ， ∴∠AOF ＝15°，∴∠FOG ＝45°－15°＝30°， ∵cos ∠FOG ＝OG OF， ∴OF ＝︒30cos OG ＝332＝2， 又∵OE ＝OF ，∴EF ＝2OF ＝2 2.(2)证明：如解图②，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，第1题解图②则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPB ＝90°， ∴HP ＝BP ， ∵BD ＝3BP ， ∴PD ＝2BP ， ∴PD ＝2HP ，又∵∠HPF ＋∠HPE ＝90°，∠DPE ＋∠HPE ＝90°， ∴∠HPF ＝∠DPE ，又∵∠BHP ＝∠EDP＝45°， ∴△PHF ∽△PDE ， ∴PF PE ＝PH PD ＝12， 即PE ＝2PF.2. (1)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BF ＝DF ，∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°， ∴∠ABD ＝90°，AB ＝2BF ，∴在Rt △ABF 中，根据勾股定理得AF 2＝AB 2＋BF 2，即(5)2＝5BF 2， 解得BF ＝1，AB ＝2，∴在Rt △ABD 中，AD ＝2AB ＝2 2.(2)证明：过B 作BP ⊥AD 于P ，交AF 于Q ，如解图①，第2题解图①则∠ABQ ＝∠QBD ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C ＝∠BAD ＝45°，∠CDB ＝∠ABD ＝90°， ∴∠DBH ＝45°＝∠ABQ ，又∵∠AFB ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠DGF ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠BDH ， ∵AB ＝BD ，∴△ABQ ≌△DBH ， ∴BQ ＝BH ，又∵∠QBF ＝∠HBF ＝45°，BF ＝BF ， ∴△BQF ≌△BHF ， ∴∠BFQ ＝∠BFH . 即∠AFB ＝∠HFB. (3)解：AF ＝3FH .【解法提示】延长FH 交AB 延长线于P ，如解图②，第2题解图②∵由(2)知∠AFB ＝∠P FB ，∠ABF ＝∠PBF ＝90°，FB ＝FB ， ∴△ABF ≌△PBF ， ∴PF ＝AF ，AB ＝BP ，过B 作BQ ∥FH ，交AM 于Q ，∴∠BQM ＝∠FHM ，∠QBM ＝∠HFM ， ∵BM ＝FM ，∴△BMQ ≌△FMH ， ∴BQ ＝FH .∵BQ ∥FH ，AB ＝BP ，∴BQ ＝12PH ，∴FH ＝13FP ，即AF ＝3FH .3. (1)解：∵AB ＝22，BP ＝1，∠ABP ＝90°，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝3，∵S △ABP ＝12A P ·BG ＝12AB ·BP ，∴BG ＝223.(2)证明：过点C 作CH ⊥AE 于H ，如解图①，则∠BGP ＝∠CHP ＝90°，第3题解图①∵P 为BC 的中点， ∴PB ＝PC ，∵∠BPG ＝∠CPH ， ∴△BPG ≌△CPH ，∴BG ＝CH ，∠PBG ＝∠PCH ，∵∠PBG ＋∠ABG ＝∠ABG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠BAG ， ∴∠BAG ＝∠P CH ，∵AB ＝BE ，∴∠BAG ＝∠BEG ， ∴∠PCH ＝∠BEG ， ∵AB ＝BE ＝BC ， ∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴∠HCE ＝∠HEC ， ∴HC ＝HE ，∵HC 2＋HE 2＝CE 2， ∴2CH ＝CE ， ∴CE ＝2BG .(3)证明：过D 作DH ⊥AE 于H ，如解图②，第3题解图②∵BN 平分∠CBE ， ∴∠CBN ＝∠EBN ， 由(2)知∠GBP ＝∠BEP. ∵BG ⊥AE ，∴∠GBN ＝∠GNB ＝90°2＝45°，∴BG ＝GN ，∵DH ⊥AP ，∠DAB ＝90°，∴∠DAH ＋∠ADH ＝∠DAH ＋∠BAG ＝90°， ∴∠ADH ＝∠BAG ，∵∠AHD ＝∠AGB ＝90°，AD ＝AB ， ∴△ADH ≌△BAG (AAS)， ∴AH ＝BG ＝GN ，DH ＝AG ， ∴HN ＝HG ＋GN ＝HG ＋AH ＝AG ， ∴DH ＝HN .∵∠DHN ＝90°，∴DN ＝2HN ＝2AG ，∴BN ＋DN ＝2GN ＋2AG ＝2AN .4. (1)证明：∵△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝90°， ∴CD ＝CE ，∠DCB ＋∠ECF ＝90°. ∵EF ⊥BC ，∴∠ECF ＋∠CEF ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CEF ， 在△DBC 和△CEF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC CD CEF DCB CFE DBC ∴△DBC ≌△CFE ， ∴DB ＝CF .(2)解：如解图①，连接AE ，第4题解图①∵△DBC ≌△CFE ， ∴BD ＝CF ，BC ＝EF ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°， ∴AB ＝BC ，∴AB ＝EF ，AD ＝BF ， 在△ABM 和△EFM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF AB EFM ABM EMF AMB ∴△ABM ≌△EFM ， ∴BM ＝FM ， ∴BF ＝2BM ， ∴AD ＝2BM ， ∴AD BM的值为2. (3)解：HE －GDGH的值不变． 在EH 上截取EQ ＝DG ，如解图②，第4题解图②在△CDG 和△CEQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD CEQ CDG EQ DG ∴△CDG ≌△CEQ ，∴CG ＝CQ ，∠DCG ＝∠ECQ ， ∵∠DCG ＋∠DCB ＝45°， ∴∠ECQ ＋∠DCB ＝45°， 而∠DCE ＝90°，∴∠HCQ ＝45°，∴∠HCQ ＝∠HCG ， 在△HCG 和△HCQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CQ CG HCQ HCG HC HC ∴△HCG ≌△HCQ ， ∴HG ＝HQ ， ∴HE －GD GH ＝HQ ＋QE －GD HG ＝HG ＋DG －GDHG＝1. 5. (1)解：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ＝BC ＝2， ∵E 是线段AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，∴BE ＝AB ·sin60°＝2×32＝3， ∴S △ABC ＝12AC ·BE ＝ 3.(2)证明：连接DE和DF ，如解图①，第5题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°， 在△ABE 和△ADE 和△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB ∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ， ∴∠ADE ＋∠CDE ＝∠CDF ＋∠CDE ， ∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ＝EF ， ∴BE ＝EF .(3)解：仍然成立．证明：连接DE 和DF ，如解图②，第5题解图②∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°， 在△ABE 和△ADE 和△CD F 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB ∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ， ∴∠ADE －∠CDE ＝∠CDF －∠CDE ， ∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ＝EF ， ∴BE ＝EF .6. (1)解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，如解图①，第6题解图①在Rt △ABH 中，∠ABH ＝45°，AB ＝22， ∴BH ＝AH ＝2，在Rt △ACH 中，∠ACH ＝30°， ∴CH ＝23，∴BC ＝BH ＋CH ＝2＋2 3.(2)证明：过点A 作AM ⊥AB 交BC 于点M ，连接GM ，如解图②， ∵∠BAM ＝90°，∠ABM ＝45°，第6题解图②∴AB ＝AM ，∠AMB ＝45°， ∵AG ⊥AD ，∴∠DAG ＝∠EAG ＝90°， ∵AE ＝AF ，GE ＝DF ， ∴△ADF ≌△AGE ， ∴AD ＝AG ，∵∠BAM ＝∠DAG ＝90°， ∴∠BAD ＝∠MAG ， ∴△ABD ≌△AMG ，∴BD ＝GM ，∠B ＝∠AMG ＝45°， ∵∠AMB ＝45°， ∴∠GMC ＝90°，在Rt △CGM 中，∠C ＝30°， ∴12CG ＝GM ＝BD . (3)解：1＋32.【解法提示】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点G 作GQ ⊥AC 于Q ，过点C 作CM ⊥AG ，与其延长线相交于点M ，如解图③，第6题解图③∵GQ 为AC 的垂直平分线，由(2)同理可得AD ＝AG ， ∴AD ＝AG ＝CG ，又∵AH ＝12AC ，易证△ADH ≌△AGQ ≌△CGQ ，得∠DAH ＝∠GAC ＝∠GCA ＝12(∠DAG －∠CAH )＝12(90°－60°)＝15°，∴∠MGC ＝30°，设CM ＝a ，则GA ＝GC ＝2a ，GM ＝3a ，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝222)348()23(a a a a +=++＝(6＋2)a ， ∴AH ＝12AC ＝12(6＋2)a ，∴AB ＝2AH ＝(1＋3)a ， ∴AB CG＝aa 2)13(+＝3＋12.7. (1)解：在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AB ∥DE ，∴∠A ＝∠ADE ＝45°， ∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠ABF ＝∠FDE ＝∠FED ＝45°，AF ＝BF ，DF ＝EF ， 则△AFB ，△DEF 为等腰直角三角形， ∴AF ＝22AB ＝22×6＝3， DF ＝EF ＝AD －AF ＝6－3，∴DE ＝2DF ＝23－ 6.(2)证明：延长BE 至K ，使EK ＝ED ，连接AK ，如解图，第7题解图在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∵2∠AEB ＝180°－∠BED ，∴∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ＝∠AEK ， 在△AEK 和△AED 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED EK AED AEK AE AE , ∴△AEK ≌△AED ， 则AK ＝AD ＝AB ， ∵∠ABK ＝60°，∴△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BE ＋KE ＝AB ＝BC ，即：BC ＝BE ＋DE . (3)解：∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD.【解法提示】∵点E 在CB 的延长线上， ∴CE ∥AD ， ∴∠E ＝∠ADE ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝2∠ABD ， ∴∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD.类型三 几何图形背景变换探究针对演练1. △ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，∠AFD ＝60°. (1)如图①，求证：BD ＝CE ；(2)如图②，FG 为△AFC 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG ＝CD ，连接HA 、HC ，求证：∠AHC ＝60°；(3)在(2)的条件下，若AD＝2BD，FH＝9，求AF长．第1题图2. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的垂直平分线交AD 的延长线于点E，交BC于点F，连接CE、BE.(1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；(2)如图②，若∠ABE＝60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AC＋AB＝3AE，求∠BAC的度数．第2题图3. (2016重庆八中阶段测试一)如图①，矩形ABCD 中，AB ＝BE ，BF ＝CE ，点G 是FD 的中点，连接GA ，GE .(1)若AB ＝3，AD ＝4，求GA 的长； (2)求证：GA ＝GE ；(3)如图②，若将矩形ABCD 改为平行四边形ABCD ，其他条件均不变，(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．第3题图4. (2016泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠DCE ，若∠A ＝60°(如图①)．求证：EB ＝AD ； (2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其他条件不变，则EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第4题图5. 在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°.(1)如图①，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5.①求证：AF⊥BD；②求AF的长度；(2)如图②，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；(3)如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．第5题图6. (2016重庆育才模拟)已知，如图①，以△ABC中的AB和AC为斜边，分别向△ABC的外侧作等腰直角△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM.(1)若MF＝3，求AC的长；(2)求证：MD＝ME；(3)如图②，在△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM，猜想：△MDE 是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第6题图7. (2016沙坪坝区一诊)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，点D是边AB上任意一点，连接CD.(1)如图①，若∠BCD＝30°，且BD＝2，求线段CD的长；(2)如图②，若∠BCD＝15°，以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE，连接BE，点F在线段CD上，且CF＝BD，连接BF.求证：BE＝BF；(3)如图③，若以点C为直角顶点，线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE，点O是线段DE的中点，连接BO，猜想线段OB与CD有怎样的数量关系，请直接写出结论(不需证明)．第7题图8. (2015重庆A卷)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点．过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F 是BD的中点．DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF.(1)如图①，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB，BD的长；(2)如图①，求证：HF＝EF；(3)如图②，连接CF，CE.猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第8题图答案类型三几何图形背景变换探究针对演练1. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＋∠ACD＝60°，∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠CAE，在△ACE 和△CBD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CAE BCD ACBC ACE B ∴△ACE ≌△CBD (ASA)， ∴BD ＝CE .(2)证明：如解图①，作CM ⊥AE 交AE 的延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，第1题解图①∵∠EFC ＝∠AFD ＝60°， ∴∠AFC ＝120°，∵FG 为△AFC 的角平分线， ∴∠CFH ＝∠AFH ＝60°， ∴∠CFH ＝∠CFE ＝60°， ∵CM ⊥AE ，CN ⊥HF ， ∴CM ＝CN ，∵∠CEM ＝∠ACE ＋∠CAE ＝60°＋∠CAE ， ∠CGN ＝∠AFH ＋∠CAE ＝60°＋∠CAE ， ∴∠CEM ＝∠CGN ，在△ECM 和△GCN 中， ,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒CN CM CNG CME CGN CEM∴△ECM ≌△GCN (AAS )，∴CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ， ∴∠MCN ＝∠ECG ＝60°， 由(1)知△ACE ≌△CBD ， ∴AE ＝CD ， ∵HG ＝CD ， ∴AE ＝HG ，∴AE ＋EM ＝HG ＋GN ，即AM ＝H N ，在△AMC 和△HN C 中， ,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒CN CM HNC AMC HN AM∴△AMC ≌△HNC (SAS)， ∴∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，∴∠ACM －∠ECM ＝∠HCN －∠GCN ，即∠ACE ＝∠HCG ＝60°， ∴△ACH 是等边三角形，∴∠AHC ＝60°.(3)解：如解图②，在FH 上截取FK ＝FC ，第1题解图②∵∠HFC ＝60°，∴△FCK 是等边三角形，∴∠FKC ＝60°，FC ＝KC ＝FK ， ∵由(2)知∠ACH ＝60°， ∴∠ACF ＝∠HCK ，在△AFC 和△HKC 中， ,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=HC AC HCK ACF KC FC∴△AFC ≌△HKC (SAS )， ∴AF ＝HK ，∴HF ＝HK ＋FK ＝AF ＋FC ＝9，∵AD ＝2BD ，BD ＝CE ＝CG ，AB ＝AC ， ∴AG ＝2CG ， ∴CFG AFG S S ∆∆＝AG GC ＝21，作GW ⊥AE 于W ，GQ ⊥DC 于Q ， ∵FG 为△AFC 的角平分线， ∴GW ＝GQ ，∵CFGAFG S S ∆∆＝GQ CF GWAF ⋅⋅2121＝AF CF ＝21，∴AF ＝2CF ， ∴AF ＝6.2. 解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过点D 作DG ⊥AB 交AB 于点G ，如解图①所示，第2题解图①∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DG ，∴Rt △ACD ≌Rt △AGD (HL)， ∴AC ＝AG ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，即△BDG 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DG ＝GB ，∴AB ＝AG ＋GB ＝AC ＋CD. (2)AB ＝AC ＋CE.证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示，第2题解图②∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ， 在△ACE 和△AHE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE HAE CAE AH AC ∴△ACE ≌△AHE (SAS )， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴BE ＝HE .又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE .(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示，第2题解图③同(2)问可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ，∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ， ∵在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32， ∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.3. (1)解：∵AB ＝BE ，AB ＝3， ∴BE ＝3， ∵BC ＝AD ＝4，∴EC ＝BC －BE ＝4－3＝1， ∵BF ＝CE ， ∴BF ＝1，∴AF ＝AB －BF ＝3－1＝2，∴DF ＝AF 2＋AD 2＝25，∵∠DAF ＝90°，G 是DF 的中点，∴AG ＝12DF ＝ 5.(2)证明：如解图①，连接DE、EF ，第3题解图①∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠C ＝90°， ∵AB ＝BE ，∴CD ＝BE ， 在△BEF 和△CDE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BF C B CD BE ∴△BEF ≌△CDE (SAS)， ∴∠BEF ＝∠CDE ，∵∠CED ＋∠CDE ＝90°， ∴∠CED ＋∠BEF ＝90°， ∴∠DEF ＝90°， ∵点G 是DF 的中点，∴GE ＝12DF ，∵AG ＝12DF ，∴GA ＝GE . (3)解：成立．证明：如解图②，延长CG ，与BA 的延长线相交于点M ，第3题解图②∵AB ∥CD ，∴∠M ＝∠DCG ， 在△GMF 和△GCD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GD GF CGD MGF GCD M ∴△GMF ≌△GCD (AAS)， ∴GM ＝GC ，FM ＝DC ， ∵AB ＝CD ＝BE ， ∴AB ＝FM ， ∵BF ＝CE ，∴BE ＋CE ＝FM ＋BF ， ∴BM ＝BC ，∴∠ABG ＝∠EBG ， 在△ABG 和△EBG 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BG BG EBG ABG EB AB ∴△ABG ≌△EBG (SAS )， ∴GA ＝GE .4. (1)证明：如解图①，过点D 作DF ∥BC 交AC 于F ，则AD ＝AF ＝DF ， ∠FDC ＝∠ECD ， ∵∠DEC ＝∠DCE ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°， ∴∠DBE ＝∠DFC ＝120°， ∴△DBE ≌△CFD ， ∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD .第4题解图①(2)解：EB ＝AD 成立，理由如下： ∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．如解图②，过D 点作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，第4题解图②则AD ＝AF ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ， 又∵∠DEC ＝∠ECD ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ， 又∵∠DBE ＝∠DFC ＝60°， ∴△DBE ≌△CFD ， ∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD . (3)解：EB AD＝ 2.【解法提示】作DF ∥BC 交AC 于F ，如解图③，第4题解图③同(1)得：△DBE ≌△CFD (AAS)， ∴EB ＝DF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，DF ∥BC ， ∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝2AD ， ∴DF AD＝2，∴EB AD＝ 2.5. (1)①证明：如解图①，第5题解图①∵在△ACE 和△BCD 中，,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒DC EC BCD ACB BC AC ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴∠BFE ＝∠ACE ＝90°， ∴AF ⊥BD ；②解：∵∠ECD ＝90°，BC ＝AC ＝12，DC ＝EC ＝5，∴BD ＝122＋52＝13，∵S △ABD ＝12AD ·BC ＝12BD ·AF ，即12×17×12＝12×13·AF ∴AF ＝20413.(2)证明：如解图②，第5题解图②∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB ＋∠ACD ＝∠ECD ＋∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE ， 在△ACE 与△BCD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴∠BFA ＝∠BCA ＝90°， ∴AF ⊥BD .(3)解：∠AFG 是一个固定的值，理由如下：如解图③，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，第5题解图③∵由(2)知△ACE ≌△BCD ， ∴S △ACE ＝S △BCD ，AE ＝BD ，∵S △ACE ＝12AE ·CN ，S △BCD ＝12BD ·CM ，∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AE ， ∴CF 平分∠BFE ， ∵AF ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°， ∴∠EFC ＝45°， ∴∠AFG ＝45°.6. (1)解：∵DF ⊥AB ，DB ＝DA ， ∴AF ＝BF ， ∵BM ＝MC ，∴FM ＝12AC ，∴AC ＝2FM ＝6.(2)证明：如解图①，取AC 中点G ，连接MG 、EG.第6题解图①∵△ADB 、△AEC 都是等腰直角三角形，AF ＝FB ，AG ＝GC ， ∴DF ＝AF ＝FB ，GE ＝AG ＝GC ，EG ⊥AC ，∴∠DFB ＝∠EGC ＝90°， ∵AF ＝BF ，BM ＝MC ，AG ＝GC ， ∴FM ∥AG ，MG ∥AF .∴四边形AFMG 是平行四边形，∴FM ＝AG ＝GE ，MG ＝AF ＝DF ，∠BFM ＝∠BAC ＝∠CGM ， ∵∠DFM ＝∠DFB ＋∠BFM ，∠EGM ＝∠EGC ＋∠CGM ， ∴∠DFM ＝∠EGM ， 在△DFM 和△MGE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GE FM MGE DFM MG DF ∴△DFM ≌△MGE ， ∴DM ＝EM .(3)解：△EMD 是等腰直角三角形，证明：如解图②中，取AC 中点G ，连接MG 、EG ，DF 交MG 于点O .第6题解图②∵△ADB 、△AEC 都是等腰直角三角形，AF ＝FB ，AG ＝GC ， ∴DF ＝AF ＝FB ，GE ＝AG ＝GC ，EG ⊥AC ， ∴∠DFB ＝∠EGC ＝90°， ∵AF ＝BF ，BM ＝MC ，AG ＝GC ， ∴FM ∥AG ，MG ∥AF .∴四边形AFMG 是平行四边形，∴FM ＝AG ＝GE ，MG ＝AF ＝DF ，∠BFM ＝∠BAC ＝∠CGM ， ∵∠DFM ＝∠DFB －∠BFM ，∠EGM ＝∠EGC －∠CGM ， ∴∠DFM ＝∠EGM ， 在△DFM 和△MGE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GE FM MGE DFM MG DF ∴△DFM ≌△MGE .∴DM ＝EM ，∠MDF ＝∠EMG ， ∵AB ∥MG ，∴∠MOD ＝∠BFD ＝90°， ∴∠OMD ＋∠MDO ＝90°， ∴∠EMG ＋∠OMD ＝90°，∴∠EMD ＝90°，∴△EMD 是等腰直角三角形．7. (1)解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，如解图①，第7题解图①在Rt △BDE 中，BD ＝2，∠B ＝45°， ∴DE ＝BD ·sin45°＝2， 在Rt △CDE 中，∠BCD ＝30°， ∴CD ＝2DE ＝2 2.(2)证明：连接EF ，如解图②，第7题解图②∵△DCE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∠ECD ＝∠CDE ＝∠CED ＝60°，∵∠ADC ＝∠BCD ＋∠CBD ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDE ＝60°， 在△CEF 和△DEB 中，,60⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒DB CF EDB ECF DE CE ∴△CEF ≌△DEB ，∴EF ＝EB ，∠CEF ＝∠DEB ，∴∠CEF ＋∠DEF ＝∠DEB ＋∠DEF ， 即∠CED ＝∠BEF ＝60°， ∴△BEF 是等边三角形， ∴BE ＝BF . (3)解：OB ＝22CD. 【解法提示】连接BE ，如解图③，第7题解图③∵∠DCE ＝90°，CD ＝CE ， ∴DE ＝2CD ，∵∠CED ＝∠ABC ＝45°， ∠CGE ＝∠DGB ， ∴△CGE ∽△DGB ， ∴CG DG ＝GE GB，∵∠DGC ＝∠BGE ， ∴△CDG ∽△EBG ，∴∠EBG ＝∠CDG ＝45°，∴∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∵O 是DE 的中点，∴OB ＝12DE ，∵DE ＝2CD ， ∴OB ＝22CD . 8. (1)解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝23， ∴AB ＝2AC ＝4 3. ∵点H 是AC 中点，∴AH ＝12AC ＝ 3.∵AD ⊥AB ，∴∠DAH ＝90°－60°＝30°. ∵DH ⊥AC ，∴在Rt △ADH 中，cos30°＝AH AD， ∴AD ＝30cos AH ＝332＝2，∴BD ＝22＋（43）2＝213. (2)证明：连接AF ，如解图①.在Rt △ABD 中，F 为BD 中点，第8题解图①∴DF ＝AF ，∴∠FDA ＝∠FAD . ∵∠BAC ＝60°， AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAE ＝30°， 由(1)知∠DAH ＝30°，∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠CAD ＝30°＋30°＝60°. ∵DH ⊥AC ，∴∠ADH ＝60°＝∠DAE ，又∵AD ＝AD ，∠AHD ＝∠AED ＝90°， ∴△AHD ≌△DEA (AAS)， ∴DH ＝AE .∵∠FDA ＝∠FAD ，∠ADH ＝∠DAE ， ∴∠FDH ＝∠FAE ，∴△FDH ≌△FAE (SAS)， ∴HF ＝EF.(3)解：△CEF 是等边三角形．证明：取AB 的中点M ，连接FM 、CM ，如解图②，第8题解图②∵F 为BD 的中点，M 为AB 的中点，∴FM ∥AD 且FM ＝12AD .由(2)知，∠CAE ＝30°，且在Rt △ADE 中，AE ＝12AD ，∴AE ＝MF .在Rt △ABC 中，M 为AB 中点， ∴AM ＝CM .∵∠MAC ＝60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AC ＝CM ，∠AMC ＝∠ACM ＝60°. ∵∠AMF ＝90°，∴∠CMF ＝90°－60°＝30°＝∠CAE， ∴△CAE ≌△CMF (SAS)，∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF，∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°，∴△CEF为等边三角形．拓展类型几何图形折叠探究1. 如图①，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE.(1)若AB＝BC，DE＝1，BE＝3，求△ABC的周长；(2)如图②，若AB＝BC，AD＝BD，∠ADB的平分线DF交BE于点F，求证：BF＝2DE；(3)如图③，若AB≠BC，AD＝BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．第1题图2. 已知Rt△ABC≌Rt△CDE.现将它们摆放成图①所示位置，其中B、C、D三点在同一直线上，连接AE.(1)如图①，若AB＝2，BC＝4，求AE的长；(2)如图②，取AE的中点M，连接BM、DM，证明：BM＝DM；(3)如图③，将图①的Rt△CDE以直线CD为对称轴向下翻折，仍然连接AE，取AE的中点M，连接BM、DM，请问：BM＝DM还成立吗？请说明理由．第2题图答案拓展类型 几何图形折叠探究1. (1)解：∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，∠AEB ＝90°， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴DE ＝12AC ＝AE ，∴AC ＝2DE ＝2，AE ＝1，∴AB ＝12＋32＝10， ∴BC ＝10，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝210＋2. (2)证明：连接AF ，如解图①，第1题解图①∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ， ∴∠3＝∠4，∵∠ADB ＝90°，AD ＝BD ， ∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠DAB ＝∠DBA ＝45°， ∴∠3＝22.5°，∵∠1＋∠C ＝∠3＋∠C ＝90°， ∴∠1＝∠3＝22.5°， ∵DF 平分∠ADB ， ∴∠ADF ＝∠BDF ， 在△ADF 和△BDF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF DF BDF ADF BD AD ∴△ADF ≌△BDF (SAS )，∴AF ＝BF ，∠2＝∠3＝22.5°， ∴∠EAF ＝∠1＋∠2＝45°， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF ＝2AE ，∵DE ＝AE ，AF ＝BF ， ∴BF ＝2DE .(3)解：BE ＝DG ＋AE .理由如下： 作DH ⊥DE 交BE 于H ，如解图②，第1题解图②∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＋∠ACD ＝∠2＋∠ACD ＝90°， ∴∠1＝∠2，∴∠ADE ＝90°－∠ADH ＝∠BDH ， 在△ADE 和△BDH 中，,21⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BDH ADE BDAD ∴△ADE ≌△BDH (ASA)， ∴DH ＝DE ，AE ＝BH ，∴△DHE 是等腰直角三角形， ∴∠DEH ＝45°，∴∠3＝90°－∠DEH ＝45°， ∵△ADC 沿着AC 翻折至△AGC ，∴DE ＝GE ，∠3＝∠4＝45°， ∴∠DEG ＝∠EDH ＝90°，DH ＝GE ， ∴DH ∥GE ，∴四边形DHEG 是平行四边形， ∴DG ＝EH ，∴BE ＝EH ＋BH ＝DG ＋AE .2. (1)解：∵Rt △ABC ≌Rt △CDE ， ∴∠BAC ＝∠DCE ，AC ＝CE ， 在Rt △AB C 中，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°， ∴∠DCE ＋∠BCA ＝90°， ∵B ，C ，D 三点共线，∴∠ACE ＝180°－(∠DCE ＋∠BCA )＝90°， ∴AC ⊥CE ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∵AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AE ＝2AC ＝2·AB 2＋BC 2＝2×25＝210. (2)证明：连接CM ，如解图①，第2题解图①∵△ACE 是等腰直角三角形，点M 是AE 的中点， ∴CM ＝AM ＝ME ，∠CAE ＝∠CEA . 在△ABM 和△CDM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CM AM DCM BAM CD AB ∴△ABM ≌△CDM ， ∴BM ＝DM.(3)解：成立．理由如下：如解图②，延长BM 交DE 于点N ，第2题解图②∵∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∴AB ∥DE ，。

一．解答题（共23小题）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）2如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）试说明CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．3．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．4．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．5．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．6．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．8．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．9．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．10．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．11．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．12．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．13．已知△ABC中，AB=AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．14感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为．15．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．16．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F 分别在边AB，AC上．（1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：AE+AF=BC．（2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．（3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对（1），（2）两题的解题思路计算出线段CD （BD＞CD）的长．17数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．18．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．19．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）20如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形；（3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．21．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG 的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）22．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．23．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．。

2017全国中考数学真题分类知识点20二次函数几何方面的应用（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. 8．(2017江苏扬州，，3分)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，2）、B （1，0）、C （2，1），若二次函数21y x bx =++的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是A ．2b ≤-B ．2b <-C ．2b ≥-D ．2b >-【答案】C【解析】由二次函数系数a 、b 、c 的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y 轴的交点（０，１）也是确定不变的。

唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的。

若抛物线经过点（０，１）和Ｃ（２，１）这组对称点，可知其对称轴是直线12bx =-=，即b ＝－２时是符合题意的，所以可以排除Ｂ、Ｄ两个选择支，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以12b-≤，即2b ≥-。

二、解答题1. （2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332332--=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当∆PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线3332332--=x x y 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得∆FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“2铅垂高水平宽⨯”可表示出∆PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可．解：（1）∵抛物线3332332--=xxy与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，∴03332332=--xx，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；343324332-⨯-⨯=y＝335，∴点E坐标为（4，335）．设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=bkbk4335，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333bk，∴y＝33x+33；（2）∵令x ＝0，得y ＝ 3-，∴点C （0，3-），∵点E 坐标为（4，335），∴直线CE 的解析式为y ＝3332-x ，过点P 作PH ∥x 轴，交CE 于点H ，如图，设点P 的坐标为（t ，3332332--t t ），则H （t ，3332-t ），∴PH ＝3332-t －（3332332--t t ）＝t t 334332+-， ∴t t t t PH x x S C E PCE 338332334334212122+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯=⋅-=∆，∵0332<-，抛物线开口向下，40<<t ，∴当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=3322338t ＝2时，PCE S ∆取得最大值，此时P 为（2，3-）；∵点C （0，3-），B （3，0），由三角形中位线定理得K （23，23-），∵y C ＝y P ＝3-，∴PC ∥x 轴，作K关于CP 的对称点K 1，则K 1（23，233-）；∵333tan ==∠OCB ，∴∠OCB ＝60゜，∵D （1，0），∴3331tan ==∠OCD ，∴∠OCD ＝ 30゜，∴∠OCD ＝∠BCD ＝30゜，∴CD 平分∠OCB ，∴点K 关于CD 的对称点K 2在y 轴上，又∵CK ＝OC ＝3，∴点K 2与点O 重合，连接OK 1，交CD 于点N ，交CP 于点M ，如图，∴KM ＝ K 1M ，KN ＝ON ，∴KM +MN +KN ＝K 1M +MN +ON ，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN +KN 的值最小，∴K 1 K 2 ＝O K 1＝32332322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴KM +MN +KN 的最小值为3；（3）点Q 的坐标为（3，321234+-），（3，321234--），（3，32），（3，332-）．2. （2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线上（P 点与A 、B 两点不重合），如果△ABP 的三边需满足AP 2＋BP 2＝AB 2，则称点P 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点坐标．（2）如图2，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋bx （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P （13C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的Q 点（异于点P ）的坐标．思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的圆与抛物线的交点．y＝－x2＋1与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知∠PAB＝60°，又∠APB＝90°，从而求得B点坐标，利用待定系数法即可求解．（3）由S△ABQ＝S△ABP，故有|y Q|y Q物线解析式即可求解．解（1）勾股点的坐标（0，1）．（2）抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过原点（0，0），即A为（0，0）．如图，作PG⊥x轴于点G，连结PA，PB．∵点P的坐标为（1，∴AG＝1，PG PA＝2，tan∠PAB∴∠PAB＝60°，∴Rt△PAB中，AB＝cos60PA＝4，∴点B（4，0）．设y＝ax（x－4），当x＝1时，ya．∴y x（x－4x2x．（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）．∴Q1（3．②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2解得x1＝2x2＝2Q2（2，Q2（2．综上，满足条件的Q点有三个：Q1（3，Q2（2，Q2（2．3.（2017山东济宁，21，9分）已知函数2(25)2y mx m x m=--+-的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1①当1n x≤≤-时，y的取值范围是13y n≤≤-，求n的值；②函数C2：22()y x h k=-+的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．思路分析：（1）根据函数2(25)2y mx m x m=--+-图象与x轴有两个公共点，即一元二次方程2(25)20mx m x m --+-=有两个不同的实数解，即需满足m ≠0且根的判别式△＞0，解不等式组得25,12m <且0m ≠；（2）由二次函数22y x x =+性质，当14x <-时，y 随x 的增大而减小，求出n 的值为—2；（3）由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大，先求出MO 的解析式，设出点P 的坐标，根据勾股定理求出点P 的坐标，继而求出PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．解：（1）由题意可得：()()20,25420.m m m m ≠⎧⎪⎨---->⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得：25,12m <且0,m ≠ 当2m =时，函数解析式为：22y x x =+．（2）函数22y x x =+图象开口向上，对称轴为1,4x =-∴当14x <-时，y 随x 的增大而减小．∵当1n x ≤≤-时，y 的取值范围是13y n ≤≤-， ∴ 223n n n +=-．∴ 2n =-或0n =（舍去）． ∴2n =-．（3）∵221122,48y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∴图象顶点M 的坐标为11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大．∵点P 在直线OM 上，由11(0,0),(,)48O M --可求得直线解析式为：12y x =，设P （a ，b ），则有a ＝2b ， 根据勾股定理可得()2222PO b b =+求得2,1a b ==．∴PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．4. （2017山东威海，25，12分）如图，已知抛物线y =ax ²+bx +c 过点A (－1,0)，B (3,0)，C （0，3）.点M ，N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E . （1）求二次函数y =ax ²+bx +c 的表达式；（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN =90°，MD =MN ，求点M 的横坐标.解：∵抛物线2y ax bx c =++的图像经过点A (-1,0),B (3,0)，∴抛物线的函数表达式为y =a (x +1)(x -3),将点C (0，3)代入上式，得3=a (0+1)(0-3)， 解得a =-1.∴所求函数表达式为y =－(x +1)(x －3)=－x 2+2x +3．(2)由(1)知，抛物线的对称轴为212(1)x ==⨯-．如图1，设M 点的坐标(m ，－m 2+2m +3),∴ME =|－m 2+2m +3|．∵M ,N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧， ∴N 点横坐标为2-m . ∴MN =2m -2∵四边形MNEF 为正方形∴ME =MN . ∴22322m m m -++=- ． 分两种情况:①2m - +2m +3=2m -2.解,得12m m ==不符合题意,合去).当 m ,正方形的面积为22(2224⎡⎤+-=+⎣⎦综上所述，正方形的面积为24-或24+（3）设直线BC 的函数表达式为y =kx +b .把点B (3,0),C (0,3)代入表达式，得30,3,k b b +=⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为y =-x +3，设点M 的坐标为(a ,223a a -++), 则点D 的坐标为(a ,-a +3)， ∴DM =23a a -+ ，∵DM //y 轴，DM ⊥MN ,∴MN //x 轴. ∴M ,N 关于x =1对称. ∴N 点的横坐标为2-a ， ∴MN =22a -， ∵DM =MN ，∴2322a a a -+=- ． 分两种情况：①如图2，2322a a a -+=- ， 解，得122,1a a ==- ．②如图3，2322a a a -+=-，解，得3455,22a a +-==．综上所述，M 点的横坐标为122,1a a ==-，34,a a ==5.（2017年四川绵阳，24,11分）（本题满分12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F．求BE∶MF的值．解：（1）设抛物线方程为，因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以…………………………1分又抛物线经过点（4，2），所以，解得，………………2分所以抛物线的方程是．……………………………3分（2）联立，消去y，整理得，………………………4分解得，，…………………………5分代入直线方程，解得，，所以B（），D（），因为点C是BD的中点，所以点C的纵坐标为，………………………6分利用勾股定理，可算出BD=，即半径R=，即圆心C到x轴的距离等于半径R，所以圆C与x轴相切．…………………………7分（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，……………………………9分即，代入得，化简得，解得t =5或t =1，………………………………10分因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，………………………11分所以…………………………………………………12分法2：过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由（2）知CM =R =25，CH =R -1=23， 由勾股定理，得MH =2，…………………9分又HF =，所以MF =HF -MH =-2，…………………10分 又BE =y 1-1=23-25，所以MF BE =25+1，………………………………………………12分思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B、D，联立方程组，求出点B点D坐标，求出直径BD的长度，从而求出半径，与C的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，因为点M在对称轴右侧，所以t=5，所以．6.（2017四川攀枝花，24，12分）如图15，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若∆BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图1 备用图思路分析：（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）方法1：（代数法）设点的坐标转化成所求线段，找特殊角转化成所求线段，联立函数关系，代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式，从而找到最值；方法2：（几何法）以BC 为对称轴将FCE ∆对称得到F CE '∆，作PH CF '⊥于H ，则PF +EF =PF ′= 2 PH =()()223C P P y y y -=-∴当P y 最小时，PF EF +取最大值42．（3）①先设点再分类讨论，利用勾股定理得到关于所求D 点的一元方程式，解得即为D 1和D 2；②利用直径圆周角性质构造圆，利用线段距离公式建立一元方程式，解得即为D 3和D 4．结合①中D 1和D 2的坐标，当D 在D 2D 4和D 3D 1之间时候为锐角三角形，从而得到点D 的纵坐标的取值范围．解析：（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3． 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3．∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3．（2）方法1：如图，过P 作PG ∥CF 交CB 与G ，由题意知∠BCO ＝∠CEF ＝45°，F （0，m ）C （0，3）， ∴∆CFE 和∆GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22（3－m ） PE ＝22PG ，设x P ＝t （1＜t ＜3）， 则PE ＝22PG ＝22（－t ＋3－t －m ）＝22（－m －2t ＋3）， t 2－4t ＋3＝t ＋m ，∴PE ＋EF ＝22（3－m ）＋22（－m －2t ＋3）＝ 22（－2t －2m ＋6）＝－2（t ＋m －3）＝－2（t 2－4t ）＝ －2（t －2）2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 最大值＝42．方法2：（几何法）由题易知直线BC的解析式为3y x=-+，OC=OB=3，∴∠OCB=45°．同理可知∠OFE=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF+EF=PF′= 2 PH．yxHPF'CBAOFE又PH=3C P Py y y-=-．∴当Py最小时，PF+EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当1Py=-时，(PF+EF)max= 2 ×(3+1)=4 2 ．（3）①由（1）知对称轴x＝2，设D（2，n），如图．当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即（2－0）2＋（n－3）2＋（32）2＝（3－2）2＋（0－n）2 ，解得n＝5；当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2 即（2－3）2＋（n－0）2＋（32）2＝（2－0）2＋（n－3）2 ，解得n＝－1．∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为（2，5）或（2，－1）．②如图：以BC的中点T（3，3），12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD2B＝90°，设D（2，m），由DT＝12BC32得（32－2）2＋（32－m）2＝2322⎛⎝⎭，解得m＝173±，∴D 3（2，173+）D 4（2，173-）， 又由①得D 1为（2，5），D 2（2，－1），∴若∆BCD 是锐角三角形，D 点在线段13D D 或24D D 上时（不与端点重合），则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜D y ＜1732-或1732+＜D y ＜5．7. （2017四川内江，28，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(1) 由点B 的坐标与对称轴可求得点C 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的解析式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t 秒，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，用配方法求的最大值；(3) 根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．解：(1)∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A （－2，0）.把点A （－2，0），B （4，0），点C （0，3），分别代入y ＝ax 2+bx+c （a≠0），得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,0416,024ccbacba解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,43,83cba∴该抛物线的解析式为y＝343832++-xx．(2) 如图1，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC＝2243+＝5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴BCBNOCHN=，即53tHN=，∴HN＝t53．∴S△MBN＝21MB·HN＝21(6－3t)·t53＝=+-tt591092109)1(1092+--t．当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S△MBN最大＝109．∴S与t的函数关系为S＝109)1(1092+--t，S的最大值为109．（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B＝54=BCOB，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t．∴MB＝6－3t．当∠MNB＝90°时，cos∠B＝54=BMBN，即5436=-tt，解得t＝1724．当∠BM＇N＇＝90°时，cos∠B＝5436=-tt，解得t＝1930．综合上所述，当t＝1724或t＝1930时，△MBN为直角三角形．8. （2017江苏无锡，27，10分）如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A 、B 两点（点B 在点A的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC 、DB 交于点E ．若AC ：CE ＝1:2． （1）求点P 的坐标；（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．思路分析：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，设P （m ，0）.①由相似三角形的判定与性质证得AF ＝3AP ，BF ＝3PB ；②由关系式AF －BF ＝AB ，可得m ＝1．∴点P 的坐标（1，0）．（2）①由已知证得A （－3，0），E （9，），抛物线过点（5，0）；②用待定系数法可得抛物线的函数表达式．解：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，∵CD ⊥AB ，∴CD ∥EF ，PC ＝PD ． ∴△ACP ∽△AEF ，△BPD ∽△BEF . ∵AC ：CE ＝1:2．∴AC ：AE ＝1:3． ∴AP AF ＝CP EF ＝13，DP EF ＝PB BF ＝13． ∴AF ＝3AP ，BF ＝3PB ． ∵AF －BF ＝AB ．又∵⊙O 的半径为3，设P （m ，0）， ∴3（3＋m ）－3（3－m ）＝6 ∴m ＝1．∴P （1，0）（2）∵P （1，0），∴OP ＝1，A （－3，0）． ∵OA ＝3，∴AP ＝4，BP ＝2．∴AF ＝12. 连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴△ACP∽△CBP ．∴AP CP ＝CPBP． ∴CP 2＝AP ·BP ＝4×2＝8. ∴CP ＝．∴EF ＝3CP ＝． ∴E （9，）.∵抛物线的顶点在直线CD 上，∴CD 是抛物线的对称轴， ∴抛物线过点（5，0）.设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．根据题意得09-30255819a b ca b c a b c ⎧⎪+⎨⎪+⎩＝＋，＝＋，＋，解得8484a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩＝＝-＝ ∴抛物线的函数表达式为yx 2x ．9. （2017山东潍坊）（本小题满分13分）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)，抛物线与x 轴的另一交点为E ．经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F ．点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．思路分析：（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式；（2）由平行四边形的对称性可知直线l 必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E 点坐标，进而可求直线l 的解析式，结合二次函数解析式确定点F 的坐标．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，列出PM 关于t 的解析式，最后利用三角形的面积得S △PFE 关于t 的解析式，利用二次函数的最值求得t 值，从而使问题得以解决； （3）分两种情形讨论：①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，易得P 1G =AG ，由此构建一元二次方程求t 的值；②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t 的值． 解：（1）将点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)代入y =ax 2+bx +c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=,324,0,3c b a c b a c 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.1,2,1c b a 所以，抛物线解析式为：y=－x 2+2x +3．（2）因为直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， 所以必过其对称中心(21，23)． 由点A 、D 知，对称轴为x =1，∴E (3，0)， 设直线l 的解析式为：y =kx +m ，代入点(21，23)和(3，0)得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,2321m k m k 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.59,53m k 所以直线l 的解析式为：y =53-x +59． 由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=,32,59532x x y x y 解得x F =52-． 作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ．点P 的纵坐标为y P =－t 2+2t +3， 点M 的纵坐标为y M =53-t +59．所以PM =y P －y M =－t 2+2t +3+53t －59=－t 2+513t +56． 则S △PFE =S △PFM + S △PEM =21PM ·FN +21PM ·EH =21PM ·(FN + EH )=21·(－t 2+513t +56)(3+52) =1017-·(t －1013)2+100289×1017 所以当t =1013时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为31017100289⨯=1017． （3）由图可知∠PEA ≠90°．①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，因为OA =OE ，所以∠OAE =∠OEA =45°， 所以∠P 1AG =∠AP 1G =45°，所以P 1G =AG ． 所以t =－t 2+2t +3－3，即－t 2+t =0， 解得t =1或t =0(舍去)．②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ， 则△P 2KE ∽△AQP 2，所以QP KEAQ K P 22=， 所以tt tt t t 233222+--=++-，即t 2－t －1=0，解之得t =251+或t =251-＜52-(舍去)．综上可知t =1或t =251+适合题意．10. （2017湖南岳阳，本题满分10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点()3,0B ，()0,2C -，直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）． （1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM x ∥轴交l 于点M ，PN y ∥轴交l 于点N ．求PM PN +的最大值；（3） 设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．备用图解：（1）将()3,0B ，()0,2C -代入223y x bx c =++，得：6302b c c ++=⎧⎨=-⎩解得：432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：224233y x x =--；（2）设()224,21233P a a a a ⎛⎫---<< ⎪⎝⎭，则22,33N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴222242133=3333222PN a a a ⎛⎫=-++--+≤ ⎪⎝⎭∵M ，N 在直线l ：2233y x =--上，PM x ∥，PN y ∥∴23PN PM =∴51524PM PN PN +=≤即：PM PN +的最大值为：154；（3）能设22,33F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭① 当EC 为边时，有224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，EC PF =即：22244=3333m m -++解得：m =，其中0m =时不成立，舍去； ② 当EC 为对角线时，PF 中点即为EC 中点（0，43-）2,23P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上所以，224222333m m m +-=-解得：01m =-或，其中0m =时不成立，舍去；综上所述：F 点的坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0-、⎝⎭、⎝⎭．11. （2017湖南常德，25，10分）如图12，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2,2)，(1,54)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点. （1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标； （2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；（3）求证：△DPE ∽△PAM P 的坐标.图12思路分析：（1）将点(2,2)，(1,54)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD和PA 的长度，得出长度相等，而MD∥PA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，∠MDP=12∠PDE=12∠ADM=12∠APM，所以∠PDE=∠APM，而△DPE和△PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，∵点(2,2)，(1,54)在抛物线上，∴4254a ka k+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141ak⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴该抛物线的解析式为：y=14x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；（2）设点P坐标为（x, 14x2+1），∵PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.∴A（x,0），C（0,14x2+1），M（0,2），D（0，1－14x2）；PA∥y轴；∴MD=2－（1－14x2）=14x2+1=PA且MD∥PA∴四边形PMDA是平行四边形；（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=14x2+1－2=14x2－1；∵在Rt△PCM中，PM2114x==+=PA∴四边形PMDA 是菱形，△PAM 是等腰三角形； ∴∠APM =∠ADM ；∠MDP =12∠ADM ； 根据抛物线的对称性，PD =ED ， ∴△DPE 是等腰三角形，DC 平分∠PDE ， ∴∠MDP =12∠PDE ， ∴∠PDE =∠APM ；又∵∠PDE ，∠APM 分别为等腰△DPE 和△PAM 的顶角； ∴△DPE ∽△PAM PE =2x ，AM =222x +∵PE ：AM =3时，解得：x =23±； ∴相似比为3时P 点坐标为：（23±，4）12. 24.(2017湖北咸宁，24，12分)如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ=12MN 时，求菱形对角线MN 的长.思路分析：(1)利用OB=OC=6得到点B(6，0)，C(0，-6)，将其代入抛物线的解析可以求出b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F 为抛物线上一动点，∠FAB=∠EDB ，可以分两种情况求解：一是点F 在x 轴上方；二是点F 在x 轴下方.每一种情况都可以作FG ⊥x 轴于点G ，构造Rt △AFG 与Rt △DBE 相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F 的坐标.(3)首先根据MN 与x 轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN 在x 轴上方；二是MN 在x 轴下方.设菱形对角线的交点T 到x 轴的距离为n ，利用PQ=12MN ，得到MT=2n ，进而得到点M 的坐标为(2+2n ，n)，再由点M 在抛物线上，得21(22)2(22)62n n n =+-+-， 求出n 的值，最后可以求得MN=2MT=4n 的两个值. 解：(1)∵OB=OC=6， ∴B(6，0)，C(0，-6).∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩， 解得26b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ……2分 ∵21262y x x =--=21(2)82x --， ∴点D 的坐标为(2，-8). ……4分 (2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=21262x x --.∵∠FAB=∠EDB，∴tan∠FAG=tan∠BDE，即21261222x xx--=+，解得17x=，22x=-(舍去).当x=7时，y=92，∴点F的坐标为(7，92). ……6分当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，72-).综上所述，点F的坐标为(7，92)或(5，72-). ……8分(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.∵PQ=12MN ， ∴MT=2PT.设TP=n ，则MT=2n. ∴M(2+2n ，n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n =+-+-， 即2280n n --=.解得1n =，2n =(舍去).∴. ……10分当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M(2+2n ，-n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n -=+-+-， 即22+80n n -=.解得114n -+=，214n -=(舍去).∴1-.综上所述，菱形对角线MN 1-. ……12分13. 24．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax 2+bx+c ，其中2a=b>0>c ，且a+b+c=0. （1）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根； （2）证明：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点A 在第三象限；（3）直线y= x+m 与轴,x y 轴分别相交于B,C 两点，与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.xyO思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax 2+bx+c =0的一个根为1（或者-3） （2）证明：∵ b =2a ，∴对称轴x=2ba-=-1,将b=2a 代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一：∵a=b>0>c ，∴b 2-4ac>0,∴244ac b a-<0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.方法二：∵b =2a ， c=-3a ，∴244ac b a -=221244a b a --=-4a <0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.（3）∵b =2a ， c=-3a∴242a a a -± ∴x 1=-3，x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ，∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F 在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC 与△ADF 相似，顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ，即△ADF是以A 为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x =-1，设对称轴x =-1与OF 交于点G. ∵直线y=x+m 过顶点A ，所以m=1-4a ，∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩，解得1114x y a =-⎧⎨=-⎩，221114x ay a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 这里的（-1，4a ）即为顶点A ，点（1a -1，1a -4a ）即为顶点D 的坐标（1a -1，1a -4a ） D 点到对称轴x=-1的距离为1a -1-（-1）=1a，AE =4a -=4a,S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C 重合且在y 轴上，由1a-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x 2+2x-314. （2017湖南邵阳，26，10分）（本小题满10分）如图（十六）所示，顶点（49-21，）的抛物线y ＝ax 2＋bx＋c 过点M （2，0）. （1）求抛物线的解析式；（2）点A 是抛物线与x 轴的交点（不与点M 重合），点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点（处于x 轴下方），点D 是反比例函数y ＝xk（k >0）图象上一点.若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值.思路分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y ＝a (x －21)2－49，再把点M （2，0）代入，可求a ＝1，所以抛物线的解析式可求.（2）先分别求出A 、B 两点的坐标，及AB 线段长，再根据反比例函数y ＝xk（k >0），考虑点C 在x 轴下方，故点D 只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB 为边，如图一。

2017重庆中考数学第25题专题复习（十二）1、（2016秋•哈尔滨校级月考）已知△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，∠BAC=∠DAE，AD=AE，连接CE．（1）当∠BAC=90°时，如图1，直接写出线段CE、CD、BC的数量关系；（2）当∠BAC=120°时，如图2，求证：CE+CD=BC；（3）在（2）的条件下，点G为AC的中点，连接BG，∠BAD=∠ABG，若AE=7，求BG的长．BG=142.如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．（1）如图1，以CD为边向内作等边△CDF，延长DF恰好交CB延长线于点P，若AB=2，求tan∠PAB的值；（2）如图2，∠APB=60°．以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE、CE．证明：；（3）如图3，过点C作CF⊥AP于点F，连接DF、AC，若S△AFC：S正方形ABCD=1：4．请直接写出DF与AB之间的数量关系．3.（2016春•黄陂区校级期中）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE，F为CE的中点，DF=EF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，若AE=AB，过点B作BG⊥CE，垂足为G，连AG．①求∠AGB的度数；②若CD=3DE，直接写出EGCG的值。

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠B=12，作∠DAF=12∠BAC，AD交BC于点D，AF交BC于点F，将点D沿直线AF翻折得到对称点E，连接CE、DE．（1）求证：BD=CE；（2）如图2，过点E作AC的垂线交AC于N，交直线AF于M，若∠AME=45°，AD=时，直接写出线段FG的长．。

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ； （3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。