卢卡斯人力资本模型的推导——摘自经济发展讲座2006.5.24就本节的目的而言，人力资本是指个体的一般技术水平。
因此一个人力资本为()h t 的工人的生产力相当于两个人力资本分别为1()2h t 的工人，或相当于一个人力资本为2()h t 的半日制工人。
人力资本关注如下事实：个人对当期各种活动的时间分配方式将影响其未来的生产率，或()h t 水平。
把人力资本引入模型就得解释清楚人力资本水平怎样影响当期生产，以及当期时间分配方式怎样影响人力资本积累。
有很多方法可以系统地阐述“技术”的这两个方面，根据个人目标的不同，可自行选择。
让我们从以下的简单假设开始。
假设共有N 名工人，他们的技术水平h 从0到无穷不等。
令技术为h 的工人数量为()N h ，故0()N N h dh ∞=⎰。
设技术为h 的工人将其非闲暇时间的()u h 部分用于生产，1-()u h 用于人力资本积累，则生产中的有效劳动力——对应于（2）式中的()N t ——为参与当期生产的以技术为权数的工时数之和0()()e N u h N h hdh ∞=⎰。
故若产出为总资本K 和有效劳动e N 的函数(,)e F K N ，则技术为h 的工人的小时工资为(,)e N F K N h ，总收入为(,)()e N F K N hu h 。
个体人力资本除对其自身生产率的效应外——我称之为人力资本的内部效应——还应考虑其外部效应。
具体而言，令平均技术水平或者说平均人力资本由下式定义：.22θρδθ=-00()()a hN h dh h N h dh ∞∞=⎰⎰这一平均指标对生产中所有因素的效率都会产生作用。
我称a h 为效应外溢，因为虽然人人的生产率都从中受益，但个人人力资本积累的决策对a h 的影响是微不足道的，故没有人会在决定时间分配时考虑这一因素。
若沿用先前的分析方式并将经济中所有的工人视为同质，则可大大简化分析。
在本例中，若所有工人的技术为h ，且分配于劳动的时间比例都为u ，则有效劳动力为eN uhN =，平均技术水平a h h =。
但我在下文中仍继续使用a h 这一符号，以强调内部效应与外部效应的区别。
描述商品生产技术的（2）式现在被下式所替代：（11）.1()()()()[()()()]()r a N t c t K t AK t u t h t N t h t ββ-+=()r a h t 反映了人力资本的外部效应，技术水平A 现在假设为不变。
为使模型完整，必须将用人力资本积累的份额1-()u t 与人力资本水平()h t 的变化率联系起来。
所有内容都将围绕这一联系展开。
我们从如下假设开始：人力资本的增长.()h t 与其既有水平及用于积累时间分配有关，即：（12）.()()(1())h t h t G u t ε=- G 为增函数，(0)0G =。
若令此式中的1ζ<，则人力资本积累的收益递减，由此很容易看出人力资本无法替代技术项()A t 作为增长的一个驱动力。
未看清楚这一点，请注意由于()0u t ≥，（12）式表明：.1()()(1)()h t h t G h t ε-≤ 因此不管赋予人力资本积累的时间份额有多大，.()()h t h t 最终必趋向于零。
在这种情况下只是使索洛模型复杂化了， 而未提供任何真正的新东西。
在假设（12）式的右边线性（1ζ=）的情况下，宇泽（1965）提出了一个与此十分类似的模型（他同时假设0,()r U c c ==）。
他的方法的显著特征，在于其仅靠内生的人力资本积累即可以保证人均收入的持续的增长，无需外部的“增长驱动”。
宇泽的线性假设看起来似乎是行不通的，因为我们在现实中观察到的人力资本的个体收益是递减的。
人们在生命的早期进行快速积累的收益要小。
但这一现象也有另外一种解释，即人的生命是有限的，所以随着生命的缩短，增加人力资本的回报也会随之下降。
罗森（1976）证明，当1ζ=时，又（12）式所示的积累技术与我们观察到的关于个人收入的证明一致的。
我把宇泽——罗森公式改变一下，为简单起见假设G 是线性的，得到：（13）.()()[1()]h t h t u t δ=-根据（13）式，若不进行积累（()1u t =），则累积量为零。
若全部时间用于积累（()0u t =），则h(t)达到最大增长率δ。
在这两个极端之间，不存在h(t)的收益递减，h(t)每一给定百分比的增长都需要付出相同多的努力，而不管h(t)的既有水平多高。
我不得不说些题外话，因为把用于有限生命个人的由（13）式表示的人力资本积累技术应用于无限生命的代表性家庭还需要做些工作。
例如，每个人以罗森模型中描述的方式获得人力资本，但这些资本完全没有传递给下一代，则家庭的人力资本存量不变（家庭人口固定）。
要使（13）式适合家庭行为，不但需要假设个人积累服从此式，还需假设每一新家庭成员的初始人力资本水平为家庭中旧成员既有人力资本水平的一个比例（但与旧成员不相等）。
这只是我强调的一般事实的一个例子：人力资本积累是项社会行为，他将人类群体包含进来的方式在物质资本积累中是找不到相似之处的。
除了（11）至（13）式中所描述的技术变化议政和人力资本及其积累，此模型与索洛模型是完全相同的。
系统是封闭的，人口以不变的速度增长，代表性家庭具有（1）式所描述的偏好。
我们继续分析这一模型。
当存在外部效应()r a h t 时，最优增长路径与竞争均衡路径不再一致，因此我们无法通过研究应用于索洛模型的假设规划问题而建立均衡。
但是参照罗默对一个与之十分相似的模型的分析方法，我们可分别得到最优路径和均衡路径，并对两者加以比较。
所谓最优路径，我指的是在（11）和（13）式的约束下，并且在所有t 期都满足()()a h t h t =的情况下，选择一组()K t 、()h t 、()H t 、()c t 及()u t 以最大化效用函数（1）式。
均衡路径则要复杂一些。
首先假设()a h t 的路径是给定的，就像索洛模型中的外生技术路径()A t 。
给定()a h t ，考虑一个由原子型的家庭和厂商构成的私人部门。
假设每一经济行为人都预期人力资本的平均水平服从路径()a h t ，则私人部门问题有解。
也就是说，将()a h t 使做外生给定，在（11）和（13）式的约束下，选择()h t 、()k t 、()c t 及()u t 以最大化效用函数（1）式。
当路经()h t 与()a h t 一致时——因此真实行为和预期行为相同——我们说系统达到了均衡。
“影子价格”1()t θ和2()t θ分别用来对物质资本和人力资本的增长估价，求解最优路径的当期汉密尔顿函数为：111212(,,,,,,)(1)[()][(1)]1N H k h c u t c AK uNh h Nc h u σββγθθθθδσ--=-+-+-- 此模型中有两个决策变量——消费()c t 和用于生产的时间()u t 。
通过选择这两个变量（用最有规划法）以最大化H 。
一阶条件为：（14）cσ-=1θ及（15）112(1)()AK uNh Nh h ββγθβθδ-+-= 商品的两种用途——消费及资本积累——边际价值必须相等，即（15）式。
两种资本的影子价格1θ和2θ的变动率如下：（16）.11111()AKuNh h ββγθρθθβ--=- （17）.12212(1)()(1)AK uN h u βββγθρθθβγθδ--+=--+--则（11）（13）（14）至（17）式以及此处我未写出来的两个横截性条件，隐含地描述了()K t和()h t 从任何初始混合状态开始的最优路径。
在均衡中，私人部门要“解决” 一个本质上与上述形式相同的控制问题，但把（11）式的()r a h t 视作给定。
市场出清要求任何t 期()a h t =()h t ，因此同最优路径一样，（11）、（13）、（14）、（15）、（16）式是均衡的必要条件。
但（17）式再此出不再适用：最优分配和均衡分配对人力资本的评价显然是不同的。
对私人部门而言，在均衡中（17）式将被下式所替代：.12212(1)()(1)a AK uN h h u βββγθρθθβθδ--=----由于市场出清要求任何t 期都有()a h t =()h t ，因此上式可被写为：.12212(1)()(1)AK uN h u βββγθρθθβθδ--+=----注意，若0γ=，则（17）和（18）式相同.正式由于外部效应0γ>的存在,才导致社会评价方程(17)和私人评价方程(18)式出现分歧。
如同处理较简单的索洛模型一样，刻画最优路径和均衡路径的最简单的方法是从寻找两个系统的平衡增长解开始：此时消费和两种资本的影子价格以不变的速度下降，时间分配量()u t 不变。
我们首先考虑最优路径和均衡路径的共同特征，暂时将（17）式和（18）式置于一边。
如前文，用κ表示.()/()c t c t ，则（14）和（16）式隐含地决定了资本条件的边际生产率：（19）11()(()()())()AK t u t h t N t h t k ββγβρσ--=+上式类似于（6）式。
如在先前的模型中那样，很容易证明在平衡路径上()K t 必以κλ+的速度增长，且储蓄率s 是不变的，其值由（10）式给定。
在这些关于物质资本积累事实的推导过程中，()h t 是选择的结果，还是象前面模型中的技术变化那样是个外生力量并不重要。
若我们在平衡路径上令.()/()h t h t ν=，则显然由（13）式可得：（20）(1)u νδ=-对（19）式微分，可得到消费和人均资本的共同增长率κ：（21） 1()1υβγκβ-+=- 由于()h t 以固定速度v 增长，此处(1)βγν-+的作用相当于外生技术变动率μ在前面模型中的作用。
我们现在转而考虑人力资本增长率ν的决定因素，通过对一阶条件（14）式和（15）式微分，并消去.11()/()t t θθ，得到：（22）.22()()k θβσβγνλθ=---+ 从现在开始，效率路径和均衡路径的分析开始分离。
先来看效率路径，由（17）式和（15）式可得：（23）.221u θγρδδθβ=--- 然后从（20）式中解出u 的表达式代入（23）式，再由（22）式和（23）式消去.22()/()t t θθ，并将κ写成由ν表达的形式，最后通过与（21）式联立，消去κ而解出人力资本的效率增长率，我称之为*ν：（24）*11()1βνσδρλβγ-⎡⎤-=--⎢⎥-+⎣⎦若模型沿着均衡路径，则（18）式取代了（17）式，（23）式也被下式所替代：（25）.22θρδθ=- 按照从（23）式中推导出效率增长率*ν的方法，我们可以从（25）式得到均衡增长率ν：()()(){}111νσβγγβδρλ-=-+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦要应用（24）式和（26）式，ν和*ν不可超过最大可能增长率δ。
