2015湖北理科数学试题及标准答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A

【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．

【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． （2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B

【解析】依题意，这批米内夹谷约为28

1534169254

⨯=石，故选B ．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． （3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式

系数和为（ ） （A ）122

（B ）112 （C ）102 （D ）92

【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x +

中奇数项的二项式系数和为1091

222

⨯=，故选D ．

【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．

（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，2

22

(,)Y N μσ，这两个正态分布密 度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）

（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤

（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C

【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到

()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，

结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．

（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；

q ：222222

21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++

+=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A

【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()1

3n n a

q n a -=≥且0n a ≠；

对命题q ，①当时，成立；

②当时，根据柯西不等式，等式成

立，则

，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 条件．故选A ．

0=n a 22222

2

212

12312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++

+=++

+0≠n a 22

222

2

21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++

+n

n a a a a a a 132

21-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a

（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，

则（ ）

（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，

由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,

sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪

===-⎨⎪-<⎩

，故选B ．

（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1

2

x y +≥

”的概率，2p 为事件“1

||2x y -≤

”的概率，3p 为事件“12

xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B

【解析】因为[],0,1x y ∈，

对事件“1

2x y -≥

”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1

2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，

对事件“1

2

xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可

得231p p p <<，故选B ．

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面

积的大小即可比较大小．

（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >

个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）

（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D

【解析】依题意，1e =

2e ==

因为()()()

m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22

b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

，所以12e e <；

当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22

b b m a a m +⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

，所以12e e >．

所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． （9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，

定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则

A

B ⊕中元素的个数为（ ）