北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin(
)x
dx x
+∞
⎰的收敛性。
解 根据不等式31|sin |||,||62
u u u u π
-≤≤，
得到 33
sin sin 1sin 11
|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x
dx x x +∞-⎰绝对收敛，因而收敛，
再根据1sin x
dx x +∞⎰是条件收敛的，
由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+
， 可知积分1sin sin()x
dx x
+∞⎰收敛，且易知是是条件收敛的。
例5.3.39 设2()1...2!!
n
n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根，
求证：0m x <，且lim m m x →+∞
=-∞。
证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；
当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞
=>，所以21()m P x +的根m x →-∞，
（m →∞）。
因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。
则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列
0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）；
21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞
→+∞
<=-≤=，矛盾。
例、 设(1)ln(1)n
n p a n -=+，讨论级数2
n n a ∞
=∑的收敛性。
解 显然当0p ≤时，级数2
n n a ∞
=∑发散；
由 20
01
1ln(1)
1lim
lim 2x x x x x x
x
→→-
-++=011lim 21x x →=+ 12=，
得221
ln(1)4x x x x ≤-+≤，（x 充分小）， 于是2211(1)1
4n n
p p p
a n n n -≤-≤，（n 充分大） （1） 当1p >时，221p n n ∞
=∑，2
(1)n
p n n ∞
=-∑收敛，
2(1)n n p n a n ∞
=--∑
收敛，(1)1
n n n p p
a a n n -≤-+， 2
n
n a
∞
=∑收敛，2n n a ∞
=∑绝对收敛；
（2） 当1
12p <≤时，221p n n
∞
=∑收敛，2(1)n p n n ∞=-∑收敛，
于是2(1)n
n p
n a n ∞
=--∑
收敛，从而2(1)()n n p n a n ∞=--∑收敛，2
n n a ∞
=∑收敛， 而21p n n ∞
=∑发散，由1(1)n n n p p
a a n n -≤-+，得2
(1)(||)n
n n p n a a n ∞=--+∑发散，所以2n
n a ∞
=∑发散，
故此时2
n n a ∞
=∑条件收敛。
（3） 当1
02p <≤时，2(1)()n n p n a n ∞=--∑发散，而2(1)n p n n ∞=-∑收敛，此时2
n n a ∞
=∑发散。
北京大学2007年数学分析考研试题及解答
1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。 命题：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，那么必然存在一点
(,)a b ξ∈， 满足()0f ξ=。
采用反正法，若对于任意点(,)x a b ∈，有()0f x ≠，那么显然对于任意
[,]x a b ∈，仍然有()0f x ≠。
由于f 的连续性，我们对于任意一点[,]x a b ∈，可以找到一个邻域()x O x δ，使得
()f x 在()[,]x O x a b δ⋂中保号，那么[,]a b 区间被以上形式的()x O x δ，[,]x a b ∈开区
间族所覆盖，
由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间1
2
12(),(),...,()x x x n
n O x O x O x δδδ就能覆盖闭
区间[,]a b ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在0ε>，满足当12,[,]y y a b ∈，
12y y ε-<时，存在1
2
12(),(),...,()x x x n
n O x O x O x δδδ中的某个开集同时覆盖12,y y 。那
么我们就证明了当12y y ε-<时，有12(),()f y f y 同号； 现取正整数m ，满足
b a m ε-<，令()i b a i
z a m
-=+
，0,1,...,i m =，那么我们有1i i z z ε+-<，()i f z 与1()i f z +同号，从而证明了0()f z 与()m f z 同号，即()f a 与
()f b 同号，这与题目中的()()0f a f b <矛盾，证明完毕。
2、 设(),()f x g x 在有限区间(,)a b 内一致连续，证明：()()f x g x 也在(,)a b 内一致连续。
证明 首先证明(),()f x g x 都在(,)a b 上有界，因为()f x 在有限区间(,)a b 内一致连续，从而存在10δ>，满足当此12,(,)x x a b ∈，121x x δ-<时，有 12()()1f x f x -<， 现取正整数m ，满足
1b a m δ-<，令()i b a i
z a m
-=+
，1,2,...,1i m =-； 对任意(,)x a b ∈，存在j z ，使得 1j b a
x z m
δ--<
<， ()()()()j j f x f x f z f z ≤-+ 1()j f z ≤+ 11
1max ()i i m f z ≤≤-≤+，
即得()f x 在(,)a b 上是有界的；
