用相似三角形解决问题(1)

三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题三角形是初中数学中的重要内容，而其中的相似三角形更是一个重要的概念。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形的性质可以帮助我们在解决问题时更加简便和高效。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何利用这些性质来解决实际问题。

一、相似三角形的性质1. 比例关系相似三角形的边长比例相等，即如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们就是相似三角形。

例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么有如下的比例关系：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'2. 角度关系相似三角形的对应角度相等，即两个相似三角形对应角的度数相等。

例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么相应的角度关系如下：∠A = ∠A'∠B = ∠B'∠C = ∠C'二、利用相似三角形的性质求解问题利用相似三角形的性质，我们可以在解决实际问题时采用以下方法：1. 比例推导根据相似三角形的比例关系，可以利用已知信息求解未知信息。

例如，已知两个三角形相似且知道一个三角形的边长和另一个三角形的边长比例，可以通过设立等式求解未知边长。

2. 定理运用利用相似三角形的角度关系，可以应用相应的定理求解问题。

例如，可以应用“等角定理”、“角平分线定理”等来解决与相似三角形有关的问题。

3. 测量实际问题当我们面对实际问题时，可以利用相似三角形的性质进行测量。

例如，当我们需要测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度和角度来计算出高楼的高度。

综上所述，相似三角形的性质在数学解题中是非常重要的。

通过学习和应用相似三角形的性质，我们可以更加高效地解决各类与三角形有关的问题。

使用相似三角形的性质，我们可以推导比例关系、运用定理以及进行实际测量，从而准确地求解问题。

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

相似三角形的应用目的：利用相似三角形的性质解决实际问题． 中考基础知识通过证明三角形相似 线段成比例()()⎧⇒⎨⎩方程含有未知数的等式函数求最值等问题备考例题指导例1．如图，P 是△ABC 的BC 边上的一个动点，且四边形ADPE 是平行四边形． （1）求证：△DBP ∽△EPC ； （2）当P 点在什么位置时，S ADPE=12S △ABC ，说明理由． 分析：（1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有ADPE ⇒平行线⇒角相等，命题得证．（2）设BP BC =x ，则CPBC=1-x ，ADPE ⇒DP ∥AC ， EP ∥AB ，△BDP ∽△BAC △CPE ∽△CBA ∴FPC ABC S S ∆∆=（CP CB ）2=（1-x ）2，BDP BACS S ∆∆=（BP BC ）2=x2 ∴BDP CPE ABCS S S ∆∆∆+=x 2+（1-x ）2．∵S ADPE=12S △ABC ，即ADPE ABC SS ∆=12． ∴x 2+（1-x ）2=12（转化为含x 的方程） x=12， ∴BP BC =12．即P 应为BC 之中点．例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程14x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n 再写出一次函数．抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．双直角图形⇒有相似形⇒比例式（方程）∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BACBC2=BD·BA，同理有AC2=AD·AB，∴22BCAC=BD BAAD AB⇒=m=2n ①抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．由（x1-x2）2<192 配方（x1+x2）2-4x1x2<192． 64（n-1）2-16（m2-12）<192，4n2-m2-8n+4<0．②①代入②⇒n>12．又由△≥0得4（n-1）2-4×14（m2-12）≥0，①代入上式得n≤2．③由n>12，n≤2得12<n≤2．∵n为整数，∴n=1，2．∴m=2，4∴y=2x+1，或y=4x+2．遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．备考巩固练习1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x•的一元二次方程x2-2b（a+2 2 c b）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC•交BC•于E，EF⊥AB，垂足是F．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若BF=6，FD=4，CE=23CD，求CE的长．2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD•地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，•即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当DEAE=1时，有EF=2a b+；②当DEAE=2时，有EF=23a b+；③当DEAE=3时，有EF=34a b+．当DEAE=k时，参照上述研究结论，•请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，• DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．(1) (2)答案:1．（1）由x 1+x 2=x 1x 2得2b （a+22c b）=（a+b ）2 2ab+c 2=a 2+b 2+2ab∴△ABC 是直角三角形． ∴c 2=a 2+b 2（2）易证△EFD ∽△EDB ，∴EF 2=DF ·DB=40． 设CE=x ，则CD=32x ， ∴DE=（32x ）2-x 2=40⇒2．（1）∵四边形ABCD 是梯形（见图）． ∴AD ∥BC ，∴∠MAD=∠MCB ， ∠MDA=∠MBC ， ∴△AMD ∽△CMB ，∴AMDBMCS S ∆∆=（AD BC ）2=14．∵种植△AMD 地带花带160元． ∴16080=2（m 2） ∴S △OMB =80（m 2） ∴△BMC 地带的花费为80×8=640（元）（2）设△AMD 的高为h 1，△BMC 的高为h 2，梯形ABCD 的高为h ∵S △AMD =12×10h 2=20 ∴h 1=4 ∵12h h =12∴h 2=8 ∴S 梯形ABCD =12（AD+BC ）·h=12×30×12=180∴S △AMB + S △DMC =180-20-80=80（m 2） ∴160+160+80×12=1760（元）又：160+640+80×10=1600（元） ∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金． （3）点P 在AD 、BC 的中垂线上（如图）， 此时，PA=PD ，PB=PC ．∵AB=DC ∴△APB ≌△DPC ．设△APD 的高为x ，则△BPC 高为（12-x ）， ∴S △APD =12×10x=5x ， S △BPC =12×20（12-x ）=10（12-x ）． 当S △APD =S △BPC 即5x=10（12-x ）=8．∴当点P 在AD 、BC 的中垂线上且与AD 的距离为8cm 时，S △APD =S △BPC ． 3．解：（1）猜想得：EF=1a kbk++ 证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ． ∵AB ∥CD ， ∴△AGE ∽△DHE ， ∴DH DEAG AE=． 又EF ∥AB ∥CD ，∴CH=EF=GB ，∴DH=EF-a ，AG=b-EF ， ∴EF a b EF --=k ，可得EF=1a kbk++．（2）在AD 上取一点EF ∥AB 交BC 于点F ，设DE AB =k ，则EF=1703101k k ++，DE=701kk+， 若S 梯形DCFE =S 梯形ABFE ，则S 梯形ABCD =2S 梯形DCFE ∵梯形ABCD 、DCEF 为直角梯形∴1702102+×70=2×12（170+1703101k k ++）×701kk+， 化简得12k 2-7k-12=0，解得k 1=43，k 2=-34（舍去）∴DP=701kk=40，所以只需在AD上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．。

相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。

一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。

这时候，相似三角形就派上用场了。

我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。

因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。

假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。

根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。

例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。

那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。

二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。

我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。

接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。

然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。

由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。

假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。

根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

《相似三角形的应用》讲义在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

它们不仅是数学中的重要概念，还具有广泛的实际应用价值。

一、测量物体的高度测量物体的高度是相似三角形常见的应用之一。

比如，我们想要测量一棵大树的高度，但直接测量非常困难。

这时候，我们可以利用相似三角形的原理来解决。

首先，在大树旁边立一根已知长度的杆子，比如一根2 米长的杆子。

然后，分别测量出杆子的影子长度和大树的影子长度。

假设杆子的影子长度为 1 米，大树的影子长度为 10 米。

因为太阳光是平行光，所以在同一时刻，杆子和大树与地面形成的夹角是相等的，那么杆子和大树与其影子分别构成的两个直角三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，对应边成比例。

设大树的高度为 h 米，则有：2/1 ＝ h/10通过交叉相乘可得：h ＝ 20（米）这样，我们就利用相似三角形求出了大树的高度。

二、测量河宽当我们面对一条无法直接测量宽度的河流时，相似三角形也能派上用场。

假设我们站在河的一岸，想要测量河的宽度。

我们可以在岸边选定一个点 A，然后沿着河岸向与河流垂直的方向走一段距离到达点 B。

接着，在点 B 处插上一根标杆。

然后，我们继续沿着与河岸垂直的方向走到点 C，使得点 A、标杆顶点和点 C 在同一条直线上。

测量出 AB 和 BC 的长度，以及从点 C 观测标杆顶点的仰角。

假设AB 为 50 米，BC 为 30 米，仰角为 60°。

我们可以构建两个相似的直角三角形，一个是由标杆、点 B 到标杆底部的垂线以及点 B 到观测点 C 的连线构成，另一个是由河宽、点 A 到河对岸的垂线以及点 A 到观测点 C 的连线构成。

因为这两个三角形的对应角相等，所以它们相似。

设河宽为 x 米，则有：（ x ／（50 ＋ 30) ）＝（标杆长度／ BC ）而标杆长度可以通过三角函数求出。

假设标杆长度为 h 米，因为仰角为 60°，所以 h ＝ BC × tan60°＝30√3 米。

相似三角形的应用于实际问题求解相似三角形是几何学中一个重要的概念，广泛应用于实际问题的求解中。

在实际应用中，我们经常会遇到一些无法直接测量或计算的物理量，但通过相似三角形的应用，我们可以利用已知的信息来求解未知量。

本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用方法。

问题一：高楼的高度难以直接测量，如何利用相似三角形求解？解决问题一的方法是利用日晷的阴影来推算高楼的高度。

首先，在一个特定的时间，测量日晷的阴影长度与高楼的阴影长度。

假设日晷的高度为h₁，阴影长度为s₁；高楼的高度为h₂，阴影长度为s₂。

由于日晷和高楼处于相似三角形中，可以建立以下比例关系：h₁/s₁ = h₂/s₂通过已知的日晷高度和阴影长度，可以求解出高楼的高度。

问题二：无法直接测量的河宽，如何利用相似三角形求解？解决问题二的方法是利用两个位置的观测角度来推算河宽。

假设我们站在一岸的A点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₁；然后我们移动到岸边的C点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₂。

假设岸边的距离为d，河宽为w。

由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：w/d = tan(θ₁)w/(d + AC) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和岸边距离，可以求解出河宽。

问题三：测量不便的高山高度，如何利用相似三角形求解？解决问题三的方法是利用水平线和山顶的观测角度来推算高山的高度。

假设我们站在水平线上的A点，观测山顶的角度为θ₁；然后我们移动到水平线上的B点，观测山顶的角度为θ₂。

假设两个观测点之间的距离为d，山顶的高度为h。

由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：h/d = tan(θ₁)h/(d + AB) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和观测点之间的距离，可以求解出高山的高度。

通过以上实际问题的求解，我们可以看出相似三角形的应用是十分灵活的。

它不仅能够用于测量高度、宽度等无法直接测量的物理量，还可以应用于地理测量、地质勘查、建筑设计等领域。

6.7 用相似三角形解决问题（1）年级： 班级： 姓名： 日期： 编者： 审核人： 一、学习目标： 1．了解平行投影的意义.2.知道在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例，会利用平行投影画出图形并能利用其原理测量物体的高度. 二、学习内容： 1.导学预习：（1）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米（2）如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC //DE ，DE =90米，BC =70米，BD =20米。

则A 、B 两村间的距离为 。

（3）一棵高3米的小树影长为4米，同时一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高 米． 2.小组讨论：（1）利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB 表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED 的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.（2）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h .3.展示提升：（1）某人身高1.7米，某一时刻影长2.04米，同时一棵树影长为10.2米，则此树高 米。

（2）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m（3）一位同学想利用树影测量树高(AB ),他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长为0.9m ,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD ),他先测得留在墙上的影高(CD )为1.2m ,又测得地面部分的影长(BC )为2. 7m ,他求得树高应为多少?4．质疑拓展：已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB =5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m .（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影； （2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光 下的投影长为6m ，请你计算DE 的长.BC DEA5.学习小结： 6．达标检测：（1）如图，高低杠AB ＝2.5m ，EC ＝2m ，已知四边形ABCD 和四边形ECGF 都是矩形，若AB 在地面上的影长为3m ，则E ′D ′＝ . （2）某旅游风景区中某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于 （ ） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度（3）阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m 长的影子。