6.7用相似三角形解决问题(1)

高中数学如何利用相似三角形解几何题在高中数学中，几何题是一个重要的考点，而相似三角形是解决几何问题的常用方法之一。

相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

利用相似三角形可以简化几何问题的解决过程，提高解题效率。

本文将以具体的题目为例，详细介绍如何利用相似三角形解决几何题，并给出一些解题技巧和指导。

首先，我们来看一个典型的相似三角形题目：【例题】如图，已知∠A=∠D，∠B=∠C，且AC平分∠DAB，证明：△ABC∽△DCB。

解析：根据题目中的已知条件，我们可以得到∠A=∠D，∠B=∠C，以及AC 平分∠DAB。

要证明△ABC∽△DCB，需要证明对应的角相等，并且对应的边成比例。

首先，我们证明∠A=∠D。

根据已知条件，AC平分∠DAB，所以∠DAC=∠BAC。

又因为∠BAC=∠C，所以∠DAC=∠C。

而∠DAC和∠C都是△DCB中的角，所以∠A=∠D。

接下来，我们证明∠B=∠C。

根据已知条件，AC平分∠DAB，所以∠DAC=∠BAC。

又因为∠DAC=∠A，所以∠BAC=∠A。

而∠BAC和∠A都是△ABC中的角，所以∠B=∠C。

综上所述，我们证明了△ABC和△DCB的对应角相等。

接下来，我们需要证明对应边成比例。

根据已知条件，AC平分∠DAB，所以根据平分线的性质，有$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$。

又因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以根据相似三角形的定义，有$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$。

即对应边成比例。

综上所述，我们证明了△ABC∽△DCB。

明过程，提高解题效率。

下面，我们再来看一个应用相似三角形的例题。

【例题】如图，已知AB是直径，CD是弦，且∠ACB=30°，求∠CDA的度数。

解析：根据题目中的已知条件，我们可以得到AB是直径，CD是弦，且∠ACB=30°。

要求∠CDA的度数，可以利用相似三角形的性质来解决。

相似三角形典型例题在几何学中，相似三角形是一个重要的概念。

相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，包括测量、设计和建模等领域。

本文将介绍一些相似三角形的典型例题，帮助读者更好地理解和应用相似三角形的原理。

一、例题一已知两个三角形ABC和DEF，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以得出什么结论？解析：根据已知条件，可以得出两个三角形的对应角度相等。

根据相似三角形的定义，两个三角形ABC和DEF是相似的。

相似三角形的性质包括对应角度相等和对应边长成比例。

二、例题二已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，BC = 6cm，DE = 10cm，那么可以推导出EF的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。

设EF = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = BC/EF4/10 = 6/x通过交叉相乘得到：4x = 60x = 15因此，EF的长度是15cm。

三、例题三已知两个相似三角形ABC和DEF，且AB = 9cm，BC = 12cm，EF = 15cm，那么可以推导出AC的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。

设AC = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = AC/EF9/x = 12/15通过交叉相乘得到：9*15 = 12*x135 = 12xx = 11.25因此，AC的长度是11.25cm。

四、例题四已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 5cm，BC = 8cm，DE = 10cm，那么可以推导出DF的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。

设DF = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = BC/DF5/10 = 8/x通过交叉相乘得到：5x = 80x = 16因此，DF的长度是16cm。

五、例题五已知两个相似三角形ABC和DEF，且AB = 6cm，BC = 9cm，EF = 12cm，那么可以推导出DE的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。

6.7用相似三角形解决问题同步测试一．选择题1．有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm，∠B＝90°的Rt△ABC的铁片，现要按照如图所示方式截一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m3．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（）A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm4．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（）A．B．C．1D．25．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD ＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米6．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为（）A．24cm2B．12cm2C．9cm2D．6cm27．如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（）A．18.75米B．18.8米C．21.3米D．19米8．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（）A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m9．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股””章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为（）步．A．B．C．D．700二．填空题11．如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为米．12．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为．13．如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为．14．如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为m．15．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长米．三．解答题16．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．17．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2cm，AB＝BC＝8cm，CD＝10cm．动点P 从点B出发，以1cm/s的速度，沿B﹣A﹣D﹣C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C﹣D﹣A方向向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时，另一点也同时停止，设运动时间为t秒．问：（1）当点P在边BA上运动，t＝时，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分；（2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值或取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则有：，解得x＝，故选：D．2．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，∴AC＝AB+BC＝10m，∴＝，解得，DC＝5，即建筑物CD的高是5m，故选：D．3．解：设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，EF∥AD，∴，∵BE+AE＝AB，∴，∴，解得：x＝36mm，∴EF＝36mm，EH＝72mm，故选：D．4．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝，∴CA2＝CD•CB，∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，∴CB＝1+a，∴a2＝1•（1+a），∴a2﹣a﹣1＝0，∴a＝或（舍弃），故选：A．5．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，∵FG∥EH，∴，＝解得：EH＝9.6，∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）答：电视塔的高ED是11.2米，故选：C．6．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝＝10cm，∴AM＝＝4.8（cm），∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AN＝MN＝2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故选：B．7．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴＝，即，∴MN＝1.6×20÷15≈21.3（m），答：楼房MN的高度为21.3m．故选：C．8．解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴＝＝，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即＝＝，解得：FB＝，AF＝，∵△CDF∽△CEB，∴＝，即＝解得：DF＝，故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），答：此时点A离地面的距离为2.2m．故选：A．9．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．10．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：KC的长为步．故选：A．二．填空题11．解：根据题意可得：AB＝1.5，AP＝2，CP＝6，∠BP A＝∠DPC，∠A＝∠C＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，即：＝，∴AB＝4.5（米），故答案为：4.5．12．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝＝10cm，∴AM＝＝4.8（cm），∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴AN＝MN＝2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故答案为：12cm2．13．解：∵CD＝AC，CE＝BC，∴＝＝，又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△DEC，∴＝＝，∵DE＝20m，∴AB＝40m，故答案为：40m．14．解：由图可知：设旗杆的高度为x米，，解得x＝12.5．故答案为12.5．15．解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．∵AB∥CD，∴△TAB∽△TCD，∴＝，∴＝，解得x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，∵CD∥EF，∴△TCD∽△TEF，∴＝，∴＝，∴y＝24，经检验y＝24是分式方程的解，∴EC＝24（米），故答案为：24．三．解答题16．解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，∴SO∥AB，∴△ABC∽△SOC，∴＝，即＝，解得OB＝h﹣1①，同理，∵A′B′⊥OC′，∴△A′B′C′∽△SOC′，∴＝，＝②，把①代入②得，＝，解得h＝9（米）．答：路灯离地面的高度是9米．17．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴＝．同理，△EMF∽△AMB，∴＝．∵EF＝CD，∴＝，即＝．解得x＝5，∵＝，∴＝．解得AB＝8．答：大树AB的高度为8米．18．解：（1）∵BP＝CQ＝t，∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t，∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t，∴t＝3＜8，∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．故答案为3．（2）第一种情况：如图1中，当0＜t≤8时，若△P AD∽△QEC，则∠ADP＝∠C，∴tan∠ADP＝tan∠C＝＝，∴＝，∴t＝．若△P AD∽△CEQ则∠APD＝∠C，∴tan∠APD＝tan∠C＝，∴＝，∴t＝．第二种情况：当8＜t≤10时，P、A、D三点不能组成三角形．第三种情况：当10＜t≤12时，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似．∴t＝或t＝时，△P AD与△CQE相似．（3）第一种情况：如图2中，当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP＝8﹣t，AD＝2，∴PD＝＝，∵CE＝t，QE＝t，∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t，∴PH＝t﹣t＝t，∴PQ＝＝，DQ＝10﹣t，当DQ＝DP，10﹣t＝，解得t＝8秒，当DQ＝PQ，10﹣t＝，化简得：3t2﹣52t+180＝0，解得：t＝或＞8（不合题意舍去），∴t＝．第二种情况：如图3中，8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：如图4中，10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．。

用相似三角形解决问题一．选择题（共12小题）1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m2．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米3．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是（）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m4．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）A．2√10B．2√5C．√13D．2√135．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 26．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AC 和BD 表示起固定作用的两根钢筋，AC 与BD 相交于点M ，已知AB ＝8m ，CD ＝12m ，则点M 离地面的高度MH 为（ ）A ．4 mB ．245mC ．5mD ．163m 8．如图，有一块三角形土地，它的底边BC ＝100米，高AH ＝80米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（ ）A ．1000米2B ．2000米2C ．3000米2D ．4000米29．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（ ）A ．60mmB ．16013mmC ．20mmD ．24013mm10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（ ）A ．300步B ．315 步C ．400 步D ．415步11．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P 离地面（ ）A ．2.4米B ．8米C ．3米D ．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P 离地面距离12．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是（ ）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2√5；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4√2−4．A．①③④B．①②⑤C．①②③D．②④⑤二．填空题（共12小题）13．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为m．14．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EF的长应为cm．15．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为．16．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP 与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．17．如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是．18．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门二十步有木，出西门四十五步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走20步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走45步后正好看到树木，则正方形城池的边长为步．19．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．20．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为m．21．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD＝2，则AB的长是．22．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为m．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点A为原点建立平面直角坐标系，使AB在x 轴正半轴上，点D是AC边上的一个动点，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下结论：①△AFD∽△DCE∽△EGB；②当D为AC的中点时，△AFD≌△DCE；③点C的坐标为（3.2，2.4）；④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1的坐标为（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF的最大面积为3．在这些结论中正确的有（只填序号）24．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是√2．其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）三．解答题（共6小题）25．某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）26．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长．27．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，DE ＝40cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝12m ，求树高AB ．28．AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上任意一点时（点G 不与A 重合），过点G 的直线交边AB 于E ，交射线AC 于点F ，设AE ＝xAB ，AF ＝yAC （x 、y ≠0）．（1）如图1，若点G 与D 重合，△ABC 为等边三角形，且∠BDE ＝30°，证明：△AEF ∽△DEA ；（2）如图2，若点G 与D 重合，证明：1x +1y =2； （3）如图3，若AG ＝nAD ，x =12，y =32，直接写出n 的值．29．已知不等臂跷跷板AB长为3米．跷跷板AB的支撑点O到地面的点H的距离OH＝0.6米．当跷跷板AB的一个端点A碰到地面时（如图1），AB与直线AH的夹角∠OAH的度数为30°．（1）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图2），跷跷板AB与直线BH的夹角∠ABH的正弦值是多少？（2）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图2），点A到直线BH的距离是多少米？30．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．。

6.7 用相似三角形解决问题(2)学习目标：1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识． 学习重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题． 学习难点：将实际问题抽象、建模，辅助解题． 学习过程： 导学预习：1．如图1是用杠杆撬石头的示意图， C 是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬起．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须上翘起10cm ，己知杠杆的AB =2m ，BC =40cm ，则要这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm ．2．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长3．夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（ ）A .路灯的左侧B .路灯的右侧C .路灯的下方D .以上都可以4．如图2，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．32合作探究：活动一 自主学习 讨论分享阅读阅读教材83页，了解中心投影，说说自己的体会．_______________________________________________________称为中心投影。

思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？结论：一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的高与影长____________． 活动二 尝试交流如图，某人身高CD ＝1.6m ，在路灯A 照射下影长为DE ，他与灯杆AB 的距离BD ＝5m ． （1）AB ＝6m ，求DE （精确到0．01m ）； （2）DE ＝2.5m ，求A B ．图1E HFG CB A）活动三例题学习如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1．6 m，求灯杆AB的高度．变式练习1：已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5m的竹竿AB竖直立在水平地面上．测得竹竿的影子长为1m，然后拿竹竿向远处路灯的方向走了4m．再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．变式练习2：小华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯BD的底部．已知小华身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？练一练：1．3根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第1、第2根旗杆在同一灯光下的影子如图．请在图中画出光源的位置，并画出第3根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）．ABO 1O 2．如图，某同学身高AB ＝1.70m ，在灯光下，他从灯杆底部点D 处沿直线前进4m 到达点B 时，测得他的影长PB ＝2m ．求灯杆CD 的高度．3．如图，圆桌正上方的灯泡O （看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地上形成影．设桌面的半径AC ＝0.8 m ，桌面与地面的距离AB ＝1m ，灯泡与桌面的距离OA ＝2m ，求地面上形成的影的面积．小结：课堂作业：课本习题6．7第4、5、6题． 课后练习：1．如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC 、 BC 分别取其三等分点M 、N 量得 MN ＝38m ．则AB 的长是 （ ）A ． 152mB ．114mC ．76mD ．104m2．小明身高为1.6米，他在距路灯5米处的位置发现自己的影长为1米，他在向前走距离路灯为7米时，他的影长将（ ）A .增长0.4米B .减少0.4米C .增长1.4米D .减少1.4米图43．如图2，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 ．4．如图3，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED =3m ,则A 、B 两点间的距离为________．图1图3D FA B C E G 5．如图4，是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=︒，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是 米6．在6米高的路灯下，身高1.5米的哥哥的影长为1米，身高1.2米的弟弟的影长为2米，那么哥哥和弟弟之间的距离x 的取值范围是 .7．小明、小亮在高为8米的路灯下做游戏，他们发现身高为1.6米的小明在路灯下的影长为1米，身高为1.65米的小亮要想在该路灯下得到一个3.1米长的影子，而且两人的影子要保证在同一直线上，那么两人应该相距 米.8．如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？9．如图，有一路灯杆AB (底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．10．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且AB ∥PQ ，建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ，小亮从胜利街的A 处，•沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C 标出）； （2）已知：MN =20m ，MD =8m ，PN=24m ．求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM ．P 第8题图参考答案导学预习：1．40cm 2.D 3.C 4.C活动二尝试交流(1)1.82m(2)4.8m活动三例题学习AB=6.4m变式练习1：路灯离地面的高度是9米．变式练习2：解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm∵MP∥BD∴△APM∽△ABD∴∴∴x=3∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为18米．（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC的影子长，设BF=ym∵BE∥AC∴△EBF∽△CAF∴，即解得y=3.6，经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．练一练：2．5.1m 3.1.44π课后练习：1．B 2.A 3.0.81π 4.20m 5. 解：由题意知，圆锥的正截面是等腰直角三角形，所以光束照射到地面的半径=OO1=2m，那么光束照射到地面的面积=4π≈12.6米2．6.8. 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．9. 解：由AB∥CD，得△ABF∽△CDF所以即①由AB∥EF，得△ABG∽△EFG所以即②由①、②得BD=9代入①，得∴AB=6（m）答：路灯杆AB的高度为6m。

思考:平行投影和中心投影有什么不同呢?
下面两幅图分别是两棵小树在同一 时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光 下形成的，哪幅图是太阳光下形成的 吗？
例1: 同一时刻，两根木棒的影子
如图，请画出图中另一根木棒的影子。
中心投影及相似三角形性质的应用
例2:如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下， 小丽在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD 方向前进到点F处测得自己的影长FG=4m。 设小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度。
如图所示，快下降到地面的伞兵在灯光
下的影子为AB．试确定灯源P的位置，并画 出竖立在地面上木桩的影子EF．(保留作图痕 迹，不要求写作法)
小结 本节课你学到了哪些知识？
6.7用相似三角形解决问题 中心投影 ---------------- --------
学习目标：
1、了解中心投影的概念 2、会根据题意找出点光源
3、在中心投影下相似三角形判 定及性质的应用
想一想 相似三角形有何性质及判定方法？
1、边：
2、角：
3、对应线段：
物体在灯泡(点光源）发出的光照射下形 成影子就是中心投影．
解： （1）
下列四幅图形中，表示两颗圣诞树在同一时
刻阳光下的影子的图形可能是( A )
A.
C.
B.
D.
如图所示，灯在距地面3米的A处，
现有一木棒2米长，当B处木棒绕其与 地面的固定端点顺时针旋转到地面， 其影子的变化规律是( ) A A.先变长，后变短
B.先变短，后变长
C.不变
D.先变长，再不变，后变短
x
1.6m
4m
3m
y
中心投影及相似三角形性质的应用
例3:如图，在宽为24m的马路两侧各竖立

You made my day!
∴旗杆的影长为 3＋191＝398(米)．
∴3h8＝01.9，解得 h＝3.8.即旗杆高 FP 为 3.8 米． 9
8 【2020秋·镇江期末】如图，某同学想测量旗杆的高度， 在阳光下，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时 影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆 靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上， 他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2 米，求旗杆的高度．
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，如图． ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°. ∴四边形 CDBE 为矩形． ∴BD＝CE＝21 米，CD＝BE＝2 米．
设 AE＝x 米，∴11.5＝2x1，解得 x＝14. ∴旗杆的高 AB＝AE＋BE＝14＋2＝16(米)．
【2020秋·扬州期末】如图，小明(用CD表示)站在旗杆(用 3
AB表示)的前方8 m处，某一时刻小明在地面上的影子EC 恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6 m，CE ＝2 m，则旗杆AB的高度为( B ) A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．10 m
【点拨】∵AC＝8 m，EC＝2 m， ∴AE＝AC＋EC＝2＋8＝10(m)． ∵CD⊥AE，AB⊥AE，∴DC∥AB. ∴△DCE∽△BAE.∴AABE＝CCDE，
解：∵在阳光下，同一时刻物高与影长成正比，
∴AABC＝GNHG，即00..43＝N1.G8 ， 解得 NG＝2.4 米．
在 Rt△ NGH 中，NH＝ NG2＋HG2＝3 米．
设⊙O 的半径为 r，连接 OM，如图． ∵MH 与⊙O 相切于点 M，∴OM⊥NH. ∴∠NMO＝∠NGH＝90°.

投影在实际生活中的应用投影问题在日常生活中随处可见，解答这类题时要注意分清本质（即是中心投影还是平行投影问题）及每种投影的特征.例1:图1是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）A 、③④②①B 、②④③①C 、③④①②D 、③①②④分析：太阳光是平行光,因而投影是平行投影,太阳光早上与地面夹角较小,到中午左右最大;即物体的投影先最长,然后变短,最后又变长;其次,,太阳是从东方升起,物体的投影的方向正好相反,不同高度的物体的投影的长度也不相同,高的物体的投影也较长,图③中物体的投影最长,其方向是西方,因此表示的时间是早上;图④中物体的投影较短,其方向是西北方向,太阳在东南边,因此表示的时间是上午;图①中物体的投影较短,其方向是东北方向,太阳在西南边,因此表示时间是下午;图②中物体投影较长,其方向是东方,因此太阳在西边,因此表示的时间是下午近傍晚时.故选C.反思:（1）在平行投影中,高的物体的投影也较长;（2）要注意方向,如光线从东边照过来,投影就在西边;（3）太阳光是特殊的平行光,要注意随着时间的推移,太阳光的方向及其投影的变化规律.例2:如图2，晚上，小亮在广场上乘凉.图2中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯.（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P ）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO ＝12m ，小亮的身高AB ＝1.6m ，小亮与灯杆的距离BO ＝13m ，请求出小亮影子的长度.PABO图2小亮PA BCO图3图1分析:根据中心投影的特征,先确定A 点的投影,从而画出小亮的影子,再将这一问题转化为数学问题,用相似三角形的知识求解.解：（1）如图3，连接PA 并延长交地面于点C,线段BC 就是小亮在照明灯(P)照射下的影子.（2）在△CAB 和△CPO 中， ∵ ∠C =∠C ，∠ABC =∠POC =90°， ∴ △CAB ∽△CPO .∴COCBPO AB =. ∴ BC BC+=13126.1. ∴ BC =2.∴ 小亮影子的长度为2m.例3:某校墙边有两根木杆.（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图4所示,你能画出乙木杆的影子吗?(用线段表示影子)（2）在图4中,当乙木杆移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上? （3）在你所画的图中有相似三角形吗?为什么?分析:所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同一时刻,根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比,同时,在同一时刻太阳光线是互相平行的,平行移动乙杆,使其杆顶端的影长恰好抵达墙角.解: （1）如图5,过E 点作直线D D '的平行线,交D A '所在直线于E ',则E B '为乙木杆的影子.（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即E BE '∆），直到其影子的顶端E '抵达墙角.（3）D AD '∆与E BE '∆相似.反思:由一物体及其影长,画出同一时刻另一物体的影子,其作法是:（1）过已知物体的顶端及其影长的端点作一直线,再过另一物体的顶端作之前所作的直线的平行线,交已知物体的影子所在直线于一点,则该点到该物体的底部的线段即为影长.但D ' 甲 EBD A 乙 图4D '甲 E B DA乙 图5E 'ED '甲 BDA乙 图6EE '应注意以下两点:①两物体必须在同一平面内;②所求物体必须在已知的影子所在的直线上.（2）在同一时刻,不同物体的底部中点、顶端的中心及影子的端点所构成的三角形是相似三角形.。

相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。

一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。

这时候，相似三角形就派上用场了。

我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。

因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。

假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。

根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。

例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。

那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。

二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。

我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。

接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。

然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。

由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。

假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。

根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。

6.7 用相似三角形解决问题（1）年级： 班级： 姓名： 日期： 编者： 审核人： 一、学习目标： 1．了解平行投影的意义.2.知道在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例，会利用平行投影画出图形并能利用其原理测量物体的高度. 二、学习内容： 1.导学预习：（1）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米（2）如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC //DE ，DE =90米，BC =70米，BD =20米。

则A 、B 两村间的距离为 。

（3）一棵高3米的小树影长为4米，同时一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高 米． 2.小组讨论：（1）利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB 表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED 的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.（2）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h .3.展示提升：（1）某人身高1.7米，某一时刻影长2.04米，同时一棵树影长为10.2米，则此树高 米。

（2）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m（3）一位同学想利用树影测量树高(AB ),他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长为0.9m ,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD ),他先测得留在墙上的影高(CD )为1.2m ,又测得地面部分的影长(BC )为2. 7m ,他求得树高应为多少?4．质疑拓展：已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB =5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m .（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影； （2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光 下的投影长为6m ，请你计算DE 的长.BC DEA5.学习小结： 6．达标检测：（1）如图，高低杠AB ＝2.5m ，EC ＝2m ，已知四边形ABCD 和四边形ECGF 都是矩形，若AB 在地面上的影长为3m ，则E ′D ′＝ . （2）某旅游风景区中某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于 （ ） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度（3）阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m 长的影子。

6.7 用相似三角形解决问题用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。

在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解． 方法一 构造相似三角形解决线段的比例式或角相等问题一、自主初学例1、如图，已知：点D 是等边三角形A B C B C 边上任一点，∠EDF=602 .求证：(1)△BDE∽△CFD (2)DCBE CF BD方法总结：当要求的结果是线段的比例式或等积式时，可将比例式或等积式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边，证明这两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例加以解决变式练习1：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 和△CDE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F 。

求证：（1）△ABC ∽△DEC ；（2）EF ⊥AB方法二利用圆中角的关系构造相似三角形求线段长度二、小组合学例2：如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长方法总结：在圆中证明两个三角形相似，通常利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”来证明两个角相等变式练习2、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H求证：（1）AB是半圆O的切线（2）若AB=3，BC=4，求BE的长方法三 构造相似三角形建立函数关系三、迁移再学例3、如图，某厂有许多为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（图中阴影部分）铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x 、 y方法总结：对一些比较复杂的图形，可通过构造相似三角形，利用线段间的关系建立函数模型。

用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。

一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。

这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。

二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。

一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。

3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。

三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。

2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。

确保图形准确无误。

3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。

4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。

可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。

5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。

可以通过代入已知量和已知比例求解。

四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。

2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。

3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。

4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。

有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。

综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。

苏科版数学九年级下册6.7《用相似三角形解决问题》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.7《用相似三角形解决问题》这一节主要让学生掌握相似三角形的性质和应用。

通过前面的学习，学生已经掌握了相似三角形的定义和判定方法，本节内容将进一步引导学生利用相似三角形解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们对相似三角形有一定的了解，但可能在应用相似三角形解决实际问题上还存在困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法。

2.能够运用相似三角形解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质和判定方法。

2.运用相似三角形解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似三角形的性质和应用。

2.运用案例分析法，让学生通过分析实际问题，掌握相似三角形的解决方法。

3.采用小组合作交流法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于引导学生运用相似三角形解决问题。

2.准备多媒体教学设备，用于展示和分析案例。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何利用相似三角形解决这些问题。

2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的性质和判定方法，通过示例让学生理解并掌握这些性质和方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用相似三角形的方法进行解决。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）选取几组学生的解题过程和答案，进行讲解和分析，让学生巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）引导学生思考如何将相似三角形的解决方法应用于其他学科或生活实际，培养学生的创新思维能力。

拓展总结 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现 对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案， 具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站在点E处时， 可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度 恰好相同，此时，小明测得自己落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE ＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上），已知小明的身高EF 是1.7m，请你帮小明求出楼高AB.（结果精确到0.1m）
定义：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影．
6.7 用相似三角形解决问题（1）
合作探究，梳理知识
如图，木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中 画出同一时刻木杆A1B1在阳光下的影长B1C1．
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
性质：在平行光线的照射下，同一时刻，不同物体的物高与影长成比例．
即甲物体的高度 ＝乙物体的高度 甲物体的影长 乙物体的影长
在阳光下，身高为1.6m的小强在地面上的影长为2m，在同 一时刻，测得旗杆在地面上的影长为25m，求旗杆的高度
强化训练
1、已知一根3米长的标杆垂直于地面，同时测得其影长为1.8米， 小明为了测量自己的身高，请同学量得自己的影长为0.9米，小明 的身高为＿＿＿米.
2、如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8 米的地方，已知旗杆高度为6米，小明眼部以下距地面1.5米，这 时小明应站在离旗杆＿＿＿＿米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶 端重合.
强化训练
3、如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放 在离树根部10m远的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后 退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明的目高为 1.6m，则树的高度是（ ）

接着，我会请学生举例说明生活中见到的相似三角形的例子，如地图上的比例尺、放大镜下的图形等。这样，学生可以初步认识到相似三角形在现实生活中的广泛应用，从而激发学生的学习兴趣。
然后，我会给出相似三角形的定义，并引导学生思考相似三角形的特点和性质。通过这一环节，学生将自然地进入新课的学习状态，为后续的学习打下基础。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何图形的兴趣，培养学生的审美观念，提高学生对数学美的感知能力。
2.培养学生善于观察、勇于探索的精神，使学生在面对未知问题时，敢于尝试、勇于挑战。
3.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作意识和沟通能力，使学生学会倾听、尊重他人，形成积极向上的人际关系。
e)小结反馈：对学生的学习情况进行总结，针对存在的问题进行反馈和指导。
3.教学评价：
a)过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与。
b)终结性评价：通过课后作业、单元测试等形式，评价学生对相似三角形知识点的掌握程度。
c)差异化评价：根据学生的个体差异，制定合适的评价标准，关注每个学生的成长。
1.理解并掌握相似三角形的定义、性质和应用。
2.学会运用相似三角形的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力和团队协作能力。
（二）教学难点
1.相似三角形的性质及其应用，特别是实际问题的建模和求解。
2.学生在解决相似三角形问题时，对尺规作图、计算等方面的熟练程度。
3.提交作业时，请注意书写工整，保持作业整洁。
4.教学资源：
a)利用多媒体教学资源，如PPT、动画等，直观展示相似三角形的性质和应用。
b)提供丰富的实际案例，帮助学生更好地理解相似三角形在现实生活中的应用。

初中数学主题化跨单元教学设计——以“三角形”的教学为例摘要：初中数学是小学数学的拓展与延伸，是高中数学的预备与基础，该学习阶段也是学生学习生涯的重要转折期，对学生思维能力的发展至关重要。

因此，相关教育工作者必须加强对初中数学教育教学工作的重视，进一步提升教育质量以及教学成效，确保学生的数学学科核心素养可以得到有效发展。

针对单元教学设计的实践成效与问题，为促进初中数学教学更好地指向核心素养培育，研究者提出“跨单元教学设计”概念，对学生学习方式和教师教学行为优化具有现实意义与实践价值。

关键词：初中数学；主题化跨单元；系统构建；核心素养前言：主题化跨单元数学教学设计，利用数学知识之间的横、纵向联系，全面整合重构教学单元，站在知识模块、知识群甚至是数学课程的高度去认识与设计教学，这是传统单元教学设计的发展，对于学生系统整体构建数学知识和促进学生数学核心素养具有现实意义和实践价值．1.大单元教学设计的基本概念大单元教学设计是从单元知识整体出发，结合教学内容以及学生的实际学习情况，对教材进行重组再建，使重组后的教学内容可以成为独立的教学大单元，然后基于该教学单元开展教学实践工作的一种教学设计方式。

这种方式打破了传统的教学模式，可以实现对学生知识网络体系的有效构建，充分凸显教学内容的主线以及知识之间的关联性，对增强学生的归纳能力以及逻辑思维能力有着重要的现实意义。

由此可知，大单元教学设计与项目化学习有许多相似之处，因此项目化学习背景下应当积极将大单元教学设计应用到初中数学教学工作中。

1.教材分析课堂教学的主要依据是教材。

教师在进行教学设计和组织教学活动时，应反复研读和深挖教材，厘清知识之间的联系，这样才能明确教学的重难点和目标，才能设计出切实可行的教学方案。

“三角形”主题化跨单元教学设计过程中，首先需要教师充分挖掘不同单元、不同学段的相关内容（如表１），并在明晰前后知识点之间联系的基础上，进行系统化、整体化的思考与重构，形成跨单元教学思路。

6.7 用相似三角形解决问题学习目标：1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等．2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小．3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力．一、课前预习（一）知识梳理1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是三角形。

2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 .3.相似三角形的性质①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于．4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比．（二）基础训练1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：52．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.3. 如图，D 、E 两点分别在△CAB 上，且 DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．4. 下列说法中正确的是（ ）A ．两个直角三角形一定相似；B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等腰直角三角形一定相似；D ．两个等腰梯形一定相似5. 厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13D ．346. 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，67. 如图，点P 是Rt △ABC 的斜边 BC 上异于 B 、C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．4二、例题精讲例1如图，⊙O 中的弦AB 截另一弦CD 成CE 、DE 两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE 长A E D C B例2如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．例3如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，点P 在AC 上，点Q 在BC 上．(1)当△PQ C 的面积与四边形P ABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQ C 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)在AB 上是否存在点M ，使△PQM 为等腰直角三角形?若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．例4 如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3)当t 为何值时，△APQ 的面积为245个平方单位？CA P QB三、当堂反馈1．如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加的条件是___________2．如图27－99所示，在△ABC 中，有DE ∥BC ，12AD BD ，DE ＝4 cm ， 则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm3．（2011贵州毕节）两个相似三角形的面积比是16:9，其中较小三角形周长为36cm ，则较大三角形周长为( )A ．48cmB ．54cmC ．56cmD ．64cm4．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm ，60 cm ，80 cm ，三角形框架乙的一边长为20 cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5.如图，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交 AD 于F ，图中相似三角形的对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．王明同学为了测量河对岸树AB 的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C 处通过平面镜看到树的顶端A ．如图，然后他量得B 、P 间的距离是56米，C 、P 间距离是 12米，他的身高是1．74米． ⑴他这种测量的方法应用了物理学科的什么知识？请简要说明；⑵请你帮他计算出树AB 的高度．CB AP D7．如图所示，在房子外的屋檐E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在△ABD 。