二次函数画图1

二次函数的图像与性质一、列举4组典型二次函数的图像1、y=ax2型，如：。

2、y=ax2+c型，如：。

3、y=a(x-h)2型，如：4、y=a(x-h)2+k型，如：。

二、y=ax2型的图像性质三、y=ax2+c型的图像性质注意：这一型的二次函数形式，揭示了函数图像的“上加下减”的规律。

如：向下平移2格。

四、y=a(x-h)2型的图像性质五、y=a(x-h)2+k型的图像性质五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c（如：）化为顶点式y=a(x-h)2+k（如：），确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。

七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），如：；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0），如：；3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标），如：.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。

八、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中。

比如说：和九、二次函数y=ax2+bx+c的性质1. 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。

当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值。

2. 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。

1.2 二次函数的图象(1)二次函数y=ax 2(a≠0)的图象是顶点在原点的一条抛物线，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．1.已知抛物线y=(m-1)x 2经过点(－1，－2)，那么m 的值是(B ).A.1B.－1C.2D.－22.抛物线y=ax 2(a ＜0)的图象一定经过(B ).A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限3.函数y=xa 与y=ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D ). A. B.C. D. 4.在同一平面直角坐标系中作函数y=3x 2，y=-3x 2，y=31x 2的图象，这些图象的共同特点是(B ).A.都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B.都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D.都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 5.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=201x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则刹车前的速度为(C ).A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s 6.已知抛物线y=ax 2(a ＞0)过A(-2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式中,一定正确的是(C ).A.y 1＞0＞y 2B.y 2＞0＞y 1C.y 1＞y 2＞0D.y 2＞y 1＞07.若抛物线y=ax 2经过点A(3，-9)，则其函数表达式为 y=-3x 2 ． 8.若抛物线y=(a+1)x a2+a 开口向下，则a= -2 ．9.已知二次函数y=ax 2的图象经过点P(-2，5).(1)求a 的值.(2)若点M(4，m)在这个二次函数的图象上，求m 的值.【答案（1）∵二次函数y=ax 2的图象经过点P(-2，5)，∴a×(-2)2=5，解得a=45. （2由（1）知二次函数表达式为y=45x 2， ∵点M(4，m)在这个二次函数的图象上，∴m=45×42=20. 10.根据下列条件，求a 的值或取值范围：(1)函数y=(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 增大而减小;当x ＜0时，y 随x 增大而增大．(2)函数y=(3a-2)x 2有最大值．(3)抛物线y=(a+2)x 2与抛物线y=-21x 2的形状相同． (4)函数y=(a-1)x a2-a 的图象是开口向上的抛物线．【答案】（1）a ＜2．（2）a ＜32． （3）a=-2.5.（4）a=2.11.已知四个二次函数的图象如图所示，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是(A ).A.a 1＞a 2＞a 3＞a 4B.a 1＜a 2＜a 3＜a 4C.a 2＞a 1＞a 4＞a 3D.a 2＞a 3＞a 1＞a 4(第11题) (第12题)12.株洲湘江五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系(如图1所示)，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20m ，拱高(中柱)10m ，于是他建立如图2所示的平面直角坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了.那么，中柱右边第二根支柱的高度是(D ). A.7m B.7.6m C.8m D.8.4m13.边长为1的正方形OABC 的顶点A 在 x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，如图所示，使点B 恰好落在函数y=ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为(D ).A.- 2B.-1C.- 423D.- 32 (第13题) (第14题)14.如图所示，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O 上，AD∥x 轴，以O 为顶点且过A ，D 两点的抛物线与以O 为顶点且过B ，C 两点的抛物线将正方形分割成几部分.则图中阴影部分的面积是 2 ．15.已知函数y=ax 2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1，b).(1)求a 和b 的值．(2)当x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？(3)求抛物线y=ax 2与直线y=2x-3的另一个交点B 的坐标．【答案】（1）a=-1,b=-1.（2）∵a=-1，∴二次函数y=ax 2为y=-x 2，它的图象开口向下，对称轴为y 轴. ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大. （3）解方程组⎩⎨⎧-=-=232x y x y ,得⎩⎨⎧-==1111y x ,⎩⎨⎧-=-=9322y x . ∴抛物线y=ax 2与直线y=2x-3的另一个交点B 的坐标是（-3，-9）．16.有一座横断面为抛物线形状的拱桥，其水面宽AB 为18m ，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为8m ，货船在水面以上部分的横断面是矩形CDEF ，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求此抛物线的二次函数表达式．(2)如果限定矩形的长CD 为9m ，那么矩形的高DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥？(3)若设EF=a ，请将矩形CDEF 的面积S 用含a 的代数式表示，并指出a 的取值范围．【答案】（1）y=-818x 2．（2）∵CD=9,∴点E 的横坐标为29，则点E 的纵坐标为-818×⎪⎭⎫ ⎝⎛292=-2. ∴点E 的坐标为（29,-2）. ∴要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过8-2=6（m ）.（3）∵EF=a，∴点E 坐标为（21a,- 812a 2） (第16题) ∴ED=8-│-812a 2∣=8-812a 2. ∴S 矩形CDEF =EF·ED=8a -812a 3（0＜a ＜18）． (第17题)17.如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y=4x+4交y 轴于点A ，在抛物线y=2x 2上是否存在一点P ，使△POA 的面积等于10？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】假设存在一点P （m ，n ），使S △POA =10.∴S=21OA·|m|=10，即21×4×|m|=10， 解得m=5或-5.把m 代入y=2x 2，解得n=50.∴点P 的坐标为（5，50）或（-5，50）．18.【宁夏】已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是(C ). A.B. C. D.(第19题) 19.【淄博】如图所示，Rt△OAB 的顶点A(-2，4)在抛物线y=ax 2上，将Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线相交于点P ，则点P 的坐标为 （2，2） （第20题）20.如图所示，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y=x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y= 42x (x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B作EF∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则EADOFB S S ∆∆的值为(D ). A. 62 B. 42 C. 41 D. 61 【解析】设点A ，B 的横坐标为a （a ＞0），则点A 的纵坐标为a 2，点B 的纵坐标为42a ∵BE∥x 轴，∴点F 的纵坐标为42a .∵F 是抛物线y=x 2上的点， ∴点F 的横坐标为x=y =21a. ∵CD∥x 轴，∴点D 的纵坐标为a 2.∵D 是抛物线y=42x 上的点， ∴点D 的横坐标为x=y 4=2a.∴AD=a，BF=21a ，CE=43a 2，OE=41a 2. ∴EAD OFBS S ∆∆=CE AD OE BF ⋅⋅2121=224321412121a a a a ⨯⨯⨯⨯=61.故选D.。

二次函数的图像及其三种表达式学生： 时间：学习目标1、熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线]2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y 为x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲例题1已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1图① 图② 2.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3 D.y =21(x +2)2－13.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四4.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上5.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个6.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)图37.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是 ；（2）当x= 时，y=3；16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是 ；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为 ．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为 ．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 ．23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－41）和（－a ，y 1），则y 1的值是 ．24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题：（1）按照要求填表：n 1 2 3 4 …s 1 3 6 …（2）写出当n=10时，S= ．（3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。

二次函数 1知识点结构：1、二次函数的定义；2、二次函数的图象及性质。

知识点一 二次函数的定义二次函数定义：形如y=ax 2+bx+c (a 、b 、、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．例题：例1 下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y ; (6) y=2(x+3)2－2x 2 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 例2 若()mmx m m y -+=22是二次函数， m=______。

例3 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式。

课堂练习：1、下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x（3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝x ＋1x2、函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． 当m__________时，该函数为二次函数； 当m__________时，该函数为一次函数．3、在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13 时，x 的值．知识点二 二次函数的图象与性质1、.函数y=ax 2的图象与性质2、函数y＝ax2＋k的图象与性质234a＞0当x ＝____时，y 有最_____值，是______．x____时，y 随x 的增大而增大；x____时，y随x 的增大而减小； a ＜0当x ＝____时，y 有最_____值，是______．x____时，y 随x 的增大而减小；x____时，y随x 的增大而增大；备注：｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________． 5、函数图象的平移规律： “左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例题：例1 足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）AB C D例2 若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，-2 )，则它也经过 （ ） A. P 1(-1，-2 ) B. P 2(-l, 2 ) C.P 3( l, 2) D.P 4(2, 1)例3 已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y= —x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3例4 将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为______________．例5 完成下列表格：y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点 对称轴 最值增减性 （对称轴左侧）例6 如图 ① y ＝ax 2② y ＝bx 2③ y ＝cx 2④ y ＝dx 2 比较a 、b 、c 、d 的 大小，用“＞”连接．___________________________________例7 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反， 形状相同的抛物线解析式____________________________．例8 函数y=-3(x-1)2+1是由y=-3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位得到的.其对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .例9 一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （2,-8). (l ）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象；(3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。