二次函数五点法画图8

八函数及其图象一、平面直角坐标系（一）平面直角坐标系如图，在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，编号如下图所示．注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限．坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的．也就是说坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．在这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其它区域之间均没有公共点．（二）点的坐标的概念点的坐标用()ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，()bb,是两个不同a,和()a 点的坐标．注意：数轴上的点与实数是一一对应的，而对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；对于任意的一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的点M和它对应．也就是说，坐标平面的点与有序实数对是一一对应的．（三）不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标有如下特征(如右图所示)：点P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0。

点P(x，y)在第二象限⇔x<0，y>0．点P(x，y)在第三象限⇔x<0，y<0．点P(x，y)在第四象限⇔x>0，y<0．2、坐标轴上的点有如下特征：点P(x，y)在x轴上⇔y为0，x为任意实数．点P(x，y)在y轴上⇔x为0，y为任意实数．点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x、y同时为零，即点P坐标为()0,0．3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：点P(x，y)在第一、三象限的夹角平分线上⇔x与y相等．点P (x ，y )在第二、四象限的夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数． 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同．5、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标特征：点P 与点'P 关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P 与点''P 关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点P 与点'''P 关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数．（四） 点到坐标轴及原点的距离点(),P x y 到坐标轴及原点的距离(如图)：(1)点P (x ，y )到x 轴的距离等于|y |；(2)点P (x ，y )到y 轴的距离等于|x |；(3)点P (x ，y )到原点的距离等于22y x +． 二、 函数（一） 函数及其相关概念1、在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量． 注意：变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程．在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的．2、一般的，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数．3、用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．例如，代数式vt ，2x -1，22-+x x ，x1，3-x 等等都是函数解析式．其中用数学式表示函数的方法叫做解析法．4、使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围．5、对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x =a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x =a 时的函数值，简称函数值．注意：(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．（二） 函数的三种表示法及其优缺点1、解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． 2、列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律． 3、图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能得到近似的数量关系．三、函数的图象（一）函数图象的概念：1、对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2、由函数解析式画其图象的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来． 3、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图象的定义可知图象上任意一点()y x P ,中的x ，y 是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．4、通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．反之亦然．注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．即求交点坐标，就是解方程组． 四、一次函数（一） 正比例函数和一次函数的概念1、一般的，如果b kx y +=(b k ,是常数，0≠k )，那么y 叫做x 的一次函数．2、特别的，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =(k 为常数，0≠k )．这时，y 叫做x 的正比例函数．3、一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：若0=k ，则b y =(b 为常数)，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示： （二）正比例函数和一次函数的图象和性质1、一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线．一次函数b kx y +=的图象，也称作直线b kx y +=． 2、一次函数、正比例函数图象的主要特征：一次函数b kx y +=的图象是经过点(0，b )的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点(0，0)的直线．注意：点(0，b )是直线b kx y +=与y 轴的交点．当b >0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b <0时，此交点在y 轴的负半轴上；当0=b 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．3、因为一次函数解析式b kx y +=中的b 决定直线b kx y +=与y 轴交点的位置，所以通常把b 叫做直线b kx y +=在y 轴上的截距．4、正比例函数的性质:一般的，正比例函数kx y =有下列性质：(1)当k >0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； (2)当k <0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 5、一次函数的性质:一般的，一次函数b kx y +=有下列性质： (1)当k >0时，y 随x 的增大而增大； (2)当0<k 时，y 随x 的增大而减小．（三） 两条直线的位置关系设直线1l 和2l 的解析式为11b x k y +=和22b x k y +=，则它们的位置关系可由其系数确定： 相交与2121l l k k ⇔≠；平行与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧≠=；重合与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧==． （四） 正比例函数和一次函数解析式的确定1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =(0≠k )中的常数k ．确定一个一次函数， 需要确定一次函数定义式b kx y +=(0≠k )中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法．其中的未知数系数也称为待定系数．如正比例函数kx y =中的k ，一次函数b kx y +=中的k 和b ，都是待确定的系数． 2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 五、二次函数（一）二次函数的概念1、一般的，如果)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，那么，y 叫做x 的二次函数． 注意：(1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的形式，因此，把)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数叫做二次函数的一般式．(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了．(3)二次函数c bx ax y ++=2的结构特征是：等号右边是关于自变量x 的二次多项式． 2、二次函数常用的表达式为：(1)一般式：c bx ax y ++=2(0≠a )．(2)顶点式：k h x a y +-=2)((0≠a )，其中abac k ab h 44,22-=-=．(3)两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标．如果没有交点，则不能这么表示．（二） 二次函数的性质和图象1、二次函数的图象是一条关于ab x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线．2、抛物线的几个主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点．3、画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴；(2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点；4、当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象． 5、当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象． 6、二次函数c bx ax y ++=2的性质：（三）二次函数解析式的确定1、二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数； (2)顶点式：k h x a y +-=2)()0,,,(≠a k h a 是常数；(3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实数根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解公式=++c bx ax 2()()21x x x x a --，二次函数cbx axy ++=2可转化为两根式()()21x x x x a y --=．2、要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件． 3、当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后列出三元一次方程组求解．4、当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式k h x a y +-=2)(求解．5、当已知抛物线与x 轴有交点且知道交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式()()21x x x x a y --= 求解．注意：求函数解析式的问题，如果是采用顶点式或两根式求解，那么求得的解析式，最后要化为一般式．（四） 二次函数的最值1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当ab x 2-=时， ab ac y 442-=最值．2、如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当ab x 2-=时，abac y 442-=最值；若不在此范围内，则需考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性．如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大；当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．六、反比例函数（一） 反比例函数的概念一般的，函数)0(≠=k k xk y 是常数，叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1-=kxy 的形式．自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数，函数y 的取值范围也是一切非零实数．（二）反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中自变量0≠x ，函数0≠y ，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2、反比例函数图象的画法(描点法)： (1)列表：自变量的取值，应以0为中心，沿0的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数； (2)描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；(2)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．3、反比例函数的性质：(1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内” ，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但笼统的合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可以推断出k 的符号．如，已知双曲线xk y =在第二、四象限，则可知k <0．（三） 反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数xk y =中，只有一个待定系数，因此只需要一 对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．（四） 反比例函数中比例系数的几何意义如图，过反比例函数)0(≠=k x k y 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，则所得的矩形PMON的面积xy x y PN PM S =⋅=⋅=．xky =， k xy =∴．kS =∴．即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为k ．。

二次函数学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++〔a b cy ax bx c，，是常数，0a≠〕的函数，叫做二次函数。

这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零．二次函数的定义域是全体实a≠，而b c数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y axa 的肯定Array值越大，抛物线的开口越小。

2.2y ax c=+的性质：上加下减。

()2-x h 4. ()2=-+的性质：y a x h k1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a 的大小确定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a 恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔21AB x x =-② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考察重点及常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选2-32拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数一、二次函数的定义例1、已知函数y=m －1x m2 +1+5x －3是二次函数,求m 的值.若函数y=m 2+2m －7x 2+4x+5是x 的二次函数,则m 的取值范围为 . 二、五点作图法的应用 例2. 已知抛物线y x x =-+123522, 1用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长． 1、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 A-2,7 B-2,-25 C2,7 D2,-92、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =3、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 三、a b c ，，及b ac 24-的符号确定例3. 已知抛物线y ax bx c =++2如图,试确定：1a b c ，，及b ac 24-的符号；2a b c ++与a b c -+的符号.1、已知二次函数2y ax bx c =++0a ≠的图象如图所示,有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<,其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是11 1-Ox yA ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列关系式中错误．．的是 A ．a ＜0 B ．c ＞0C ．ac b 42-＞0D ．c b a ++＞04、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象,给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时,y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时,13x -<<．其中,正确的说法有 ．请写出所有正确说法的序号5、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a －2b+c,2a+b,2a －b 中,其值大于0的个数为 A ．2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式： 1抛物线过0,2,1,1,3,5； 2顶点M-1,2,且过N2,1；3已知抛物线过A1,0和B4,0两点,交y 轴于C 点且BC ＝5,求该二次函数的解析式.练习：根据下列条件求x 的二次函数的解析式（1）当x=3时,y 最小值=－1,且图象过0,7（2）图象过点0,－21,2且对称轴为直线x=错误! （3）图象经过0,11,03,0五、二次函数与x 轴、y 轴的交点二次函数与一元二次方程的关系例5、 已知抛物线y ＝x 2-2x-8,1求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,且它的顶点为P,求△ABP 的面积xO1 －1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为2、如图所示,二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为B.43、若二次函数y＝m+5x2+2m+1x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6已知：二次函数为y=x2－x+m,1写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标；2m为何值时,顶点在x轴上方,3若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式．1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 .2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点.例7 已知x的二次函数y=x2－mx+212m+与y=x2－mx－222m+,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点．1试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点；2若A点坐标为－1,0,试求B点坐标；3在2的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x•值的增大而减小练习如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB＝2OA,点A的坐标是－1,2．1求点B的坐标；2求过点A、O、B的抛物线的表达式；3连接AB,在2中的抛物线上求出点P,使得S△ABP ＝S△ABO．例8 已知：m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n,如图所示．1求这个抛物线的解析式；2设1中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积；3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出P点的坐标．七、用二次函数解决最值问题例9 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y件之间的关系如下表：x 元152030…y件252010…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元例3.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m八、二次函数应用一经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y件是价格X的一次函数.1试求y与x的之间的关系式.2在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少总利润=总收入－总成本2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元. 1设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出PX 的函数关系式.2如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出QX 的函数关系式.2该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润利润=销售总额—收购成本—费用,最大利润是多少自我检测一. 选择题.1. 用配方法将12322x x ++化成()a x b c ++2的形式A. ()123522x +-B. 1232542x +⎛⎝ ⎫⎭⎪- C. ()12322x ++ D.()12372x +- 2. 对于函数y ax a =<20(),下面说法正确的是A. 在定义域内,y 随x 增大而增大B. 在定义域内,y 随x 增大而减小C. 在()-∞，0内,y 随x 增大而增大D. 在()0，+∞内,y 随x 增大而增大 3. 已知a b c <<>000，，,那么y ax bx c =++2的图象4. 已知点-1,33,3在抛物线y ax bx c =++2上,则抛物线的对称轴是A. x a b=-B. x =2C. x =3D. x =15. 一次函数y ax b =+和二次函数y ax bx c =++2在同一坐标系内的图象6. 函数y x x =-++33322的最大值为 A. 94B. -32C. 32D. 不存在二. 填空题.7. ()()y m x m x m =++-++11321是二次函数,则m =____________.8. 抛物线y x x =--52222的开口向_____,对称轴是________,顶点坐标是_______. 9. 抛物线y ax bx c =++2的顶点是2,3,且过点3,1,则a =___,b =___,c =______. 10. 函数y x x =---123522图象沿y 轴向下平移2个单位,再沿x 轴向右平移3个单位,得到函数________的图象. 三. 解答题.抛物线()()y x m x m m =-++-+-222243,m 为非负整数,它的图象与x 轴交于A 和B,A 在原点左边,B 在原点右边. 1求这个抛物线解析式.2一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C,且S ABC ∆=10,求一次函数解析式.◆强化训练 一、填空题1．右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像,•观察图像写出y 2≥y 1时,x 的取值范围_______．2．已知抛物线y=a 2+bx+c 经过点A －2,7,B6,7,C3,－8,•则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点m,0,则m 的值为______． 4．若二次函数y=x 2－4x+c 的图像与x 轴没有交点,其中c 为整数,•则c=_______只要求写出一个．5．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点1,2与－1,4,则a+c•的值是______．6．甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离sm 与其距地面高度hm 之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如下左图所示,•已知球网AB 距原点5m,乙用线段CD 表示扣球的最大高度为94m,设乙的起跳点C 的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m•的取值范围是______．7．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为______．8．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,•房子的价格y 元/m 2随楼层数x 楼的变化而变化x=1,2,3,4,5,6,7,8,已知点x,y•都在一个二次函数的图像上如上右图,则6楼房子的价格为_____元/m 2． 二、选择题9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,•则下列关系式不正确的是A ．a<0B ．abc>0C ．a+b+c<0D ．b 2－4ac>0第9题 第12题 第15题10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过点A1,2,B3,2,C5,7．若点M －2,y 1,N －1,y 2,K8,y 3也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是 A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 211．抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是x=2,且经过点P3,0,则a+b+c的值为A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示,抛物线的函数表达式是A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+213．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2,平移方法是A．向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位,再向上平移3个单位C．向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位,再向上平移3个单位14．已知二次函数y=x2+bx+3,当x=－1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是,0 B．1,0 C．2,0 D．3,0A．1216．在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2m是常数,•且m≠0的图像可能是三、解答题17．如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+ta>0交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为－1,0．1求抛物线的对称轴及点A的坐标；2过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP•是什么四边形并证明你的结论；3连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式．18．如图所示,m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根,且m<n,•抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n．1求这个抛物线的解析式；2设1中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD 的面积；3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于点H,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出点P的坐标．19．某地计划开凿一条单向行驶从正中通过的隧道,•其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3m,最高3.5m的厢式货车．按规定,•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．•为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,•建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB和拱高OC．20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．1求抛物线的对称轴；2平行于x轴的直线L的解析式为y=254,抛物线与x轴交于A,B两点．•在抛物线的对称轴上找点P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．如图5－76所示,二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像与x•轴交于A,B两点,其中A点坐标为－1,0,点C0,5,D1,8在抛物线上,M为抛物线的顶点．1求抛物线的解析式；2求△MCB的面积．22．如图所示,过y轴上一点A0,1作AC平行于x轴,交抛物线y=x2x≥0于点B,交抛物线y=12x2x≥0于点C；过点C作CD平行于y轴,交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴,交抛物线y=14x2于点E．1求AB：BC；2判断O,B,E三点是否在同一直线上如果在,写出直线解析式；如果不在,请说明理由．。

苏科版九年级数学下册知识点总结第五章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 十二、二次函数考查重点与常见题型2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)21． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ➢ 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ ✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.➢a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．➢ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：➢ 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ➢ 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.➢ 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点➢y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a cx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．➢ 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移➢ 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： ➢【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

绘制函数图象的五种技法如今的社会真的是靠脸吃饭的么？小编我却不以为然，还是觉得靠技术吃饭比较重要，技术不压身！现代教学是多媒体教学，那就离不开教学软件的支撑，几何画板就是其中之一。

在用几何画板辅助数学教学的过程中，常常涉及到函数图象的绘制。

熟练掌握绘制函数图象的方法，对提高数学教学效率很有帮助。

下面小编通过实例来系统总结绘制函数图象的五种技法，如果你get以下几个新技能，离超级学霸就不远啦！一、直接法例1 画函数y=sinx在R上的图象。

操作步骤：单击“图表”菜单下“绘制新函数”f(x)=sinx（如图1）。

二、轨迹法例2 画函数y=(1/4)x^2在区间[-2,3]上的图象。

操作步骤：（1）单击“绘图”菜单下“绘制点”C(-2,0)，D(3,0)，构造线段CD；（2）选中线段CD，单击“构造”菜单下“线段上的点”构造点E；（3）选中点E，单击“度量”菜单下“横坐标”得点E的横坐标xE；（4）单击“数据”菜单下“计算”，计算y值；（5）依次选中xE、y值，单击“绘图”菜单下“绘制(x,y)”，得点F；（6）选中点E与F，单击“构造”菜单下“轨迹”，得函数在区间[-2,3]的图象（如图2）。

三、参数法例3 绘制二次函数y=-x2+2x+3的图象。

操作步骤：（1）单击“数据”菜单下“新建参数”a=-1，b=2，c=3；（2）单击“绘图”菜单下“绘制新函数”f(x)= =-x2+2x+3（如图3）。

改变参数a、b、c的值（可在选中后按“+”或“-”键），可以动态地探索与发现抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴的变化过程.四、辅助函数法例4画下面函数的图象。

操作步骤：（1）单击“数据”菜单下“新建函数”f(x)=sinx，g(x)=cosx；（2）单击“绘图”菜单下“绘制新函数”。

（如图4）五、变换法一个平移就是一个向量，对于函数图象的平移，采取“标记向量”较为简单。

例5绘制与例2图象相同，而位置可任意改变的函数图象。

二次函数字母取值范围方法二次函数y的取值范围怎么求如下：第一个是根据图像的性质，简单点说，就是看a，a大于0，开口向上，有最小值，4a分之4ac-b的平方，a小于0，开口向下，有最大值，4a分之4ac-b的平方。

第二是根据对称轴，负二a分之b，也是先看a，将对称轴横坐标代入式子求值。

拓展知识二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

基本图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。

决定位置因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a当a>0,与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

五点法五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。

注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。

五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点。

Ps.正规考试也是用这种方法初步确定图像。

但是正规考试的要求在于要列表格，取x、y，再确定总体图像。

五点法是可以用在正规考试中的。

函数及其有关观点1、变量与常量在某一变化过程中，能够取不一样数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y ，假如对于 x 的每一个值， y 都有独一确立的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。

2、函数分析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数分析式或函数关系式。

使函数存心义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优弊端（ 1）分析法两个变量间的函数关系，有时能够用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做分析法。

（ 2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（ 3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数分析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在座标平面内描出相应的点（ 3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用光滑的曲线连结起来。

一次函数和正比率函数1、一次函数的观点：一般地，假如y kx b （k ， b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。

特别地，当一次函数y kx b 中的 b 为 0 时， y kx （ k 为常数， k 0）。

这时， y 叫做 x 的正比率函数。

2、一次函数、正比率函数的图像 全部一次函数的图像都是一条直线一次函数 y ＝ kx ＋b( k ≠ 0) 的图像是经过点（ 0， b ）的直线 ( b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距 ) ；正比率函数 ykx 的图像是经过原点（ 0， 0）的直线。

3、斜率：y 2 y 1k tanx 1x 2①直线的斜截式方程，简称斜截式 : y ＝kx ＋ ( ≠ 0)b k②由直线上两点确立的直线的两点式方程，简称两点式:yA( x 1, y 1)P(x 0 y 0)y=kx+bdB( x 2, y 2)by kx b (tan ) x by 2 y 1x( x x 1 ) y 1ax 2x 1x③由直线在x轴和y 轴上的截距确立的直线的截距式方程，简称截距式：x y1a b④设两条直线分别为， l 1 ： yk 1 x b 1l 2 ： yk 2 x b 2 若l 1l 2k 1 k 21若 l 1 // l 2 ，则有 l 1 // l 2 k 1 k 2 且 b 1 b 2 。

黄冈中学中考数学二次函数知识点20年中考真题考点知识点记忆口诀收集整理了1990年-2010年20年 中考数学试题真题与模拟题， 穷尽一切二次函数知识点与考点， 仔细体会下每一知识点与考点之真实意图理解记忆，记忆中理解1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。

⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。

数学解题方法谈19：二次函数的十大题型1、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像如图，直接判定b 的符号【方法】采用“左同右异”法：对称轴（或顶点）在y 轴左边：b 和a 同号；对称轴（或顶点）在y 轴右边：b 和a 异号.如图可知对称轴（或顶点）在y 轴右边：a ＜0, 则b ＞0.【加深】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，若 M=4a ＋2b ＋c N=a －b ＋c P=4a ＋2b 则有（ ）（A ）M ＞0 N ＞0 P ＞0 （B ）M ＞0 N ＜0 P ＞0（C ）M ＜0 N ＞0 P ＞0 （D ）M ＜0 N ＞0 P ＜0解∶由图可知：a ＞0 b ＜0 c ＜0 又－b 2a ＞1 ∴2a ＋b ＜0 ∴ M=4a ＋2b ＋c ＜0 P=4a ＋2b ＜0 a ＋b ＋c ＜0 N=a －b ＋c ＞0故选(D)2、能分清与其它函数之间的符号关系:在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c （a ≠0） 的大致图像，有且只有一个是正确的，则正确的是（ ）【方法】关键是先判定a 是否成立, 再看c 是否一致.看图∶ a 只有(2)(4)符合，但(2)c 不对.故选(D)【加深】在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=bx的图像大致是（ ）先弄清y=ax 2＋bx 中b 的符号,再逐步看y=b x所在象限: (A)中b ＜0 (B)中b ＜0(C)中b ＞0(D)中b ＞0,只有(D)符合.3、画出函数的草图∶画出二次函数y=14x 2－34x －1 的草图【方法】五点法(1)顶点(2)与x 轴两交点(3)与y 轴交点及对称点∵ y=14(x ＋1)(x －4)=14(x －32)2－2516 ∴对称轴x=32顶点坐标D(32,－2516) 交X 轴与A(－1,0)，B(4,0) 交y 轴与C(0,1) 其对称点E(3,1) 即可画出草图4、熟悉函数图像性质已知a ＜－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2 的图像上，则下列结论中正确的是（ ）（A ） y 1＜y 2＜y 3 （B ）y 1＜y 3＜y 2（C ） y 3＜y 2＜y 1 （D ）y 2＜y 1＜y 3【方法】计算求值较难 画个示意图看就很易∵a －1＜a ＜a ＋1相差一个单位画出示意图知应选(C)5、会求函数解析式:已知抛物线交x 轴与A(-2,0)、B(4,0)、顶点为(1,3),求函数的解析式。

1 二次函数专题 一、二次函数基础知识 1.二次函数的定义：如果 2(0)yaxbxca (a≠0 a、b、c是常数)，则y叫做x的二次函数。 2．二次函数的解析式：①一般式：2(0)yaxbxca，②顶点式：2()(0)yaxmna ，③交点式： 12()()(0)yaxxxxa 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形

式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： ①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求；③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点)0,(1x.)0,(2x时可利用交点式来求． 3．二次函数图象是抛物线，可用五点画图象，顶点、对称轴两边各取对称的两点，常先求出顶点坐标、与x轴交点坐标和与y轴交点坐标，再用描点法画出。 4.二次函数图象的性质： （1）开口方向：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下； a决定抛物线的大小和形状，| a |越大，开口越小； （2）顶点坐标为 ____________ （3）抛物线是轴对称图形，对称轴为 ___________ （4）增减性：若a＞0，在对称轴左侧，y随x的增大而减小（减函数）；在对称轴右侧，y随x的增大而增大（增函数）。此时，离对称轴距离越远的点，函数值_____；若a＜0，在对称轴左侧，y随x的增大而增大（增函数）；在对称轴右侧，y随x的增大而减小（减函数）。此时，离对称轴距离越远的点，函数值______； （5）最值： 若a＞0，y有最小值，当_______时，y最小值=_________ 若a＜0，y有最大值，当___________ y最大值=____________ . （6）与x轴的交点个数由△决定，当△＞0，抛物线与x轴有两个交点；当△=0，抛物线与x轴有一个交点；当△＜0，抛物线与x轴没有交点. 注：若存在一点0x，使得0()fx<0,意即△＞0 （7） 抛物线在y轴上的截距是c,即抛物线与y轴的交点坐标为(0，c). 5.二次函数图像(以a>0为例)及其与二次方程和不等式的关系 2

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.y=ax2 +c的性质：（上加下减）向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2y=a (x-h )2+k3. y = a (x - h )2的性质：（左加右减）a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴 性质a > 0向上(h ，0)X=h x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=h x > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4. y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴 性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值k ．a < 0向下(h ，k )X=h x > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )； ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减， 上加下减”．2a 方法 2：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2+ bx + c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y = ax 2+ bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2前者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭4a ，其中h = - ，k = ． 2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0，c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1 ，0)， (x 2 ，0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax2+ bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎫1. 当a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2． 4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b2. 当a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - 2a 时，y ⎝ ⎭b b 4ac - b 2随 x 的增大而增大；当 x > - 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 时， y 有最大值．2a 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2 +bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a > 0 的前提下，当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a < 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；> 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a > 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x =-b 2a是“左同右异”总结：3.常数项c在y 轴左边则ab > 0，在y 轴的右侧则ab < 0，概括的说就⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称y =ax2 +bx +c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax2 -bx -c ；y=a(x-h)2 +k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2 -k；2.关于y 轴对称y =ax2 +bx +c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =ax2 -bx +c ；y=a(x-h)2 +k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2 +k；3.关于原点对称y =ax2 +bx +c 关于原点对称后，得到的解析式是y =-ax2 +bx -c ；y=a(x-h)2 +k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)2 -k；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y =ax2+bx +c 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-ax2b2-bx +c -；2ay=a(x-h)2 +k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2 +k．5.关于点(m ，n)对称y=a(x-h)2 +k关于点(m，n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2 +2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0)，B (x ，0 ) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二121212次方程ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1 =.② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2 +m 2 -m - 2 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2 +bx - 1的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。