初三数学旋转和二次函数画图题练习

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．6、如图抛物线y=a x2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°，得到矩形DEFG （如图1）．（1）若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，平移t 秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t ＜1的条件下，连接BF ，BF 与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q ，设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1，△AQF 的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t ＜3的条件下，P 是x 轴上一点，请你探究：是否存在t 值，使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似？若存在，直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．10、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知如图，抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD .(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式；(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；(3)设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）答案1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．[解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．【解析】（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出m、n的值即可．（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．【解析】（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N 两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．【解答】（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=-12x2+2x；②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），代入解出解析式为y=-12x2-3x；③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=-12x2+3x．5、在平面直角坐标系中点A（0，2）C（4，0），AB∥x轴，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）求出点B的坐标，并求出过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）将△ABC直线AB翻折，得到△ABC1，再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度，得到△AB1C2．请求出点C2的坐标，并判断点C2是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上，请求出此时m的取值范围．【解析】（1）过C作CD⊥AB于D，根据A、C的坐标，易求得AD、CD的长，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的长（也可利用相似三角形得到），由此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上，可过C2作C2D1⊥AB1，根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长，从而求出点C2的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22)，由于此顶点在△ACB的边上或内部，因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内，然后分三种情况考虑：①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标．②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标．③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标，方法同②．结合上面四个不等关系式，即可得到m的取值范围．6、如图抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．【解析】（1）抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-a2a=-12，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；（2）因为S△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．7、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D 的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．8、在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．【解析】（1）根据旋转的知识可得AB=AF，根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形；（2）利用△AGB为直角三角形，根据勾股定理可得CG的长，也求得了G的坐标，利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式；（3）易得F坐标，利用顶点式可得经过点F，且以点B为顶点的抛物线，易得H的坐标，把横坐标代入所得函数解析式，看是否等于纵坐标即可．9、在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt △PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．【解析】（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得．②利用相似三角形的性质即可求得：过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB 于点M，要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．第10、11题答案省略。

关于图象问题1.如图，在平面直角坐标系中，点A B C P ，，，地坐标分别为(02)(32)(23)(11)，，，，，，，．（1）请在图中画出A B C '''△，使得A B C '''△与ABC △关于点P 成中心对称；（2）直接写出（1）中A B C '''△地三个顶点坐标． 解：2. 如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点B 地坐标为（4，2）．（1）画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后地11OA B △;（2）求点A 旋转到点1A 所经过地路线长．解：3．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC △三个顶点地坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴画出ABC △；⑵ 画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到地11AB C △，并求出1CC 地长..4. 如图，在由小正方形组成地12×10地网格中，点O 、M 和 四边形ABCD 地顶点都在格点上．（1）画出与四边形ABCD 关于直线CD 对称地图形；（2）平移四边形ABCD ，使其顶点B 与点M 重合，画出平移后地图形； （3）把四边形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°，画出旋转后地图形．A B D C O M· ·· · · ·5.. （本题6分）请在右侧网格图中画出所给图形绕点O 顺时针依次旋转90°、180°、270°后所成地图形.（注意：有阴影部分图形旋转后地对应图形要涂上阴影,不要求写画法）6已知二次函数y=x 2＋4x+3.（1）用配方法将y=x 2 ＋4x+3化成y=a (x-h) 2+k （2（3）写出当x 为何值时，y>0． 解：7．（本小题5分）已知二次函数y= x 2 －4x ＋3．（1）用配方法将y= x 2 －4x ＋3化成y=a(x －h) 2 ＋k 地形式； （2）在所给地平面直角坐标系中，画出这个二次函数地图象； （3）根据图象回答：当自变量x 地取值范围满足什么条件时，y ＜0？8.（本小题满分5分）已知抛物线4)1(21-+++=m x m x y 与x对称轴为x =－1． （1）求m 地值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线b kx y +=2过点B P （－2m ，－3m ），根据图象回答：当x 取 什么值时，1y ≥2y .（第16题）答案1.（1）A B C '''△如图所示．…………………………..2分（2）由（1）知，点A B C '''，，地坐标分别为(20)(10)(01)--，，，，，2、解：（1）（2）点A 旋转到点1A 所经过地路线长为2441⨯π=4π3．解：⑴如图所示，ABC △即为所求.…1分⑵如图所示，11AB C △即为所求.…3分分5101 =CC4.略 5略6．解：（1）342++=x x y 1442-++=x x 1)2(2-+=x .（2）列表：x … －4 －3 －2 －1 0 … y… 3 0 －13…图象见图1.（3）x ＜－3或x >－1.解：(1) y= x 2 －4x ＋3= x 2 －4x ＋4－4＋3 = (x －2) 2 －1． (2) 如右图所示，画图正确(3) 当1＜x ＜3时，y ＜0．21.（本小题满分5分） 解：（1）由题意，有121-=+-m ，解得m ＝1.……………………………………………………………2分 （2）如图1；…………………3分图1图2（3）如图2，x ≤－2或x ≥1.BP A图1版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

二次函数图象变换综合习题一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【习题分类】一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】 如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c=++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D 【例12】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，．⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的 顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例13】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例14】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例15】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++【例16】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例17】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例18】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例19】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例20】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．。

旋转证明题练习1.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF=MF；（2）当AE=1时，求EF的长．2.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．3.如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，与BC交于点D，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，连接BB′，求线段BB′的长度．1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；2.如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B 的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？3.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？。

初三数学旋转作图练习题旋转作图是初三数学中的重要内容之一，通过练习旋转作图题目，可以帮助学生更好地理解几何形体的属性及变换规律。

下面，我将为你分享一些初三数学旋转作图练习题，并带你逐步解答。

1. 练习题一：将△ABC绕点O逆时针旋转60°，得到△A'B'C'，若A(-2,3)，B(0,5)，C(2,3)，求A'、B'和C'的坐标。

解答：首先，我们需要先求出旋转的中心点O的坐标。

根据题目中的要求，O为坐标平面上的一个点，但并未给出具体坐标，因此我们需要进行求解。

由于O为△ABC的重心，可以用顶点坐标的平均值来表示，所以O的横坐标为(-2+0+2)/3=0，纵坐标为(3+5+3)/3=11/3。

接下来，我们可以使用旋转公式来求出旋转后的点的坐标。

设△ABC绕点O逆时针旋转θ度后的点为A''、B''和C''，则有以下公式：A''(x,y) = ((x'-h)cosθ - (y'-k)sinθ + h, (x'-h)sinθ + (y'-k)cosθ + k)其中，(x,y)为旋转后的点的坐标，(x',y')为原始点的坐标，(h,k)为旋转中心点的坐标，θ为旋转角度。

代入已知数据，可得：A'(-2,3) → A''(x,y)B(0,5) → B''(x',y')C(2,3) → C''(x',y')O(0,11/3) → (h,k)θ = 60°将以上数据代入旋转公式，计算得出：A'' = (-2-0)cos60° - (3-(11/3))sin60° + 0 ≈ -3.732(-2-0)sin60° + (3-(11/3))cos60° + (11/3) ≈ 3.732B'' = (0-0)cos60° - (5-(11/3))si n60° + 0 ≈ -1.732(0-0)sin60° + (5-(11/3))cos60° + (11/3) ≈ 5.732C'' = (2-0)cos60° - (3-(11/3))sin60° + 0 ≈ 1.732(2-0)sin60° + (3-(11/3))cos60° + (11/3) ≈ 3.732因此，A' ≈ (-3.732, 3.732)，B' ≈ (-1.732, 5.732)，C' ≈ (1.732, 3.732)。

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+k a、h不变，h变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线21(0)y ax bx aa=+-<与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；（3）已知点11(,2Pa-，(2,2)Q，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m 的值．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y 时，直接写出自变量x 的取值范围．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x - 时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x 时，y 的最小值为5，求m 的值．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x -时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q 的坐标．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标：若不存在，请说明理由．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =--的顶点为A ，与y 轴交于点C ，线段//CB x 轴，交该抛物线于另一点B ．（1）求点B 的坐标及直线AC 的解析式；（2）当二次函数223y x x =--的自变量x 满足1m x m + 时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=．求m 的值；（3）平移抛物线223y x x =--，使其（备用图）顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n 的取值范围．21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数2(y x bx c b =-++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A ，点(0,4)C ，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围．22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax =-+交x 轴于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A 坐标为(1,0)-．（1）求抛物线解析式及其顶点坐标．（2）若将抛物线向右平移m 个单位，得新抛物线“V ”，若“V ”与坐标轴仅有两个交点，求m 值．（3）若点M 为线段AB 上一动点，过点M 作y 轴平行线，该平行线与“V ”交点为N ，请直接写出点N 的纵坐标N y 的取值范围．23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线2:4L y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．将抛物线L 向右平移一个单位得到抛物线L '．（1）求抛物线L 与L '的函数解析式；（2）连接AC ，探究抛物线L '的对称轴上是否存在点P ，使得以点A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数中的翻折问题24．（2024•江西模拟）已知二次函数265(0)y kx kx k k =-+>经过A ，B 两定点（点A 在点B 的左侧），顶点为P ．（1）求定点A ，B 的坐标；（2）把二次函数265y kx kx k =-+的图象在直线AB 下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线AB 上方的部分的组合图象记作图象W ，求向上翻折部分的函数解析式；（3）在（2）中，已知ABP ∆的面积为8．①当14x 时，求图象W 中y 的取值范围；②若直线y m =与图象W 从左到右依次交于C ，D ，E ，F 四点，若CD DE EF ==，求m 的值．25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的式子表示）；（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当31x -- 时，这个新函数G 的函数值y 随x 的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围；（3）已知直线:1l y =，点C 在二次函数2229y x mx m =-+-+的图象上，点C 的横坐标为2m ，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象在C 、B 之间的部分记为M （包括点C ，)B ，图象M 上恰有一个点到直线l 的距离为2，直接写出m 的取值范围．26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点(0M ，)(3)m m - ，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A 、B 两点(B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）当1m =时，求点D 的坐标；（2）连接BC 、CD 、DB ，若BCD ∆为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若BCD ∆的面积为3，E 、F 两点分别在边BC 、CD 上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．27．（2024•盐城模拟）已知抛物线2(31)2(y ax a x a =---为常数且0)a ≠与y 轴交于点A ．（1）点A 的坐标为；对称轴为（用含a 的代数式表示）；（2）无论a 取何值，抛物线都过定点B （与点A 不重合），则点B 的坐标为；（3）若0a <，且自变量x 满足13x - 时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A 与点B 之间的函数图象记作图象M （包含点A 、)B ，若将M 在直线2y =-下方的部分保持不变，上方的部分沿直线2y =-进行翻折，可以得到新的函数图象1M ，若图象1M 上仅存在两个点到直线6y =-的距离为2，求a 的值．28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A ，(5,0)B ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）如图，把原抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x 轴上方的部分记作图形M ，在图形M 中，回答：①点A ，B 之间的函数图象所对应的函数解析式为2(3)4y x =--+(15)x ；②当342x 时，求y 的取值范围；③当2m x m + ，且32m >时，若最高点与最低点的纵坐标的差为154，直接写出m 的值．29．（2023•余江区一模）已知抛物线21:23(0)C y ax ax a =--≠（1）当1a =时，①抛物线1C 的顶点坐标为．②将抛物线1C 沿x 轴翻折得到抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式为．（2）无论a 为何值，直线y m =与抛物线1C 相交所得的线段EF （点E 在点F 左侧）的长度都不变，求m 的值和EF 的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线1C 沿直线y m =翻折，得到抛物线3C ，抛物线1C ，3C 的顶点分别记为P ，Q ，是否存在实数a ，使得以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a 的值：若不存在，请说明理由．30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数2y x bx m =++图象的对称轴为直线2x =，将二次函数2y x bx m =++图象中y 轴左侧部分沿x 轴翻折，保留其他部分得到新的图象C ．（1）求b 的值；（2）①当0m <时，图C 与x 轴交于点M ，(N M 在N 的左侧），与y 轴交于点P ．当MNP ∆为直角三角形时，求m 的值；②在①的条件下，当图象C 中40y -< 时，结合图象求x 的取值范围；（3）已知两点(1,1)A --，(5,1)B -，当线段AB 与图象C 恰有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．题型三：二次函数对称问题31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线2:3L y ax bx =++经过(1,0)A -，(5,3)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线L 的表达式；（2）抛物线L '与抛物线L 关于直线BC 对称，P 是抛物线L 的x 轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线L '于点Q ，点P 、Q 关于抛物线L 的对称轴对称的点分别为M 、N ．试探究是否存在一点P ，使得四边形PQNM 为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数21441y ax ax a =++-的图象是M ．（1）求M 关于点(1,0)R 成中心对称的图象N 的解析式2y ；（2）当25x 时，2y 的最大值为5，求a 的值．33．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于(2,0)A ，(4,0)B -，与y 轴交于(0,4)C ，连接AC ，作直线BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知直线BC 上方抛物线上有一动点P ，过点P 作//PM x 轴交BC 于M ，过M 作//MN y 轴交x 轴于N ，求PM MN +的最大值和此时P 点坐标；（3）将原抛物线沿CB 方向平移个单位长度得到新抛物线，已知D 点是新抛物线上一动点，且DBC OAC BCO ∠=∠+∠，求所有符合条件的点D 的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点1(,)x y 、2(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数，例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数．（1）判断：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是（填序号）；（2）若132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数．求k 、b 的值．（3）若21(0)y ax bx c a =++≠和22y x n =+为关于y x =的对称函数，令21w y y =-，当函数w 与函数(02)y x x = 有且只有一个交点时，求n 的取值范围．35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线21:3C y ax bx =+-与x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）已知抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，过点C 作//CD x 轴交抛物线1C 于点D ，P 是抛物线2C 上的一个动点，连接PB 、PC 、BC 、BD ．若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标．36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点M在y轴负半轴上的抛物线与直线2y x=+相交于点(2,0)A-，(4,6)B，连接AM，BM．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P，使得118ABP ABMS S∆∆=若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数中的旋转问题37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的解析式及顶点P 坐标；（2）将该二次函数绕点(4,0)旋转180︒，求旋转后的二次函数解析式；（3）设旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交点为D ，顺次连接A 、P 、D 、Q ，求四边形APDQ 的面积．38．（2023•郏县一模）如图，直线24y x =--与x 轴交于点A ，抛物线2421y ax x a =+++经过点(1,8)，与x 轴的一个交点为(B B 在A 的左侧），过点B 作BC 垂直x 轴交直线于C ．（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点B 、C 的对应点分别为点E 、F ．将抛物线2421y ax x a =+++沿x 轴向右平移使它过点F ，求平移后所得抛物线的解析式．39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式及顶点P 的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180︒．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交于点D ，顺次连接A ，P ，D ，Q ，求四边形APDQ 的面积．40．（2023•长春模拟）如图，直线122y x =-与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．抛物线214y x bx c =++经过点A ，点B ，并与x 轴有另一交点C ．（1）依题，点A 的坐标是，点B 的坐标是．（2）求抛物线的解析式．（3）在直线AB 下方的抛物线上有一点D ，求四边形ADBC 面积的最大值．（4）在x 轴上有一个动点(,0)P m ，将线段OA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段MN ．直接写出线段MN 与抛物线只有一个公共点时m 的取值范围．题型五：二次函数中的几何变换41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数21y ax bx c =++的系数调换位置变成新的二次函数22y cx bx a =-+，且0b ≠，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”，根据这个规定，解答下列问题：（1）若二次函数21325y x x =+-，则它的“对调函数”是2y =，且此“对调函数”与y 轴的交点是；（2）若k 、m 为非零实数，二次函数213y x kx m =++经过两个不同的点(,)A k h 与点(,)B m h ，请求出“对调函数”2y 的对称轴；（3）在（2）中，“对调函数”2y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过，请说明理由．。

旋转、二次函数综合练习1.如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2把二次函数215322y x x =++的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，所得的函数图象顶点为（ ）A . (2, -4)B . (-4, -4)C . (-4, 0)D . (-2, -4)3.将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位，向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )A.()22-=x y B.()622+-x C.62+=x y D.2x y =4.抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（）A ．（2，－3） B. （－2，3） C. （2，3） D. （－2，－3）5.已知二次函数y=2(x +1)(x －a )，其中a >0，若当x ≤2时，y 随x 增大而减小，当x ≥2时y 随x 增大而增大，则a 的值是（） A. 3B. 5C. 7D. 不确定6.已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（）7.已知: 函数y = kx 2 - 7x - 7与直线y =x -1有交点, 则 k 的取值范围是 ( )A .38->kB . 38->k 且 k ≠ 0C . 38-≥kD . 38-≥k 且 k ≠ 08.某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，列方程为( ) A.()200210030-=-x x B.()200302100=--x x x C.()200210030=-x D. ()()200210030=--x x9. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点P 在BC 边上运动，连接DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂与大A.B. C. D. 10．如图是二次函数y =ax 2+bx +c ( a ≠ 0 )在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①b > 0；② a −b +c < 0；③ 2a +b > 0； ④ b 2+8a > 4ac 中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ③④D.第10题图第9题图11.如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ,EF 交CD 于点F ．设BE =x ,FC =y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（）12.函数c bx ax y ++=2与y x =的图象如图所示，有以下结论：①042>-ac b ；②1=++c b a ；③360b c ++=； ④当13x <<时，a 2(1)0x b x c +-+<； 其中正确的个数是：（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413.抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）．A ．0B ． 2C ．−1D ．1414．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．15.已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的解是,3,521-==x x 那么抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点的坐标分别是 ______________．16.已知二次函数()1322+-=x y ．当 时，y 随x 的增大而减小．17.函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．18.已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<； （2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<19.在平面直角坐标系xoy 中，直线x = 2和抛物线2ax y =在第一象限交于点A ，过A 作AB x ⊥轴于点B .如果a 取1，2，3，…，n 时对应的△AOB 的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S ，那么=1S _____；=++++n S S S S ...321_____________．20.已知221(1)(3)mm y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：（1）求出二次函数的解析式；（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________xOy21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(-1，-1)．(1) 把△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB1C1，画出△AB1C1的图形并直接写出点B1的坐标为；(2) 在现有坐标系下．．．．．．．把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1 : 2，画出△AB2C2．22.在二次函数2(0)=++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：y ax bx c a（1）求这个二次函数的解析式；（2）当自变量x满足什么条件时，0y<？解：. 23.已知:二次函数y=ax2+bx+c，y与x的一些对应值如下表：（1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为；（2）填齐表格中空白处的对应值并利用上表，用五点作图法，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象.（3）当1 < x≤ 4时，y的取值范围是;（4）设y =ax2 + bx + c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P点为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连结PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．24.在2014年“元旦”前夕，某商场试销一种成本为30元的文化衫，经试销发现，若每件按34元的价格销售，每天能卖出36件；若每件按39元的价格销售，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）是销售价格x (元)的一次函数．（1）直接写出．．．．y 与x 之间的函数关系式y = ．（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，每件的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？ （2）解：25.如图，二次函数21y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为(0,3) ，一次函数2y mx n =+的图象 过点A 、C ．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的另一个交点A 的坐标； （3）根据图象写出21<y y 时，x 的取值范围．26.（1）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，2）.在x 轴上任取一点M ，完成下列作图步骤： ①连接AM ，作线段AM 的垂直平分线l 1，过M 作x 轴的垂线l 2,记l 1，l 2的交点为P.②在x 轴上多次改变点M 的位置，用①的方法得到相应的点P ，把这些点用平滑的曲线连接起来.观察画出的曲线L ，猜想它是我们学过的哪种曲线.（2）对于曲线L 上任意一点P ，线段PA 与PM 有什么关系？设点P 的坐标为（,)x y ，你能由PA 与PM 的关系得到,x y 满足的关系式吗？你能由此确定曲线L 是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？27.已知：抛物线y =22(1)2(0)ax a x a a --+->． （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴有两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．28.已知： 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2−bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证： 关于x 的一元二次方程ax 2−bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根．29. 已知关于x 的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将(2)中求得的抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象.如果新图象与直线m x y +=有且只有两个公共点，求m 的取值范围． 解：30. 已知点)2,2(-A 和点),4(n B -在抛物线)0(2≠=a ax y 上. （1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点P 在x 轴上，且满足△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标； （3）若左右平移抛物线)0(2≠=a ax y ，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B . 点M （-2,0）在x 轴上，当抛物线平移到某个位置时，''MB M A +取得最小值，求此时抛物线的函数解析式.解：31.在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是直线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'.（1）如图1，∠AEE' = °（直接写出答案）；（2）将直线AE再绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M.①若点E在线段CD上，如图2，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系，并说明理由；②若点E在线段CD的延长线上，请直接写出线段DE、BF、ME之间的数量关系.E'MFEDC BAE'EDCBA图1图2解：（2）①B备用图②32.对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C=度，∠D=度．（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD”中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．33如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线y m =与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高.（1）抛物线212y x =对应的碟宽为____；抛物线24y x =对应的碟宽为_____；抛物线2y ax =（a>0）对应的碟宽为____；抛物线2(2)3(0)y a x a =-+>对应的碟宽____；（2）若抛物线254(0)3y ax ax a =-->对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线2(0)n n n n n y a x b x c a =++>的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…），定义F 1，F 2，…..F n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比.若F n 与F n-1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1.①求抛物线y 2的表达式；② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.11二次函数的图形与性质大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·九年级阶段练习）已知二次函数y=−1x2−2x+3．2(1)将该二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)指出该二次函数的图像的顶点坐标；(3)当−3＜x＜0时，直接写出y的取值范围2．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，抛物线y=x2+x−2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C．(1)结合函数图像，当−2<x<4时，直接写出y的取值范围______．(2)若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．3．（2022·江苏泰州·九年级期末）已知抛物线y=x2−2mx+m2−m+1，其中m是常数，点P是抛物线的顶点．(1)求点P的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若抛物线上有且只有两个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．2(3)当抛物线的顶点在第一象限时，在抛物线上有两点E(a，y1)，F(a＋3，y2)，且y1< y2，求a的取值范围．4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y1＝ax2+bx+c．(1)若二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定点D（2，2）是否在二次函数y1的图象上；(2)一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点．①求二次函数y1的对称轴；②当b＜0，1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．5．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N （x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2．(1)用含a的代数式表示b；(2)当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值；(3)当y1＜y2时，求a的取值范围．6．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（－2，3）．(1)求该二次函数的表达式；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(3)结合图像，直接写出当y＞3时，x的取值范围是．7．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梦想点”．(1)若点P（2，p）是二次函数y=x2＋mx＋n的图象上唯一的“梦想点”，求这个二次函数的解析式；(2)设函数y＝3（x＞0），y＝﹣x＋b的图象的“梦想点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当x△ABC的面积为3时，求b的值；(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦想点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t=b2−2b，直接写出t的取值范围．8．（2020·江苏徐州·九年级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y=x−2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像y=a x2+bx+c(a>0)经过点A、B．(1)求a、b满足的关系式及c的值；(2)如果a=1，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使DE=PE．①求点P的坐标；②若直线PD上是否存在点Q，使△ABQ为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·江苏南通·九年级期末）定义：A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是二次函数y=a x2+bx+c(m≤x≤n)图象上任意三个不重合的点，若满足y1，y2，y3中任意两数之和大于第三个数，任意两数之差小于第三个数，且y1，y2，y3都大于0，则称函数y=a x2+bx+c是m≤x≤n上的“仿三角形函数”．(1)①函数y=x2(1≤x≤2)的最小值是m，最大值是n，则2m______n（填写“>”，“<”或“=”）；②函数y=x2______1≤x≤2上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”）(2)若二次函数y=a x2−2ax+3是1≤x≤2上的“仿三角形函数”，求a的取值范围；(3)若函数y=x2−2mx在1≤x≤3上是“仿三角形函数”，求m的取值范围．210．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数y=2x2−4x+3的图像为抛物线C．(1)抛物线C顶点坐标为______；(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P(2,3)，并说明理由；(3)当−2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．11．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校九年级阶段练习）已知二次函数y=x2+2x−3．(1)用配方法把这个二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当−4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．12．（2021·江苏省南京市浦口区第三中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2－2mx+2m2－1(m为常数）．（1）若该函数图像与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）将该函数图像沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图像．①新函数的表达式为________________________，并证明新函数图像始终经过一个定点；②已知点A（－2，－1）、B（2，－1），若新函数图像与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．13．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线y=2x2−4x−6与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．14．（2021·江苏·九年级）已知二次函数y=x2+bx−c图象通过两点P(1,a),Q(2,10a)．（1）如果a，b，c是整数，且c<b<8a，求a，b，c值．（2）设二次函数y=x2+bx−c图象和x轴交点为A、B，和y轴交点为C．如果有关x方程x2+bx−c=0两个根都是整数，求△ABC面积．15．（2021·江苏·九年级）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x−1，判断下列抛物线②y=−x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线C1:y=1(x+1)2−2，动点P的坐标为(t,2)，将抛物线绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C2，若抛8物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．（3）点A为抛物线C1:y=1(x+1)2−2的顶点，点B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜8边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．17．（2021·江苏扬州·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1（1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是 ；（2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为 ；（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．18．（2021·江苏·景山中学九年级期中）若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”．（1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=a x2+bx+1，其中y1的图像经过点A(1,1)，若y1+y2与y1为“和谐二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的取值范围．19．（2022·北京市第三中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1．(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；(3)直线y=x+b与x轴交于点A(−3，0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2−1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．20．（2022·福建·上杭县教师进修学校九年级期中）已知：抛物线y=a x2−bx(1)若此抛物线与直线y=x只有一个公共点且经过点(2,0)．①求此抛物线的解析式；②以y轴上的点C(0,−2)为中心，作该抛物线关于点C对称的抛物线y′，若这两条抛物线交于A，B（点A在点B的右侧），求线段AB的长；(2)设定a>0，将此抛物线向上平移c个单位（c>0），此时与x轴交于点(c,0)，若当0<x<c时，y>0，求证：ac≤1．21．（2022·浙江·杭州启正中学九年级期中）已知二次函数y=1(x−2m)2+3−4m（m是实数）．4(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点P(a−5,t)，Q(4m+3+a,t)都在该二次函数图象上，求证：t≥7．22．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y =x +1，其“青一点”为(1,2)．(1)①判断：函数y =2x +3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y =8x 的图像上的青一点是 ；(2)若抛物线y =(m−1)x 2+mx +14m 上有两个“青一点”，求m 的取值范围；(3)若函数y =x 2+(m−k +2)x +n 4−k 2的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当−1≤m ≤3时，n 的最小值为k ，求k 的值．23．（2022·北京市西城外国语学校九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a x 2−2ax +2(a <0)与y 轴交于点A ．(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)当0≤x ≤3时，y 的最大值是3，求当0≤x ≤3时，y 的最小值；(3)抛物线上的两点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，若对于t <x 1<t +1，t +2<x 2<t +3，都有y 1≠y 2，直接写出t 的取值的范围．24．（2022·浙江·信达外国语学校九年级阶段练习）在直角坐标系中，设函数y =(x−m )(x−n )（m 、n 是实数）.(1)当m =1时，若该函数的图象经过点(2,6)，求函数表达式.(2)若n =m−1，且当x⩽−2时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围.(3)若该函数图象经过(0,a )，(3,b )两点（a 、b 是实数）当2⩽m <n⩽3时，求ab 的取值范围.25．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，函数F 1和F 2的图象关于原点对称．(1)函数F 1为y =x +1，F 2的解析式为________；(2)函数F 1为y =a x 2+bx +c （a ≠0），F 2的解析式为_______；(3)函数F1为y=m x2−4mx−5．①已知A(0,3)、B(−3,3)，F2与线段AB有一个交点，求m的取值范围；②若m>0，当m−4≤x≤m−3时，设函数F2的最大值与最小值的差为ℎ，求ℎ关于m的函数解析式；并直接写出自变量m的取值范围．26．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）在y关于x的函数中，对于实数m，n(m>n)，当n≤x≤m时，函数y有最小值y min，满足y min=12(m−n)，则称函数为“青一函数”．(1)当n=2，m=4时，下列函数____（填序号）为“青一函数”．①y=x；②y=2x−3；③y=−12x+3．(2)当m=3n时，二次函数y=x2−2nx+2为“青一函数”，求实数n的值；(3)已知二次函数y=x2−mx+n2−n−3是“青一函数”，且y有最小值1，求实数n的值．27．（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）．(1)若a＝1，①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标；②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围；③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n．(2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范围．28．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）已知二次函数解析式为y=1a x2−a2ax−1(a≠0)，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D 的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．(1)求点D的纵坐标．(2)当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．(3)当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．(4)设点R(a−3,−1)，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解29．（2022·广东·珠海市紫荆中学桃园校区三模）直线y=−12析式为y=2x2−4ax+2a2+a．(1)求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；(2)若函数y=2x2−4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；(3)取a=−1，将线段AB平移得到线段A′B′，若抛物线y=2x2−4ax+2a2+a与线段A′B′有两个交点，求直线A′B′与y轴交点的纵坐标的取值范围．30．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−ax+a（a为常数）的顶点为A，与y轴交于点B．(1)点A的坐标是，点B的坐标是．（均用含a的式子表示）(2)若点A在第三象限，且此抛物线对应的函数值y的最小值为-3时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．(3)点C在抛物线y=x2−ax+a（a为常数）上，且点C的横坐标为a−1，此抛物线在B、C之间的部分（包括B、C两点）记为图象G．①当a=4时，若直线y=m与图象G有且只有一个公共点时，求m的取值范围．②当a<0时，以点B为对称中心作边长为4的正方形PQMN，该正方形的边均与某坐标轴垂直．当图象G时，直接写出a的值．在正方形内部（包括边界）部分对应的函数值的最大值与最小值的差为32。

专题32 二次函数与旋转问题1．（2021—2022辽宁千山九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和(1,0)C ，交y 轴于点(0,3)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ． （1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接,AE BE ''，求13BE AE '+'的最小值； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2（3）存在，N 1-，2．【分析】 （1）根据待定系数法即可求出解析式；（2）先取OE 的三等分点D ，得出DE '=13AE '，当B ，E '，D 三点共线时即为最小值； （3）先设出点N 的坐标，根据矩形的性质列出关于N 点坐标的方程组，即可求出N 点的坐标．【详解】解：（1）把C （1，0），B （0，3）代入y =-x 2+bx +c 中，得：103b c c -++⎧⎨⎩＝＝， ∴b =-2，c =3，∴y =-x 2-2x +3，（2）在OE 上取一点D ，使得OD =13OE ， 连接DE '，BD ，∵OD ＝13OE ＝13OE ′，对称轴x =-1， ∴E （-1，0），OE =1，∴OE '=OE =1，OA =3， ∴13OE OD OA OE ='='， 又∵∠DOE '=∠E 'OA ，△DOE '∽△E 'OA ，∴DE ′＝13AE ′， ∴BE ′+13AE ′＝BE ′+DE ′， 当B ，E '，D 三点共线时，BE ′+DE ′最小为BD ，BD ===∴BE ′+13AE ′； （3）存在，∵A （-3，0），B （0，3），设N （n ，-n 2-2n +3），则AB 2=18，AN 2=（n 2+2n -3）2+（n +3）2，BN 2=n 2+（n 2+2n ）2，∵以点A ，B ，M ，N 为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN 是直角三角形，若AB 是斜边，则AB 2=AN 2+BN 2，即18=（n 2+2n -3）2+（n +3）2+n 2+（n 2+2n ）2，解得：12n n ==，∴N 若AN 是斜边，则AN 2=AB 2+BN 2，即（n 2+2n -3）2+（n +3）2=18+n 2+（n 2+2n ）2，解得n =0（与点B 重合，舍去）或n =-1，∴N 的横坐标是-1，若BN 是斜边，则BN 2=AB 2+AN 2，即n 2+（n 2+2n ）2=18+（n 2+2n -3）2+（n +3）2，解得n =-3（与点B 重合，舍去）或n =2，∴N 的横坐标为2，综上N -1，2． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质． 2．（2021—2022辽宁连山九年级期中）如图，在半面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(4,0)-，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 为抛物线上AC 上方的一个动点，过点D 作DE y ∥轴，交AC 于点E ，过D 作DF DE ⊥，交直线AC 于点F ，以DE 、DF 为边作矩形DEGF ，设矩形DEGF 的周长为l ，求l 的最大值；（3）点P 是x 轴上一动点，将线段PC 绕点P 旋转90︒得到PQ ，当点Q 刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =--+；（2）l 的最大值为12；（3）1Q ⎝⎭，2Q ⎝⎭，3Q ⎝⎭，4Q ⎝⎭【分析】（1）将(4,0)(0,2)A C -、代入212y x bx c =-++求解即可得出答案； （2）由待定系数法求出直线AC 解析式，设点D 的横坐标为t ，即可表示出D 、E 、F 三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；（3）分两种情况：当逆时针旋转90︒落在抛物线上和顺时针旋转90︒落在抛物线上，求出Q 点所在直线，与二次函数联立即可求出Q 的坐标．【详解】（1）将(4,0)(0,2)A C -、代入212y x bx c =-++得： 1164022b c c ⎧-⨯-+=⎪⎨⎪=⎩， 解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =--+； （2）设直线AC 解析式为y kx b '=+，将(4,0)(0,2)A C -、代入得：1,22k b ='=， ∴直线AC 解析式为122y x =+， 设点D 的横坐标为t ， 则有213,222D t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，1,22E t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵DF DE ⊥，∴DE y ∥轴，∴DF x ∥轴，∴D ，F 的纵坐标相同， ∴22133,222F t t t t ⎛⎫----+ ⎪⎝⎭， ∴2213112222222DE t t t t t ⎛⎫=--+-+=-- ⎪⎝⎭，2234DF t t t t t =---=--， ∴矩形DEGF 的周长为222()3123(2)12l DE DF t t t =+=--=-++，∴当2t =-时，l 的最大值为12；（3）当逆时针旋转90︒落在抛物线上时，如下图：设(,)Q x y ，(,0)P m ，2x m y m =-⎧∴⎨=-⎩， 2x y ∴+=-，即Q 在2y x =--上，2132222y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=--⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1Q ∴⎝⎭，2Q ⎝⎭， 当顺时针旋转90︒落在抛物线上时，如下图：2x m y m =+⎧⎨=⎩， 2y x ∴=-，即Q 在2y x =-上，2132222y x x y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3Q ∴⎝⎭，4Q ⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式以及矩形的性质是解题的关键．3．（2021—2022湖南长沙市九年级阶段练习）如图1，抛物线2224y mx mx m =--（0m >）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若tan ∠BCO ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ ⊥x 轴于点Q ，连接P A ，当△APQ 与△BOC 相似时，求点P 的坐标；（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P A 与y 轴交于点E ，且OE ＜OB ，连接BE ，以BE 为直径画圆交抛物线于点D ，连接DB 、DE ．①直接写出点D 的坐标；②作DF 平分∠BDE 交BE 于点F ，过点F 作直线l 与射线DB 、DE 分别交于点M 、N，当直线l 绕点F 旋转时，试判断11DM DN+的值是否变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()6,0；（2）点P 的坐标为()10,7或()22,52；（3）①()4,2-；②不变，11DM DN +=【解析】【分析】（1）令2224y mx mx m =--=0，解方程即可求得两点A 与B 的坐标；（2）由tan ∠BCO ＝2可求得m 的值；分两种情况：△APQ ∽△BCO ，可得AQ =2PQ ；△APQ ∽△CBO ，PQ =2AQ ；设点P 的坐标，根据线段AQ 与PQ 的关系，即可求得点P 的坐标； （3）①可求得直线PE 的解析式，从而求得点E 的坐标；设D (,)a b ，BE 的中点为G ，连接GD ，则由圆的性质可得GD =12BE ，由此可得a 与b 的关系，再由点D 在抛物线上，解方程可求得a 的值，从而求得点D 的坐标；②先求得直线BE 、DB 的解析式，设DB 与y 轴的交点为S ，由题意易得DF 垂直于x 轴，故可求得点F 的坐标，设过点F 的直线MN 的解析式为y =kx +c ，其中k ≠0，进而可求得MN 的解析式；再用待定系数法求出直线DE 的解析式，则可分别求得直线MN 与直线DE 、直线DB 的交点的横坐标；过点D 作y 轴的垂线与过点N 的垂直于x 轴的直线交于点K ，则△DNK 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的垂线交DF 的延长线于点H ，则△DMH 为等腰直角三角形，因此可用k 分别表示DN 、DM 的长，并代入11DM DN+中即可求得结果为定值． 【详解】（1）令0y =，则20224mx mx m =--，解得6x =或－4．∴点A 的坐标为()4,0-，点B 的坐标为()6,0B（2）∵tan ∠BCO ＝2 ∴2OB OC =即OB =2OC ∵点B 的坐标为()6,0B ，点A 坐标为(−4，0)∴OB =6，OA =4∴OC =3即点C 的坐标为(0，−3)把点C 坐标代入抛物线解析式中得：−24m =−3 ∴18m =故函数解析式为211384y x x =-- 设点P 的坐标为(p ，q )，且点P 在第一象限，则p >0，q >0∴OQ =p ，PQ =q则AQ =OQ +OA =p +4若△APQ ∽△BCO ，则2AQ OB PQ OC==，即AQ =2PQ ∴p +4=2q ∴122q p =+ 即点P 坐标为1,22p p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭由点P 在抛物线上，则有211132842p p p --=+ 解得：110p =，24p =-（舍去） 则110272q =⨯+= 即点P 的坐标为(10，7)若△APQ ∽△CBO ，则2PQ OB AQ OC==，即PQ =2AQ ∴q =2(p +4)即点P 坐标为(p ，2(p +4))由点P 在抛物线上，则有21132(4)84p p p --=+ 解得：122p =，24p =-（舍去）则2(224)52q =⨯+=即点P 的坐标为(22，52)综上所述，点P 的坐标为()10,7或()22,52（3）①由题意OE <OB ，则点P 的坐标只能为(10，7)，由待定系数法可求得直线P A 的解析式为：122y x =+，则点E 的坐标为(0，2)，OE =2 设D (,)a b ，BE 的中点为G ，连接GD ，则12GD BE =则点G 的坐标为(3，1)，由勾股定理得BE∴GD = 即GD 2=10∴22(3)(1)10a b -+-=即(6)(2)0a a b b -+-=由点D 在抛物线上，则有21113(6)(4)848b a a a a =--=-+ ∴2111(6)(6)(4)(5)0884a a a a a a -+-+--= ∵a ≠6 ∴2111(4)(5)0884a a a a ++--= 整理得：322161600ab b ++-=即2(4)(640)0a a a -++=∵22640(3)310a a a ++=++>∴a −4=0∴a =4此时b =−2∴点D 的坐标为()4,2-② 不变由待定系数法可得直线BE 的解析式为123y x =-+，直线DB 的解析式为y =x −6，而当x =0时，y =−6，即直线DB 与y 轴的交点S 的坐标为(0，−6)，所以OS =OB =6∴∠OBD =45゜∵DF 平分∠BDE∴∠BDF =EDF =45゜∴∠OBD =∠BDF =45゜∴DF ⊥x 轴∴点F 的坐标为243⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过点F 的直线MN 的解析式为y =kx +c ，其中k ≠0，把点F 的坐标代入得：243c k =- ∴243y kx k =+- 由待定系数法得直线DE 的解析式为2y x =-+ 解方程组2436y kx k y x ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，可得12203(1)M k x k -=-，此即为点M 的横坐标； 同理可求得点N 的横坐标为1243(1)N k x k +=+ 过点D 作y 轴的垂线与过点N 的垂直于x 轴的直线交于点K ，则△DNK 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的垂线交DF 的延长线于点H ，则△DMH 为等腰直角三角形∴)N DN x -=，4)M DM x =-=∴11DM DN +==∴11DM DN +=．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数与一元二次方程的关系，圆的有关性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，综合性强，运算量大，有技巧性，涉及的知识点多，关键和难点是灵活运用这些知识，深挖题目中的隐含条件，达到简便．4．（2021·江苏宜兴市中考二模）抛物线2132y x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，线段AC 的中点为点D ．将ACO △绕着点A 逆时针旋转，点O 的对应点为1O ，点C 的对应点为1C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）当旋转至13OO =时，求此时C 、1C 两点间的距离；（3）点P 是线段OC 上的动点，旋转后的对应点为1P ，当1O 恰巧落在AC 边上时，连接1AP ，1PO ，试求11AP PO +最小时点P 的坐标；（4）连接1DC ，1DO ，则在旋转过程中，11DC O △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．【答案】（1）A （0）、B （0）、C （0，3）；（2）6；（3）P （0，1）；（4） 【解析】 【分析】（1）令y =0建立一元二次方程，求其根即得到A ，B 的横坐标，令x =0，得到y 值即得到点C 的坐标；（2）分两种情形计算即可，注意三角形全等和三点共线原理的运用；（3）利用旋转的全等性，把线段和的最小值问题转化为将军饮马河问题，利用函数的解析式确定坐标即可；（4）根据旋转的全等性质，得到OC =11O C =3，直角三角形的性质AD =DO =AOO 在以A DO 是圆的直径时，三角形面积最大． 【详解】（1）∵2132y x x =-+，令y =0得213=02x -++，解得12x == ∵点A 在点B 的左侧，∴A （0）、B （0）； 令x =0，得到y =3， ∴点C 的坐标（0，3）；（2）当点C '落在x 轴的负半轴上时，∵A （0）,C （0，3）,∴OA OC =3，∴tan ∠ACO =OA OC =∴∠ACO =30°，∠OAC =60°，根据旋转的性质，得∠O 'C 'A =30°，∠O ' A C ' =60°， ∵O ' A =OA ，∴∠A O 'O =∠A O O '= 30°， ∴∠O 'O C =60°， ∵O ' O =3=OC ，∴△O 'O C 是等边三角形， ∴O ' C = O C ，∵AO =AO ，∴△A O ' C ≌△AOC ， ∴∠A O 'C = ∠AOC = 90°， ∴∠A O 'C '+ ∠A O 'C =180°， ∴O '、C '、C 三点一线， ∴C 'C =6；当点C '落在y 轴的负半轴上时，C C '=2OC =6； （3）根据旋转的性质,得1AP =AP ，∴11AP PO +=AP +1PO 作点1O 关于Y 轴的对称点M ，作直线AM ，交y 轴与点P ，此时的点P 就是11AP PO +取得最小值的位置，∵A （0）,C （0，3）,∴OA OC =3，∴tan ∠ACO =OA OC =∴∠ACO =30°，∠OAC =60°，∴A 1O过点1O 作1O N ⊥x 轴，垂足为N ，∴AN 1ON =32，∴1O（32），∴M32），设直线AM的解析式为y=kx+b，根据题意，得32bb⎧+=+=，解得1kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AM的解析式为y+1，令x=0，得y=1，∴P（0，1）；（4）根据旋转的全等性质，得到OC=11O C=3，在直角三角形AOC中，根据直角三角形的性质AD=DO=AOO在以A故当D1O是圆的直径时，三角形面积最大，面积最大值为：132⨯【点睛】本题考查了旋转的性质，特殊角的三角函数，线段之和的最小值，一次函数的解析式，三角形的全等，圆的基本性质，等边三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法，将军饮马河模型，直径是圆中最大的弦是解题的关键．5．如图1，抛物线2:C y ax bx=+经过点(4,0)A-、(1,3)B-两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线'C．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为： 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可． 【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ． ∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a = ∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=- 将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--，∵2(,4)D m m m --，∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、E 关于原点对称， ∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --，∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124()5555EK m m m m m =+--=++，∵2DE EM = ∴13ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴 ∴//DH EK ∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555m m m m --+=++ 解得：13m =-，225m =-，∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-， ∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG = ∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，∴1tan 3BG GAB AB ∠==， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE =过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -， ∴45EOT ∠= ∵90EOH ∠= ∴45HOT ∠=∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+， 则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线EH 解析式为1322y x =--，解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P的横坐标为：【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．C：二次函数6．（2021·广东广州市中考二模）在平面直角坐标系xOy中，1(2=+0y mx m xm>）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）且AB=，与y轴交于点C．4（1）求二次函数的表达式；（2）将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，当302x ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围；（3）将ACB △绕AB 的中点Q 旋转180︒，得到BDA ，若点M 是线段AD 上一动点，MB NB ⊥交直线AC 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点D 向点A 运动时． ①求tan NMB ∠的值如何变化？请说明理由； ②求点到达点A 时，直接写出点P 经过的路线长．【答案】（1）2y x =-（2n n =（3）①不变，理由见解析；②【解析】 【分析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点A 的坐标，根据4AB =，可得抛物线对称轴为：1x =，根据对称轴公式可求m ．即可得到二次函数1C 的表达式；（2）设抛物线2C 的表达式为223y x x n =--+，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，代入可求n 的值，计算此时在302x ≤≤时与x 轴的两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，代入可求n 的值，再计算抛物线2C 与x 轴只有一个公共点时n 的值，从而求解；（3）①先求得四边形ACBD 是矩形，证明BDM BCN ∆∆∽，列比例式并结合三角函数定义可得结论；②首先证明点P 经过的路径是线段PQ 的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：（1）2((1)y mx m x mx x =++，当1x =-时，0y =，(1,0)A ∴-，4AB =，(1,0)A -，∴抛物线对称轴为：1x =，1=，m ∴=∴抛物线1C 的表达式为2y x =（2）设抛物线2C 的表达式为2y n ，当抛物线2C 经过点3(2，0)时，得n 2C ：在302x ≤≤时与x 轴有两个交点，当抛物线2C 经过点(0,0)时，得n =若2(4()0n -=，解得：n =当n =2C 与x 轴只有一个公共点，此公共点为(1,0)，综上所述，n n n = （3）①tan NMB ∠的值为定值，不发生变化； 如图1中，Rt AOC ∆中，1OA =，OC =30ACO ∴∠=︒，60OAC ∠=︒，Rt BCO ∆中，3OB =，BC ∴30OBC ∴∠=︒，60BCO ∠=︒，90ACB ∴∠=︒，由旋转得：90D ACB ∠=∠=︒，60ABD OAC ∠=∠=︒，D ，90CBD ∴∠=︒，∴四边形ADBC 是矩形，(3,0)B ，D ，2BD ∴，90MBN DBC ∠=∠=︒，DBM CBN ∴∠=∠，90MAN MBN ∠=∠=︒，M ∴，A ，N ，B 四点共圆， DMB BNC ∴∠=∠， BDM BCN ∴∆∆∽，∴BM BD BN BC =tan BNNMB BM∠=tan NMB ∴∠的值为定值，不发生变化；②如图2，当M 在点D 时，P 与Q 重合，当M 与A 重合时，P 在直线AC 上，∴点P 经过的路线长是线段PQ 的长，Rt MBN ∆中，4AB =，30BNM ∠=︒，8MN ∴=，BN =Q 是AB 的中点，P 是MN 的中点，PQ ∴是ABN ∆的中位线，12PQ BN ∴==即点M 到达点A 时，点P 经过的路线长是 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()A ，()B ，()0,3C 三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接P A ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若2PM DN =，求点N 的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）2133y x =-+；（2）存在，点Q 的坐标为())2-，()0,7或()-；（3）点N 的坐标为⎭【解析】 【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式，求出点D 的坐标；方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明CEM DEN ≌，设点M 的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得22443PM x =+，22221433CM x x x =+=，根据224PM CM =求出x 的值，然后根据2FN DF DN =-==【详解】解：（1）设抛物线的表达式为(y a x x =-，将点()0,3C 代入后，得(003a -=，解得13a =-．∴抛物线的表达式为(211333y x x x =--=-+． （2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC的解析式为3y =+．由抛物线的表达式2133y x =-+，得顶点P的坐标为)4．当x =32y =+=， ∴点D的坐标为)2．方法1：设点Q 的坐标为(),x y ．∴()()222220369QC x y x y y =-+-=+-+，(()22222247QD x y x y y =+-=+--+，(()2220428AP =+-=，(()2220216AD =+-=，2CD DP ==．∵在QCD 和APD △中，CD PD =，若两个三角形全等，则有以下两种情况． ①当QC AP =，QD AD =时，22QC AP =，22QD AD =，则222269284716x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴点Q的坐标为()，)2-．②当QC AD =，QD AP =时，22QC AD =，22QD AP =，则222269164728x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩， 解得3307x y =⎧⎨=⎩，441x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴点Q 的坐标为()0,7，()-．综上所述，点Q 的坐标为()，)2-，()0,7或()-．方法2：∵点A 的坐标为()，点B 的坐标为()，点C 的坐标为()0,3，点F 的坐标为)，∴AF =4=AD ，OB =3OC =，6BC =，2PD DF CD ===． ∴60BDF ADF ADC PDC ∠=∠=∠=∠=︒，120ADP CDF ∠=∠=︒． 如图所示，分以下四种情况．①当1Q 在y 轴上，且1Q C AD =时，()1SAS ADP QCD ≅． 此时1Q 的坐标为()0,7．②当2Q 在 PD 延长线上，且2Q D AD =时，()2SAS ADP Q DC ≅．∴此时2Q 的坐标为)2-．③当3Q 在AD 延长线上，且3Q D AD =时，()3SAS ADP Q DC ≅． 连接3Q P ，∵3ADF Q DP ∠=∠，∴()3SAS ADF Q DP ≅．∴3Q P AF =．此时3Q 的坐标为()．④当4120Q CD ADP ∠=∠=︒且4Q C AD =时，()4SAS ADP Q CD ≅，同理可得，()4SAS ADP Q CE ≅，∴4Q 的坐标为()-．综上所述，点Q 的坐标为()0,7，)2-，()或()-．（3）如图所示，∵点D 的坐标为)2，点B 的坐标为()，∴2DF =，BF =∴60BDF ADF CDE DCE ∠=∠=∠=∠=︒． ∴CEO 为等边三角形．在CEM 和DEN 中，60CEM DEN ECM EDN CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CEM DEN ≌．∴CM DN =，22PM CM DN ==，设点M的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴)222244343PM x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又∵22221433CM x x x =+=，∴224PM CM =，即22444433x x +=⨯，解得)16x =（负值舍去）．∴)16CM DN x ==，∴2FN DF DN =-==∴点N的坐标为⎭解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP △全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷．8．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线22y x x b =-++过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为1d ，2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，S 的最大值为258；（3）①5(2，7)4；②45° 【解析】 【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值； （2）设M 的坐标为2(,23)m m m -++，然后根据面积关系将ABM ∆的面积进行转化； （3）①由（2）可知52m =，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； ②可将求12d d +最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】解：（1）令0x =代入33y x =-+，3y ∴=，(0,3)B ∴，把(0,3)B 代入22y x x b =-++并解得：3b =，∴二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）令0y =代入2y x 2x 3=-++，2023x x ∴=-++，1x ∴=-或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为1-和3，M 在抛物线上，且在第一象限内，03m ∴<<，令0y =代入33y x =-+， 1x ∴=，A ∴的坐标为(1,0)，由题意知：M 的坐标为2(,23)m m m -++，()221111525312313()222228AOB OBM OAM AOB OAMB S S S S S S m m m m ∆∆∆∆=-=+-=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=--+四边形，∴当52m =时，S 取得最大值258． （3）①由（2）可知：M '的坐标为5(2，7)4； ②过点M '作直线1//l l '，过点B 作1BF l ⊥于点F ，根据题意知：12d d BF +=，此时只要求出BF 的最大值即可，90BFM ∠'=︒，∴点F 在以BM '为直径的圆上，设直线AM '与该圆相交于点H ， 点C 在线段BM '上，F ∴在BM H '上，∴当F 与M '重合时， BF 可取得最大值，此时1BM l '⊥，(1,0)A ，(0,3)B ，5(2M '，7)4，∴由勾股定理可求得：10AB，M B '，M A ' 过点M '作M G AB '⊥于点G ， 设BG x =，∴由勾股定理可得：2222M B BG M A AG '-='-，∴2285125)1616x x -=-，x ∴=cos BG M BG M B ∠'='， 1//l l '，45MBG ∠=︒，90BCA ∴∠=︒，∴45BAC ∠=︒． 【点睛】本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．9．（2021·江苏江都·中考二模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；②在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标；（3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围． 【答案】（1）2134y x x =--；（2）①4；②1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤【解析】 【分析】（1）将A 、B 两点坐标代入即可，（2）讨论点坐标得变化，找到变化规律分情况讨论，即可找出1F 得坐标．（3）当P 点在DE 方向运动时，通过数形结合分别找到最大值和最小值即可找到m 的取值范围． 【详解】解：（1）将(2,0)A -、(6,0)B 代入抛物线解析式23y ax bx =+-中得：423036630a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的解析式为：2134y x x =--， （2）①D 为抛物线的顶点，(2,4)D ∴-，当点P 与点D 重合时，如图所示：过点D 作//GD x 轴，过F 点作y 轴平行线交GD 延长线于点H ，由题意易得：1CG =，2GD =，4FH =，而PC PF ⊥，即90CDF ∠=︒，90CGD DHF ∠=∠=︒，CDG DFH ∠=∠，CGD DHF ∴∆∆∽， ∴CG GD DH HF =，即124DH =， 2DH ∴=，而四边形EDFH 为矩形，2EF DH ∴==，4OF ∴=，即(4,0)F ，4m ∴=，②按题意，将COF ∆绕原点按逆时针方向旋转90︒得到△C O F '''，如图所示：显然此时C '、O '、F '三点都不在抛物线上，故需要将△C O F '''平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据C '、O '、F '三点特点，可设：1(,)O x y ，则1(3,)C x y +，1(,4)F x y +，当11O C 经平移后在抛物线上，把10(,)x y ，1(3,)C x y +代入2134y x x =--中： 221341(3)(3)34y x x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-+-⎪⎩，解得：12x =， 故11(2F ，9)16， 当11F C 经平移后在抛物线上，把1(,4)F x y +，1(3,)C x y +代入2134y x x =--中： 2214341(3)(3)34y x x y x x ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=+-+-⎪⎩， 解得：136x =-， 故113(6F -，49)144， 当11O F 经平移后在抛物线上，因为1O 、1F 在竖直方向，故不成立． 综上所述：11(2F ，9)16或13(6-，49)144， （3）(2,4)D -，(2,0)E ，(0,3)C -，点P 为线段DE 上一动点，(,0)F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥，如（2）①中当点P 与点D 重合时，4m =，取得最大，随着P 向E 移动，m 随之变化，设存在一点P 使m 最小，如图所示：设OF m =，则2FE m =-；设EP y =，则3PQ y =-，根据FEP PQC ∆∆∽得：FE EP PQ QC =即：232m y y -=-， 可得关系式：2137()228m y =-+102>，当32y =时，m 取得最小值78， 综上所述：748m ≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合性质，属于二次函数的综合大题，是中考压轴题形，从题干中筛选出有用条件，二次函数的综合性质，坐标的变化规律以及相似三角形知识点灵活运用是解决本题的关键．10．（2021·辽宁皇姑·中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点0()6,B -和点(2,0)C ，点Q 在第一象限的抛物线上，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．（1）求抛物线表达式；（2）当ABQ △的面积等于7时，设点Q 的横坐标为m ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在x 轴上，点E 在平面内，若BME AOM ≌，且四边形ANEM是平行四边形．①直接写出．．．．点E 的坐标； ②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为1I BP H ，直接写出．．．．11BP的最小值． 【答案】（1）214433y x x =--+；（2）1m =；（3）①(2,2)--；②【解析】【分析】(1)将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；(2)先将BQ 的解析式求出，根据ABQ ABN ANQ S S S =+△△△和点N 坐标求得7S =△ABQ ，再根据点Q 在抛物线214433y x x =--+上求得m 的值； (3)①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出BM =OA =4，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP 长度不变，当H旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO -BH ，然后带入计算即可．【详解】（1）∵点B 、C 在抛物线24y ax bx =++上∴ 将B 、C 坐标代入有366404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 抛物线的表达式为214433y x x =--+ （2）设点Q 坐标为（m ，n ）116=(3)222ABQ ABN ANQ m S S S AN m AN AN =+=⨯⨯+⨯⨯+△△△ 设直线BQ 的解析式为y kx b =+则有60km b n k b +=⎧⎨-+=⎩解得666b k n b m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩∵BQ 与y 轴交点为N∴ N 6(0)6n m +， ∴ 6(3)(4)726m n S m =+⨯-=+△ABQ 即235m n += 又∵点Q 在抛物线214433y x x =--+上 ∴ 214433n m m =--+ ∴ 2142+3=23(4)533m n m m m +⨯--+=-，即2670m m +-= 解得12170m m ==-，<（舍去）故1m =(3) ①由(2)知Q 7(1)3， 设直线BQ 的解析式为y kx b =+∵ 0()6,B -∴ 117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BQ 的解析式为1+23y x = ∵ N 为BQ 与y 轴交点，∴ N (0,2)，即AN =2，∵ 四边形ANEM 是平行四边形∴ AN ∥EM 且EM =AN =2，且点E 在点M 上方∵BME AOM ≅△△且M 在x 轴上∴ BM =OA =4∵ B (-6，0)∴ M (-2,0)或(-10,0)若M 为(-2,0),∵90BME AOM ︒∠=∠=，故E (-2，-2)若M 为(-10，0),∵ OM =ME =2，此时OM =10，(矛盾，舍去)综上M (-2，0)，E (-2,-2)②11BP最小值为如图，设AM 的解析式为y kx b =+∵ 抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴ 点A 的坐标为(0，4)将点A 、M 的坐标AM 的解析式得420b k b =⎧⎨-+=⎩解得24k b =⎧⎨=⎩∴ AM 的解析式为24y x =+AM 与BQ 相交于点P ∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P 的坐标为68()55-， 设直线BE 的解析式为y kx b =+将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得2260k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以直线BE 的解析式为132y x =-- BE 与AM 相交于点H ∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩解得14585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点H 的坐标为14585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴BPBH=∴1BP =当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴1OH =BO -BH=6∴11BP=故11BP 的最小值【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键．11．（2021·重庆南开中学九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于()2,0A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()4,2-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线3:4l y x =与抛物线交于E F 、两点（点E 在F 的左侧），点G 为线段EF 上的一个动点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于点H ，求GH GF +的最大值及此时点G 的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，若点G 是OF 的中点，将OBG △绕点O 旋转，旋转过程中，点B 的对应点为B '、点G 的对应点为G '，将抛物线沿直线AF 的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D 的对应点为D ，在运动过程中是否存在点B '和点D 关于ABF 的某一边所在直线对称（B '与D 不重合），若存在，请直接写出点B '的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()21422y x =--；(2) 818，721,28G ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(3) ()'2,4B ． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可． （2）联立一次函数和二次函数解析式，即可求出E 点和F 点坐标，设33()(8)42G x x x <<，，则21((4)2)2H x x --，，根据两点的距离公式可求出GH ，GF ，即可求出GH +GF ，最后根据382x <<和二次函数的性质，即可求出GH +GF 的最大值以及G 点坐标． （3）根据题意可求出点A ，B ，C 的坐标，由点G 是线段OF 中点，即可知G 点坐标，设21(,(4)2)2B t t '--，推出2223235t OG t -'==，求出t ，即求出B '点坐标． 【详解】（1）∵顶点D ()42-，在抛物线上， ∴设抛物线()()2420y a x a =--≠，， 将点A ()20，代入()242y a x =--，得：()20242a =--， ∴12a =， ∴抛物线的解析式为：()21422y x =--， （2）联立()2341422y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得：113=298x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22=86x y ⎧⎨=⎩． ∵点E 在点F 左侧，∴39()28E ，，(86)F ，． ∵点G 在抛物线上， ∴设33()(8)42G x x x <<，， ∴21((4)2)2H x x --，， ∴231(4)242G H GH y y x x =-=---，GF ===∵382x <<， ∴1204x ->， ∴5104GF x =-， ∴223151781(4)210()424228GH GF x x x x +=---+-=--+． ∵382x <<， ∴当72x =时，GH GF +取最大值818． 此时721()28G ，． （3）令0y =，代入21(4)22y x =--， 解得：1226x x ==，．∴(20)A ，，0(6)B ，． ∴624AB =-=，令0x =，代入21(4)22y x =--， 解得6y =，∴6(0)C ，， ∵(86)F ，，点G 是线段OF 中点， ∴42F G x x ==，32F G y y ==． ∴(43)G ，，∵点B '在抛物线21(4)22y x =--上， ∴设21(,(4)2)2B t t '--， ∴2223235t OG t -'==， 解得2t =，∴(24)B '，． 【点睛】本题为一次函数与二次函数综合，较难．掌握利用待定系数法求解析式，联立方程求一次函数与二次函数交点坐标，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标以及中点坐标公式是解答本题的关键．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A （-1,0）B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点（0，-3），抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b 与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移23Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到OQ B ''，直线B Q ''与x 轴交于点G ．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G '是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．。

--------------------数学第五六节-------------------------一．相似的简单应用1.如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．2.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．3．如图，AB•A E=AD•A C，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．4．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．（一）相似模型总结A字形1.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD=0.55m，则梯子的长为多少米？8字形2．如图，平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE与AD相交于点F，若BC=8，CD=3，AE=1．求：AF的长．双垂直3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高△ADC和△CBD都和△ABC相似吗？并证明．4．如图所示，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD=8cm，BD=2cm，求CD的长．（二）相似押题1．如图，在△ABC中，∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，求证：（1）△ADE∽△ABC；（2）求AE的长．2．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA=21米，CE=2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）3．如图，在高5m的房顶A处望一楼的底部D，视线刚好过小树的顶端E，又从楼顶C处望房顶部B，视线也正好过小树的顶端E，测得小树高4m，求楼高CD．4．如图，在矩形ABCD中，DG⊥AC，垂足为G．（1）△ADG与△ACD、△CDG与△CAD相似吗？为什么？（2）若AG=6，CG=12，求矩形ABCD的面积．5．如图所示，AD是△ABC的高，E、F分别是AB的、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在AB中点，AE⊥CD于点M，（1）求证：△ACM∽△BAC；（2）若2CE=BE，CD=2，求AC的长．7．已知：如图，AC是▱ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E，求证：．8．如图，已知B，C，D三点在一条直线上，AC⊥BD，DE⊥BD，AB⊥BE，（1）求证：∠BAC=∠DBE；（2）若AB=3，AC=，DE=，求AD的长．二．旋转(一)常考基础强调1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B 的度数为．6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．7．如图，Rt△ABC的斜边AB=8，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为．(二)作图题8．如图，已知A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2．（3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，在图中作出它们的对称轴．(三)旋转几何证明题9．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．10．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，若AF=4，AB=7．（Ⅰ）旋转中心是；旋转角度为度；（Ⅱ）求DE的长度；（Ⅲ）试猜想：直线BE与DF有何位置关系？并说明理由．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．（1）旋转角的大小；（2）若AB=10，AC=8，求BE的长．三．二次函数押题1．已知二次函数图象的顶点为（3，﹣1），与y轴交于点（0，﹣4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y＞﹣4时，自变量x的取值范围．2．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长．（2）求△ABC的面积．3．如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y1＜y2的x的取值范围为．4．我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：（1）猜一猜y是x的什么函数关系？并求出此函数的关系式；（2）若用W（元）表示工艺厂试销该工艺品每天获得的利润，试求W（元）与x（元/件）之间的函数关系式．（3）若该工艺品的每天的总成本不能超过2500元，那么销售单价定为多少元时，工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大，最大是多少元？。

中考数学《二次函数图形的几何变换》专项练习题(附答案)一、单选题1．在平面直角坐标系中，二次函数y=(x+1)(x−3)的图象向右平移2个单位后的函数为（）A．y=(x−1)(x−5)B．y=(x+2)(x−2)C．y=(x+3)(x−1)D．y=(x+1)(x+5)2．把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=-（x-1）2-3B．y=-（x+1）2-3C．y=-（x-1）2+3D．y=-（x+1）2+33．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位4．要得到函数y=−x2+3的图像，可以将函数y=−x2的图像（）A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位5．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x+1）2﹣6C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x﹣3）2﹣66．抛物线y=−2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y=−2(x−2)2−3B．y=−2(x+2)2−3C．y=2(x−2)2−3D．y=2(x+2)2−37．已知抛物线y=ax2−2ax+a2+1(a≠0).当x≥3时，y随x的增大而增大；当−2≤x≤0时，y的最大值为10.那么与抛物线y=ax2−2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在−2≤x≤3内的函数最大值为（）A．10B．17C．5D．28．将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=4（x+1）2+3B．y=4（x﹣1）2+3C．y=4（x+1）2﹣3D．y=4（x﹣1）2﹣39．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4）B．（1，2）C．（3，2）D．（1，4）10．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣211．将抛物线y=x2+2x先向左平移2个长度单位，再向上平移3个长度单位，所得到的抛物线是（）A．y=(x+1)2+3B．y=(x+3)2+2C．y=(x−1)2−4D．y=(x−3)2+112．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+1二、填空题13．把抛物线y=−3x2向上平移2个单位，所得抛物线是．14．如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是．15．将二次函数y＝2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度所得图象的解析式为. 16．把抛物线y=5x2向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度，得到的抛物线解析式为．17．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是. 18．在平面直角坐标系中，将解析式为y=2x2的图象沿着x轴方向向左平移4个单位，再沿着y轴方向向下平移3个单位，此时图象的解析式为．三、综合题19．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= 12x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y= 12x2+bx+c向上平移72个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，△OMB+△OAB=△ACB，求AM的长．20．如图，顶点M在y轴上的抛物线y=ax2+c与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）判断⊿ABM的形状，并说明理由；（3）若将（1）中的抛物线沿y轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(−2，−3)？21．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：−3☆2＝(−3)2−(−3)×2+2＝17．根据以上知识解决问题：（1）若x☆3＝1，求x的值；（2）求抛物线y＝(2−x)☆(−1)的顶点坐标；（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．22．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a＞0）的图象，如图所示．（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y= 14（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（，）的距离与它到定直线y=的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y 轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．参考答案1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】C13．【答案】y =−3x 2+2 14．【答案】4 15．【答案】y ＝2x 2+216．【答案】y =5(x +3)2−7 17．【答案】y=﹣2x 2﹣4x ﹣3 18．【答案】y=2（x+4）2﹣319．【答案】（1）解：将A （0，﹣4）、B （﹣2，0）代入抛物线y= 12x 2+bx+c 中，得：{0+c =−412×4−2b +c =0 解得： {b =−1c =−4故抛物线的解析式：y= 12x 2﹣x ﹣4（2）解：由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= 12 （x+m ）2﹣（x+m ）﹣4+ 72 ，即：y= 12x 2+（m ﹣1）x+ 12 m 2﹣m ﹣ 12 ；它的顶点坐标P ：（1﹣m ，﹣1）；由（1）的抛物线解析式可得：C （4，0）；设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），把x=4，y=0代入 ∴4k+b=0，b=﹣4 ∴y=x ﹣4．同理直线AB ：y=﹣2x ﹣4；当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m= 5 2；当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜5 2；又∵m＞0∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2（3）解：由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；如图，在OA上取ON=OB=2，则△ONB=△ACB=45°；∴△ONB=△NBA+△OAB=△ACB=△OMB+△OAB，即△OMB=△NBA；如图，在△ABN、△AM1B中△BAN=△M1AB，△ABN=△AM1B∴△ABN△△AM1B，得：AB2=AN•AM1；易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；∴AM1=20÷2=10；而△BM1A=△BM2A=△ABN∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．综上，AM的长为10或2．20．【答案】（1）解：当y=0时，有x+1=0，则x=-1．∴A（-1，0）当x=2时，y=2+1=3∴B（2，3）将A，B两点代入y=ax2+c中得{0=a+c3=4a+c，解得{a=1 c=−1∴抛物线的解析式为y=x2−1．（2）解：三角形ABM为直角三角形，理由如下：在抛物线中，当x=0时，y=-1∴M（0，-1）又∵A（-1，0），B（2，3）∴AB=3√2，AM=√2BM=2√5又∵AM2+AB2=20=BM2∴三角形ABM为直角三角形．（3）解：设抛物线y=x2−1沿y轴平移后的解析式为y=x2−1+m 将点（-2，-3）代入上式，得m=-6则向下平移6个单位过点（-2，-3）．21．【答案】（1）解：根据题意，得x2−3x+3＝1移项、合并同类项，得x2−3x+2＝0整理，得(x−1)(x−2)=0解得：x1=1，x2=2；（2）解：根据题意知整理得：y=x2−5x+5=(x−52)2−54所以，顶点坐标（52，−54）（3）解：根据题意知，新的抛物线解析式为y=−(−x−52)2+54=−(x+52)2+54．22．【答案】（1）解：由定义可知，MA=MB∴x2+（y﹣m）2=（y+m）2∵y=ax2∴x2= y a∴ya=4my∴a=1 4m（2）解：由（1）可知，a= 1 16∴抛物线的解析式为y= 116x2．（3）1；3；1（4）解：如图所示，过点D作直线y=﹣4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短（垂线段最短）此时点P坐标（1，1 16）．23．【答案】（1）解：把A（﹣1，0）和点B（0，52）代入y=﹣12x2+bx+c得（2）解：∵y=﹣12（x﹣2）2+ 92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处∴△PDC=90°，DP=DC=t∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+ 52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52= 92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2（3）解：P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2）设M（0，m）当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m= 72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）24．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）∴{c=39a+3b+c=016a+4b+c=3，解得{a=1b=−4c=3。

初中数学旋转作图专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、作图题（共20题）1、如图，在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC。

①在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1。

②在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C。

③若以EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出A1、A2两点的坐标。

2、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（2，3），C（5，2）。

如果将△ABC 绕C点顺时针旋转90°，得到△A1B1 C。

（1）请在图中画出△A1B1 C；（2）请作出△A1B1C的外接圆(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法)；（3）在图中已画好的格点上，是否存在点D，使得=，请写出符合条件的所有D 点的坐标（C点除外）。

(原创)3、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ΔABO 的三个顶点A，B，O都在格点上．（1）画出ΔABO绕点O逆时针旋转900后得到的三角形Δ；（2）根据所画的图找出点和点的坐标.4、 ,如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即和．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将重合到上；5、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。

⑴分别写出图中点A和点C的坐标；⑵画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；⑶在⑵的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）6、如右图，在网格图中建立平面直角坐标系，的顶点坐标为、、．（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；顺时针方（2）画出绕C１向旋转900后得到的；（3）与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：；并计算的面积： .（4）在坐标轴上是否存在P点，使得△PAB与△CAB的面积相等，若有，则求出点P的坐标.7、在网格纸上按以下要求作图,不用写作法:(1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案.(2)作出“小旗子”绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图案.8、 如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， △ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．9、 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC 和一点O ，△ABC 的顶点与点O 均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC 向下平移6个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画△A 1B 1C 1． （2）在方格纸中，将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画△A 2B 2C 2．10、每个小方格都是边长为1个单位长度，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．（1）画出正方形ABCD关于原点中心对称的图形；（2）画出正方形ABCD绕点D点顺时针方向旋转90°后的图形；（3）求出正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线．11、如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上．（1）在图中作出将△ABC向右平移5个单位后的图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2 C．12、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．13、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出向下平移4个单位后的，并直接写出在平移过程中扫过的面积；（2）画出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点旋转到所经过的路线长．14、如图，在平面直角坐标系中，和关于点成中心对称。

九年级旋转经典题型一、旋转性质的基础应用1. 题目- 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE。

若∠CAE = 65°，∠E = 70°，且AD⊥BC，求∠BAC的度数。

- 解析- 因为△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，所以△ABC≌△ADE。

- 根据全等三角形的性质，∠C = ∠E = 70°。

- 因为AD⊥BC，在Rt△ADC中，∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 70°= 20°。

- 又因为∠CAE = 65°，所以∠BAC = ∠DAE=∠DAC + ∠CAE = 20°+ 65°= 85°。

2. 题目- 已知正方形ABCD的边长为3，点E在边CD上，且DE = 1。

将△ADE绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF，求EF的长。

- 解析- 因为△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，所以AE = AF，∠EAF = 90°。

- 在正方形ABCD中，AD = 3，DE = 1，根据勾股定理可得：AE=√(AD^2)+DE^{2}=√(3^2)+1^{2}=√(10)。

- 在等腰直角三角形AEF中，EF=√(2)AE=√(2)×√(10) = 2√(5)。

二、旋转与坐标的结合1. 题目- 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A'，求点A'的坐标。

- 解析- 设点A(x = 1,y = 3)绕原点O逆时针旋转90°后的点A'(x',y')。

- 根据旋转坐标变化规律：对于点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后变为(-y,x)。

- 所以点A'的坐标为(-3,1)。

2. 题目- 已知点P(2, - 1)，把点P绕坐标原点O顺时针旋转135°后得到点Q，求点Q的坐标。

最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：mmABmAB mnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：n mAnnnm（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m（1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；2.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3 DBAm A B E CBD 图1A D EPB C二次函数常见压轴y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标 或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．因动点产生的三角形相似问题例1.（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．例2．如图，直线3y x=-+与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B C，两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x=．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P B Q，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23y x bx=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.A BCPOxy2x=AOBCxy和最小差最大如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.面积问题：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．yxBA FPx＝1CO例题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．例3：已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．讨论直角三角例1：已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例2：如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中四边形存在问题研究一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1.如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.PEOFCDBAxyOCDBA 备用图yx二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、By ax ax c a两点，A点在B点左侧。