相似三角形专题一——分类讨论类型一：AX 分类讨论例1、如图，在中，ABC 8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间t =________1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ；(2)是否存在某一时刻t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14；(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ，点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t 为何值时，△CPQ 与△CAD 相似？请直接写出t 的值．二、直角三角形分类例2、如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？1、如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2、如图，在平面直角坐标系中，点，点、分别在轴、轴的正半轴上，且满足．求点、点的坐标；若点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段由向运动，连接，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．1、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在BC 上，另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 边上的高；（2）求正方形EFGH 的边长．相似三角形专题三——面积比问题例1.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）1、如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是____．2、如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若：：，则：．。
想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。
分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。
分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。
关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。
”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时 需要分类讨论。
分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形 成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。
笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。
，|)内/(•T)无零点。
当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。
当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。
综上可得，/U)有且仅有2个零点。
7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来 求解也是一个有效的途径。
要分类讨论做归纳整理。
1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。
相似三角形中分类讨论的数学思想（汤杰）相似三角形中分类讨论的数学思想（汤杰）讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题1.在直角三角形ABC 中，∠B=90°，点D 在边BC 上，过点D 的直线将直角三角形ABC 分成一个三角形和一个四边形，得到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条？并画出示意图。
到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条？并画出示意图。
2.（2013，永州）如图，已知AB ^BD ，CD ^BD （1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；的长；（4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问,,m n l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？点？3（2014•武汉）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；的值；（2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP 求t 的值；的值；4.（2012014•4•益阳）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B =60°，AB =10，BC =4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP =x ．（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；的值；若不存在，请说明理由；A B CD P(2013徐州中考）徐州中考）讨论标志二：利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问题。
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
