等差数列2

戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列

知识梳理

1.定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。

（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！ 戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

【课题】 6．2 等差数列

【教学目标】

知识目标：

理解等差数列通项公式及前n项和公式．

水平目标：

通过学习前n项和公式,培养学生处理数据的水平．

【教学重点】

等差数列的前n项和的公式．

【教学难点】

等差数列前n项和公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等差数列的前n项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前n项和公式；难点是前n项和公式的推导以及知识的简单实际应用．

等差数列前n项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a、d、n、na、nS中,知道其中三个,能够求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相对应算法．

例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

*揭示课题

6．2 等差数列．

*创设情境 兴趣导入

【趣味数学问题】

数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传

从小

教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来!”

对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了准确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．

小高斯是怎样计算出来的呢?

他观察这100个数

1, 2, 3, 4, 5, …，96, 97, 98, 99, 100.

并将它们分成50对，依次计算各对的和：

1+100=101

2+99=101

3+98=101

4+97=101

5+96=101

……

50+51=101

所以，前100个正整数的和为

10150=5050.

等差数列

知识讲解

一、等差数列

1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2.通项公式：

1(1)()nmaandanmd,(*,*,)nNmNmn*(,,)nmaadnmNnmnm

3.前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad,(*)nN;

4.等差数列na的性质（其中公差为d）：

1）()mnaamnd，mnaadmn,(*,*)nNmN;

2）若pqmn，则有pqmnaaaa；若2mpq，则有2mpqaaa（p，q，m，nN）；

3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即na，nma，2nma，LL为等差数列，公差为md,(*,*)nNmN；

4）等差数列的n项和也构成一个等差数列，即232nnnnnSSSSS，，，LL为等差数列，公差为2nd,(*)nN；

5）na为等差数列，nS为前n项和，则21(21)nnSna；nb为等差数列，nS为前n项和，21(21)nnSnb；有2121nnnnaSbS． 6）等差中项：如果三个数xAy，，组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，即2xyA．

7）若,nnab均为等差数列，且公差分别为12,dd，则数列,,nnnnpaaqab也为等差数列，且公差分别为1112,,pdddd．

8）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,nnmnmaaa，．．．．，为等差数列，公差为md．

9）若数列{}na是等差数列的充要条件是前n项和公式()nSfn，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即2,(,nSAnBnAB是常数，220);AB

1 麟子教育

一、等差数列的相关概念

1、等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。

2、等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2 推广：-11122(2)2nnnnnnaaanaaa

3、等差数列通项公式

若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand．

推广：dmnaamn)(，从而mnaadmn。

4、等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和的公式：①12nnnaaS；②112nnnSnad．

5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系

11,1,2nnnsnassn( 数列{}na的前n项的和为12nnsaaa).

二、等差数列的性质

1、等差数列的增减性

若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，

若公差0d，则为常数列。

2、通项的关系

当mnpq时,则有qpnmaaaa，

特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.

注：12132nnnaaaaaa

三、等差数列的判定与证明

1、等差数列的判定方法：

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列；

（2）等差中项：数列na是等差数列-11122(2)2nnnnnnaaanaaa；

2 练习

一、选择题

1、等差数列na中，10120S，那么110aa（ ）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

2、已知等差数列na的公差12d，8010042aaa，那么100S