第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法高频考点二：已知零点个数求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法第四部分：高考真题感悟第五部分：第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）1、分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算； （2）解题过程中可能遇到的问题： ①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2、分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种 注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a 范围核心知识点：将()a x f ,与0的大小关系转化成()x g 和()a h 的大小关系 ①,()()x D h a g x ∀∈≥恒成立⇔max ()()h a g x ≥ ②,()()x D h a g x ∀∈≤恒成立⇔min ()()h a g x ≤ ③,()()x D h a g x ∃∈≥恒成立⇔min ()()h a g x ≥ ④,()()x D h a g x ∃∈≤恒成立⇔max ()()h a g x ≤4、常见题型2：已知零点个数求解参数a 范围核心知识点：将()0,=a x f 转化成()()x g a h =，应用导数方法绘制()x g 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数()1ln f x x a x=+-在区间()1,e 上只有一个零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≤B ．a e >C ．111a e<<+ D ．11a e<<2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 3．（2015·浙江金华·高二期中（理））1kx ≤-对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围是：___________．4．（2022·全国·高三专题练习）若存在[]0,1x ∈，使得13713x x m +≥+成立，则实数m 的取值范围是___________. 5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数()32133f x x x x a =---有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1af x x a R x =-∈+.若函数()y f x =在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式ln 0x mx ->只有一个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．10,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11ln 2,ln 323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11ln 2,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11ln 3,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()e ln x f x x x x =--，若不等式()f x a ≥恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．1B ．e 1-C ．2D ．e4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若32223328e 4e e x x x x x a x a a ++<++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________;6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f (x )＝ax －2ln x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝x －2，若存在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈． (1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围．8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数()e 1,()ln x f x a g x x =+=． (1)讨论函数()()()e xxf x xh x g x -=+的单调性； (2)若()()1xf x g x <+，求a 的取值范围．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-，R a ∈. (1)讨论()f x 的单调性； (2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2ex x xf x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.②部分分离参数法1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数()4ln 8f x x kx k =--+，若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞B ．[e,)+∞C ．[4,)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()21xkx k e x +<+恰有2个整数解，求实数k 的取值范围（ ）A ．23243k e e≤< B ．23243k e e<≤ C ．324354k e e <≤ D ．324354k e e ≤< 3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数()()()3213853f x x x a x a a R =-+---∈，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,156⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,123⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,125⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()e 13xf x x ax a =-+-，其中1a <，若有且只有一个整数0x ，使得()00f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．23,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()31e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a的取值范围是（ ） A ．218,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．436427,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32278,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()2ln ||28f x x x ax a =-+-，其中0a ． （1）当0a =时，求函数()f x 的最值；（2）若存在唯一整数0x ，使得0()0f x ，求实数a 的取值范围．高频考点二：已知零点个数求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·全国·高二期末）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11ek -<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数(),12,1x xe x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若()f x k -有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数()e 1xaf x x =--有唯一零点，则实数a 的值可以是（ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．14．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数()e ln xy x a x x =+-存在零点，则实数a的取值范围是______．5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数3()3f x x x a =--仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________．6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数()ln f x a x =- (1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(]0,16上有两个零点，求a 的取值范围．7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数32()31f x x ax x =-++. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有三个零点，求a 的取值范围.（注：3232(2)(1)x x x x --=-+）8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数()21e ,0e 2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则方程()0f x =的根为________．若函数()()y f f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是________．②部分分离参数法1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2e 1,0ln 1,0xx f x x x -⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有两个不同的实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),20,1-∞-⋃ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),00,1-∞⋃D ．()(),00,∞-+∞2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,1ln 24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1e ,122⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =--，若关于x 的方程()f x x a =+恰有四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 4．（2022·全国·模拟预测）已知函数()24ex x f x =，若存在1x ，2x ，…，()*n x n ∈N ，使得()()()1212222n nf x f x f x x x x ---==⋅⋅⋅=，则n 的最大值为______. 5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知()2,112e ,1x x f x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-⎩若方程()2f x mx =+有一个实数根，则实数m 的取值范围是___________.1．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰 有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有个1零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有个3零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有个3零点． 其中所有正确结论的序号是_______．2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．4．（2020·浙江·高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式3221e xax x axx +++≥在0,上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．1,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(],e 2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ln ,()12f x xg x x ==+，直线()y t t R =∈与函数(),()f x g x 的图象分别交于点()()1122,,,A x y B x y ，若对任意t R ∈，不等式2121x x a -≥+成立，则实数a 的取值范围为 A ．ln 21,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．ln 23,4+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．ln 2,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,ln21]-∞-3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数()2x e ax a g x x-+=在[]2,3内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)3,e ⎡-+∞⎣B ．)2,e ⎡-+∞⎣C ．()3,e -+∞D ．()2,e -+∞4．（2022·全国·高二）若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]2ln3,2ln 2-- B ．(),2ln 2-∞- C ．(],2ln3-∞-D ．(),2ln3-∞-5．（2022·全国·高二）若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,]e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]eD ．1(0,)e6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数()1ln()f x x k x=+-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．ln 2k ≠B ．ln2k >C ．ln 2k ≥D ．0ln 2k <<7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当,()0x ∈+∞时，函数()e x f x k =的图象与函数2()21xg x x =+的图象有且只有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()1,0,0x x f x xe x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩且关于x 的方程()0f x ax -=有三个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞-B ．(),e -∞-C ．(),1-∞-D ．(],1-∞- 二、填空题9．（2022·全国·高三专题练习）方程1ln cos 3x x +=在(0,1)上的实数根的个数为___________.10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式()()23e 2x x a x -<-在(),2-∞上仅有一个整数解，则a 的取值范围是______．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e (31)x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是____.12．（2022·全国·高三专题练习）已知()|sin(2)6h x m x π=+-+的最小值为0，则正实数m 的值为__． 三、解答题13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()21e x f x x x -=-+⋅. (1)求()f x 的单调区间；(2)若不等式()22f x x x m ≥-++对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x ∈1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，求实数m 的取值范围．15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数()e 3x f x ax =+-在0x =处的切线为2y =-.(1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[]0.80=，[]1.42-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+，求[]t 的最大值.16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知()()2x x m f x m R e+=∈. （1）若34m =，求()f x 的极值.（2）若方程()8ln x e f x x ⋅=在[]1,e 上有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.。
分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。
