2015高中自主招生考试数学试卷

AB综合能力测试试卷说明：1、本卷满分200分，其中数学、科学各80分，语文、英语各20分；2、本卷考试时间150分钟，其中数学、科学各50分钟，语文、英语各25分钟。

3、请用钢笔或圆珠笔在答题卷．．．的密封区填上毕业学校、姓名、准考证号、考试科目和座位号。

请勿遗漏。

4、全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

答题时，请用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷．．．相应的位置上，写在试题卷上无效．．．．．．．．。

数学试卷一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A 、0a b +>B 、0a b -<C 、0ab >D 、0ab< 2、无论m 为何实数，直线y ＝2x ＋m 与直线y ＝－x ＋3的交点都不可能在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0； ②b ＞a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ），（m ≠1的实数）其中正确 的结论有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个第3题图 第5题图4、如果外切的两圆⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和4，那么半径为6，与⊙O 1和⊙O 2都相切的圆有（ ）A 、4个B 、5个 C、6个 D 、7个0 a 1 1-0 b 第1题图5、如图，从A 点沿线段走到B 点，要求每一步都是向右或向上，则走法共有（ ）A 、9种B 、16种C 、20种D 、25种 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 6、反比例函数xy 3=，当y ≤3时，x 的取值范围是 。

7、圆的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，则两弦AB ,CD 的距离是 。

2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。

2015年河南省普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1. 下列各数中最大的数是（ ）A. 5B.3C. πD. －8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ） A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A. 55° B. 60°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10C DB A 正面 第2题dc ba－－－－CDBA8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A.（2014,0） B.（2015，－1） C. （2015,1） D. （2016,0） 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 计算：(－3)0+3－1= .10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （－2，y 3）都在二次函数y =(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为 .三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）E F CDBGA第7图第8题E C DBA 第10题第15题16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b . 17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ； （2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ；的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

2015年河南省普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1。

本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

一、选择题（每小题3分，共24分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1. 下列各数中最大的数是（） A 。

5 B 。

C 。

π D 。

－8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（）3。

据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元,将数据40 570亿用科学记数法表示为（）A. 4.0570×109B 。

0。

40570×1010 C. 40.570×1011 D 。

4.0570×1012 4。

如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（) A 。

55°B. 60° C 。

70° 5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x6。

小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分,若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是() A 。

255分 B. 84分 C 。

84。

5分 D.86分C DB A 正面 第2题dc baCDBA7。

如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6,AB =5，则AE 的长为（)A 。

4 B. 6 C 。

8 D. 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（）A 。

(2014，0)B 。

（2015,－1） C. (2015,1） D 。

2015大同中学自主招生数学试题
一、填空题
1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 符合f (x)·f (-x)= f (x 2)，则这样的二次函数有________个．
2．一辆火车经过一个信号灯花了41分钟，经过600m 隧道用了4
3分钟，则火车速度为_____km/h ．
3．使完全平方数n 2+11成立的正整数n 为___________．
4．838，212称这两个数字为回文数，并且838-212=626也是回文数，便称(838，212)为回文数对，那么有________个(a>b)的(a ，b)的回文数对？
5．有九个格子，三种颜色，每一列每一行三种颜色不重复，那么有________种情况？
6．当有一列数相加，每两个数字之间差不大于1，且第一个与最后一个数为1时，则称这个相加之后的数为“好数”，例如：1+2+3+3+4+5+4+3+3+2+2+1=33，则称这些数是33的“好
数” ，已知2008是好数，那么它的好数至少有_________项？
7．已知两个函数)0(2<=k x
k y 与k x y 3+-=的图像相交于点P ，且OP=7，则k=________． 二、解答题
1．a+b+c=4，a 2+b 2+c 2=10，a 3+b 3+c 3=22，求a 4+b 4+c 4．
2．已知AB=BC=40，CE=25，求BD 的长．
3． 已知二次函数f (x)的二次项系数为a ，且不等式f (x)>-2x 的解集为(1，3)，
(1)若方程f (x)+6a=0有两个相等的根，求f (x)的解析式；
(2)若f (x)的最大值为正数，求a 的取值范围．。

2015年福建师大附中自主招生数学试卷一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．10．（6分）已知方程组，则=．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．16．（23分）如图，OA和OB是⊙O地半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过地面积；（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．2015年福建师大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．【解答】解：∵y′=1﹣x（1﹣x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∴有最小值，∴y=地最大值是=．故答案为：．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是7．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，CD是斜边上地中线，∴AB=2CD=6，∵AB+AC+BC=14，∴AC+BC=8，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，AC•BC=14，∴S=AC•BC=7．故答案为：7．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于0．【解答】解：当x≥0时，方程为x2+x﹣12=0，即（x﹣3）（x+4）=0，解得：x=3或x=﹣4（舍）；当x＜0时，方程为x2﹣x﹣12=0，即（x+3）（x﹣4）=0，解得：x=﹣3或x=4（舍），则方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于为﹣3+3=0，故答案为：0．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是4：9．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，∴==，又∵=，∴=，故答案为：4：9．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是15°或75°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角地三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是3．【解答】解：设圆O地半径为r，∵⊙O地面积为3π，∴3π=πr2，即r=．作点C关于AB地对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′地长即为PC+PD地最小值，∵∠AOC=80°，∴∠AOC=∠AOC′=80°，∴∠BOC′=100°，∵∠BOD=20°，∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD地最小值为3．故答案为：3．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是2016．【解答】解：∵|2014﹣a|+=a，∴a≥0，且a﹣2015≥0，解得：a≥2015，故|2014﹣a|+=a可化简为：a﹣2104+=a，整理得：=2014，故a﹣2015=20142，则a﹣20142+1=a﹣（a﹣2015）+1=2016．故答案为：2016．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．【解答】解：设正方形地边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（x+y）2=y2+（y﹣x）2，由于y≠0，化简得y=4x，∴sin∠EAB====．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．【解答】解：∵点P2015地纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015地在反比例函数y=地图象上，∴点P2015地坐标为（，4029），∵P2015Q2015∥y轴，∴点Q2015地坐标为（，），∴P2015Q2015=4029﹣=．故答案为：．10．（6分）已知方程组，则=3．【解答】解：设a=，b=，则x+y=（x+1）+（y﹣2）+1=20，所以，（x+1）+（y﹣2）=19，即a2+b2=19，因此，方程组可化为，①平方得，a2+2ab+b2=25③，③﹣②得，2ab=6，解得ab=3，所以，=•=ab=3．故答案为：3．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=2014．【解答】解：根据题意得原式=1﹣（1﹣）+1﹣（﹣）+1﹣（﹣）+…+1﹣（﹣）=1×2015﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2015﹣=2014，故答案为：2014．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是（2，﹣8）．【解答】解：∵解：∵抛物线y=x2+bx经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线地解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线地对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣4），∴作点C关于x=2地对称点C′（3，﹣4），直线AC′与x=2地交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴地交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上地点地时候取到|AD﹣C′D|=AC′最大，设直线AC′地解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′地解析式为y=4x﹣16，当x=2时，y=﹣8，∴D点地坐标为（2，﹣8）．故答案为：（2，﹣8）．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．【解答】解：∵1+2+3+4+5+…+19==190，200﹣190=10，∴第200个分数是第20组地第10个分数，分母是10，分子是11，为．故答案为：．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．【解答】解：由①得：x＜21，由②得：x＞2﹣3a，∵不等式组只有4个整数解，∴不等式组地解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，∴﹣5＜a≤﹣．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程地解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件地进价为8元，每个乙种零件地进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．【解答】（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B=90°，∵OB=OQ，∴∠B=∠4，∵RP=RQ，∴∠1=∠3=∠2，∴∠3+∠4=90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O地切线．（2）解：如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B=45°．②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，∴∠R=30°，∵RQ=RP，∴∠RPQ=∠RQP=75°，∴∠OPB=75°，∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，∴OB2﹣OP2=PB•PQ．即OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）如图1中，由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过地面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′=﹣=．（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，∵∠AOM=22.5°，∴∠EOM=∠EMO=22.5°，∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，∴x+x=1，∴x=﹣1，∴BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，∴MN=BM=2﹣2，设△BMN地内切圆地半径为r，则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，∴r===3﹣2．（3）在正方形OABC旋转地过程中l值不发生变化．理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，∴△OAE≌△OCN，∴OE=ON，∠AOE=∠CON，∵∠MON=45°，∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，∴△MOA≌△MON，∴EM=MN，∴△BNM地周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，∴△BNM地周长为定值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

华师一附中高中提前自主招生考试数学训练题一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．︒=∠30ADC，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A） B ）4 （C ） （D ）4.5 2. 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是( )A 、112-<aB 、5272<<-aC 、52>aD 、0112<<-a 3. 如图AC ⊥BC 于C ，BC ＝a, CA=b, AB=c, ⊙O 与直线AB 、BC 、AC都相切，则⊙O 的半径为（ ） A.2a b c +- B. 2b c a +- C. 2a b c ++ D. 2a cb +- 4. 如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为 A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-25. 如图线段AB,CD 将大长方形分成四个小长方形， 其中18S =，26S =，35S =，则4S =（ ）A. 203B. 53C.10D. 1036. 如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的 圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A 、12-π B 、41π- C 、13-π D 、61π- 7. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c +++的值为（ ） A. 21 B. 22 C. 1 D. 2 8. .已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3AF 、CE 交于点G ，则A B C D A G C D S S 矩形四边形等9. 如图9-2，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设于（ ） A. 65 B. 54 C. 43 D. 32 O A B C 3题图A S B D 1C5题图S 2S 4S 3cA B C a b A B C DEF GHG D CA B E F E D C B A 10. 如图，D 、E 在BC 上，F 、G 分别在AC 、AB 上，且四边形DEFG 为正方形．如果S △CFE ＝S △AGF ＝1，S △BDG ＝3，那么S △ABC 等于 ( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)911. 如果a +b +c =0,1114a b c ++=-，那么222111a b c ++的值为 (A)3 (B)8 (C)16 (D) 2012. 如果a 、b 是关于x 的方程(x +c )(x +d )=1的两个根，那么(a +c )(b +c )等于(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) c 213. .如图，Rt △ABC 的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π 14. 如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、22<<-aB 、23≤<aC 、23≤<-aD 、23≤≤-a15. 如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ）A 、26B 、28C 、24D 、316. 有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分;选乙题答对得90分，答错得-90分.若四位同学的总分为0，则这四位同学不同得分情况的种数是( ) .(A)18 (B) 24 (C)36 (D)4817. 如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 在AC 上，且∠AED ＝90°+21∠C ，则BC+2AE 等于( B )A ．AB B ．AC C ．23AB D ．23AC 二、填空题 的值为．1. 如果a ，b ，c 是正数，且满足， 那么2. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .3 已知12x x ，为方程2420x x ++=的两实根，则3121455x x ++=G F E D CB A4. 在△ABC 中，AC=2011,BC=2010, 20112010+=AB 则=∙C A cos sin5 如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．6. 两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数xy 6=上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007'20072007y x Q ， 则=20072007Q P7. 已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长8. 如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）；点n A （ ， ）．9. 在一个口袋中有4个完全相同的小球， 把它们分别标号为 1， 2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球。

河南省2015年普通高中招生考试数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各数中最大的数是（）A．5 B．C．πD．－8答案：A 【解析】本题考查实数的大小比较，难度较小．，最大的是5，故选A．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查三视图的知识，难度较小．俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，故选B．3．据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元．将数据40570亿用科学记数法表示为（）A．4.0570×109B．0.40570×1010C．40.570×1011D．4.0570×1012答案：D 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．40570亿＝4057000000000＝4.0570×1012，故选D．4．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．75°答案：A 【解析】本题考查平行线的判定和性质，难度较小．因为∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，得a∥b，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠3的对顶角与∠4互补，所以∠3与∠4互补，又∠3＝125°，则∠4的度数为55°，故选A．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A BC D答案：C 【解析】本题考查解不等式组，难度较小．解不等式①得x ≥－5，解不等式②得x＜2，故不等式组的解集是－5≤x＜2，结合选项知只有C正确，故选C．6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分答案：D 【解析】本题考查加权平均数的计算方法，难度较小．根据题意小王的成绩是（分），故选D．7．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．4 B．6C．8 D．10答案：C 【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形三线合一定理，难度中等．设BF与AG相交于O，由AG平分∠BAD和AB＝AF得AG垂直平分BF于点O，可得．又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FAE＝∠BAE，∴△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝5，AE＝2AO．在Rt△AOB中，，所以AE＝8，故选C．8．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A．(2014，0) B．(2015，－1) C．(2015，1) D．(2016，0)答案：B 【解析】本题考查规律探索，难度较大．一个半圆的周长是πr＝π，点P运动的，设点P走了n个半圆，则有，所以，因为，走1007个半圆时点P的横坐标是1007×2＝2014，再走个半圆，正好在下半圆弧的中点，因此点P的横坐标是2014＋1＝2015，纵坐标是－1，即点P的坐标是(2015，－1)，故选B．第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．请把答案填在题中的横线上）9．计算：(－3)0＋3－1＝_________．答案：【解析】本题考查零次幂和负指数幂，难度较小．因为(－3)0＝1，，故．10．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝_________．答案：【解析】本题考查平行线分线段成比例，难度较小．因为DE∥AC，所以，即，解得．11．如图，直线y＝kx与双曲线(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_________．答案：2 【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题，难度较小．点A在双曲线上，所以1×a＝2，则a＝2，点A(1，2)，又点A(1，2)在y＝kx上，所以k＝2．12．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________．答案：y3＞y1＞y2【解析】本题考查二次函数函数值的大小比较，难度较小．将A，B，C三点的坐标分别代入函数解析式得y1＝(4－2)2－1＝3，，y3＝(－2－2)2－1＝15，所以y3＞y1＞y2．13．现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是_________．答案：【解析】本题考查用列表法或画树状图求概率，难度较小．列表如下：共有16种等可能的情形，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E．以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为_________．答案：【解析】本题考查扇形的面积及直角三角形的性质，难度中等．连接OE，因为点C为OA的中点，OA＝2，所以OC＝1．在Rt△OCE中，可证∠EOC＝60°，，，，，所以．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为_________．答案：16或【解析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质，难度较大．本题分两种情况：（1）如图1，若DB′＝DC，则DB′＝DC＝16；（2）如图2，若DB′＝CB′，过B′作MN⊥CD于点M，交AB于点N，则CM＝DM＝8＝BN，又AE＝3，则BE＝13，所以EN＝5，由翻折可知EB′＝13，在Rt△EB′N中，可求NB′＝12，所以B′M＝4，在Rt△DB′M 中，．综上，DB′的长为16或．【易错分析】本题要注意分类讨论，画出符合条件的图形很重要．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中．答案：本题考查分式的化简求值，难度较小．解：（4分），（6分）当，时，．（8分）17．（本小题满分9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________；②连接OD，当∠PBA的度数为_________时，四边形BPDO是菱形．答案：本题考查全等三角形的判定与性质、菱形的判定、面积最值问题，难度中等．解：（1）证明：∵D是AC的中点，且PC＝PB，∴DP∥AB，，∴∠CPD＝∠PBO．（3分）∴，∴OP＝OB，∴△CDP≌△POB．（5分）（2）①4．（7分）②60°．（注：若填为60，不扣分）（9分）18．（本小题满分9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．调查结果扇形统计图调查结果条形统计图根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是_________；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是_________；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．答案：本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，难度较小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：（1）1000．（2分）（2）54°．（注：若填为54，不扣分）（4分）（3）（按人数为100正确补全条形统计图）．（6分）（4）80×(26%＋40%)＝80×66%＝52.8（万人），所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为52.8万人．（9分）19．（本小题满分9分）已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．答案：本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，难度较小．解：（1）证明：原方程可化为x2－5x＋6－|m|＝0，（1分）∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|．（3分）∵|m|≥0，∴1＋4|m|＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（4分）（2）把x＝1代入原方程得|m|＝2，∴m＝±2．（6分）把|m|＝2代入原方程，整理得x2－5x＋4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴m的值为±2，方程的另一个根是4．（9分）20．（本小题满分9分）如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数．参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）答案：本题考查解直角三角形的应用，构造符合条件的直角三角形，利用直角三角形的性质解题是关键，难度较小．解：延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．由题意知∠DAE＝∠BGA＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴，∴．（2分）设BC的长为x米．在Rt△GBC中，．（4分）在Rt△ABC中，．（6分）∵GC－AC＝GA，∴，（8分）∴x≈13，即大树的高度约为13米．（9分）21．（本小题满分10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数，设游泳x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．答案：本题考查列函数关系式、一次函数图象的理解及应用、方案选择问题，难度中等．解：（1）银卡：y＝10x＋150；（1分）普通票：y＝20x．（2分）（2）把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150，∴A(0，150)．（3分）由题意知∴∴B(15，300)．（4分）把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45，∴C(45，600)．（5分）（3）当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；（注：若写为0≤x＜15，不扣分）当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，选择购买金卡更合算．（10分）22．（本小题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝_________；②当α＝180°时，＝_________．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．答案：本题考查旋转的性质、三角形中位线性质、平行线分线段成比例、勾股定理、相似三角形的应用等，考查考生的阅读理解能力，分类讨论能力，逻辑推理能力，难度较大．解：（1）①；（1分）②．（2分）（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）（3分）在图1中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB．∴，∠EDC＝∠B＝90°．如图2，∵△EDC在旋转过程中形状、大小均不变，∴仍然成立．（4分）又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴．（6分）在Rt△ABC中，，∴，∴，∴的大小不变．（8分）（3）或．（10分）【提示】当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴；当△EDC在BC的下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝8，∴AE＝6，根据可求得．23．（本小题满分11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P 是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．答案：本题考查抛物线的解析式、动点问题、面积的计算、周长最值问题、点的存在性等，考查考生的阅读理解能力，逻辑推理能力，难度较大．解：（1）抛物线解析式为．（3分）（2）正确，理由如下：设，则．（4分）过点P作PM⊥y轴于点M，则，∴，（6分）∴，∴猜想正确．（7分）（3）“好点”共有11个；（9分）当点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小，此时点P，E的横坐标都为－4，将x＝－4代入，得y＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)．（11分）【提示】△PDE的面积．由－8≤x≤0，知4≤S≤13，所以S的整数值有10个．由函数图象知，当S＝12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个．综评：本套试卷在试卷结构、知识内容、题型、题量、难度等方面总体保持稳定，重视对基础的考查，适度兼顾区分，体现了对数学知识价值反映和解决简单问题能力的要求．整卷具有以下几个特点：（1）突出基础，试题考查了“图形与几何、数与运算、代数与方程、函数与分析、统计与概率初步”等初中阶段重要的数学基础知识，体现对教材内容和教学重点的关注．（2）关注应用，如第6，13，18，20，21题适度体现数学的应用价值．（3）适度区分，容易题、中档题、较难题的分值配比为7:2:1，中档题和较难题分散在不同试题中，有利于合理考查考生解决问题过程的认知水平差异．本试题适合中期复习后的检测．。

2015年湖南省长沙市南雅中学⾼中⾃主招⽣考试数学试卷及详细试卷解析2015年湖南省长沙市南雅中学⾼中⾃主招⽣考试数学试卷（2）⼀、选择题（本⼤题共8题，每⼩题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．（4分）向如图所⽰的正三⾓形区域扔沙包（区域中每⼀个⼩正三⾓形除颜⾊外完全相同），假设沙包击中每⼀个⼩三⾓形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．3．（4分）已知m、n是⽅程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9B．±3C．3D．54．（4分）在如图所⽰的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：⼩芳离开家不久，发现把作业本忘在家⾥，于是返回了家⾥找到了作业本再去学校；情境b：⼩芳从家出发，⾛了⼀段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．（4分）如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．46．（4分）若关于x的⽅程⽆解，则a的值为（）A．或﹣2B．或﹣1C．或﹣2或﹣1D．﹣2或﹣17．（4分）已知，，，那么a，b，c的⼤⼩关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 8．（4分）已知，在⾯积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的⼀动点，Q是边BC上的任意⼀点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF⾯积的最⼤值是（）A．B．C．D．⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分）9．（5分）计算：=．10．（5分）规定⽤符号[m]表⽰⼀个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为．11．（5分）定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述⾓的余切概念，则ctan30°=．12．（5分）如图，⼀次函数y1=ax+b（a≠0）与反⽐例函数的图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．13．（5分）已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．14．（5分）若⼀次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则⼀次函数的解析式为．15．（5分）如图，平⾯直⾓坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平⾯直⾓坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．16．（5分）在正⽅形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．三、解答题（本⼤题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买⼀定数量的两⼈学习桌和三⼈学习桌，如果购买3张两⼈学习桌，1张三⼈学习桌需220元；如果购买2张两⼈学习桌，3张三⼈学习桌需310元．（1）求两⼈学习桌和三⼈学习桌的单价；（2）学校欲投⼊资⾦不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以⾄少满⾜248名学⽣的需求，设购买两⼈学习桌x张，购买两⼈学习桌和三⼈学习桌的总费⽤为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买⽅案．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满⾜不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表⽰为[a，b]．对于任何⼀个⼆次函数，它在给定的闭区间上都有最⼩值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最⼩值是（2）求函数在区间上的最⼩值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最⼩值y min 的解析式．19．（10分）如图，P为等边△ABC内⼀点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为⼤于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的⾯积．20．（16分）已知：如图，在直⾓梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上⼀点，以BE为边作正⽅形BEFG，使正⽅形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正⽅形的顶点F恰好落在对⾓线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正⽅形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正⽅形BEFC为正⽅形B′EFG，当点E与点C重合时停⽌平移．设平移的距离为t，正⽅形B′EFG 的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM 是直⾓三⾓形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正⽅形B′EFG与△ADC重叠部分的⾯积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及⾃变量t的取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学⾼中⾃主招⽣考试数学试卷（2）参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8题，每⼩题4分，共32分）1．（4分）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【分析】根据幂的乘⽅⾸先进⾏化简，再利⽤同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘⽅和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．2．（4分）向如图所⽰的正三⾓形区域扔沙包（区域中每⼀个⼩正三⾓形除颜⾊外完全相同），假设沙包击中每⼀个⼩三⾓形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．【分析】求出阴影部分的⾯积与三⾓形的⾯积的⽐值即可解答．【解答】解：因为阴影部分的⾯积与三⾓形的⾯积的⽐值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故选：C．【点评】本题考查⼏何概率的求法：⾸先根据题意将代数关系⽤⾯积表⽰出来，⼀般⽤阴影区域表⽰所求事件（A）；然后计算阴影区域的⾯积在总⾯积中占的⽐例，这个⽐例即事件（A）发⽣的概率．3．（4分）已知m、n是⽅程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9B．±3C．3D．5【分析】根据⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代⼊计算即可．【解答】解：∵m、n是⽅程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选：C．【点评】本题考查了⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若⽅程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了⼆次根式的化简求值．4．（4分）在如图所⽰的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：⼩芳离开家不久，发现把作业本忘在家⾥，于是返回了家⾥找到了作业本再去学校；情境b：⼩芳从家出发，⾛了⼀段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【分析】根据图象，⼀段⼀段的分析，再⼀个⼀个的排除，即可得出答案；【解答】解：∵情境a：⼩芳离开家不久，即离家⼀段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家⾥，于是返回了家⾥找到了作业本，即⼜返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，⼜去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：⼩芳从家出发，⾛了⼀段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选：D．【点评】此题考查函数图象问题，主要考查学⽣的观察图象的能⼒，同时也考查了学⽣的叙述能⼒，⽤了数形结合思想，题型⽐较好，但是⼀道⽐较容易出错的题⽬．5．（4分）如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选：B．【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运⽤这种变形⽅法．6．（4分）若关于x的⽅程⽆解，则a的值为（）A．或﹣2B．或﹣1C．或﹣2或﹣1D．﹣2或﹣1【分析】先去分母得到关于x的整式⽅程，然后根据分式⽅程⽆解得到关于a的⽅程，从⽽求得a的值．【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式⽅程⽆解；当a+1≠0时，x=．当x=1时，=1．解得：a=﹣，此时分式⽅程⽆解；当x=2时，=2，解得：a=﹣2，此时分式⽅程⽆解．故选：C．【点评】本题主要考查的是分式⽅程的解，掌握分式⽅程⽆解的条件是解题的关键．7．（4分）已知，，，那么a，b，c的⼤⼩关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】利⽤作差法⽐较a和b、b和c、a和c的⼤⼩，再⽐较a、b、c三者的⼤⼩．【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选：B．【点评】此题主要考查了实数的⼤⼩的⽐较，其中⽐较两个实数的⼤⼩，可以采⽤作差法、取近似值法、⽐较n次⽅的⽅法等．实数⼤⼩⽐较法则：（1）正数⼤于0，0⼤于负数，正数⼤于负数；（2）两个负数，绝对值⼤的反⽽⼩．8．（4分）已知，在⾯积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的⼀动点，Q是边BC上的任意⼀点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF⾯积的最⼤值是（）A．B．C．D．=y．根据平⾏线的性质、全等三⾓形的判定及相似三⾓【分析】设PD=x，S△PEF形的判定，证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三⾓形的⾯积⽐是相似⽐的平⽅，再由三⾓形AQD与梯形ABCD的⾯积公式求得梯形的⾼，代⼊S=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的⼆次函数⽅△PEF程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF⾯积最⼤值．【解答】解：设PD=x，S=y，S△AQD=z，梯形ABCD的⾼为h，△PEF∵AD=3，BC=4，梯形ABCD⾯积为7，∴，解得：，∵PE∥DQ，∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，⼜∵PF∥AQ，∴∠PFD=∠EQF，∴∠EPF=∠EQF，∵EF=FE，∴△PEF≌△QFE（AAS），∵PE∥DQ，∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，∴=（）2，=（）2，=3，∵S△AQD∴S △DPF =x 2，S △APE =（3﹣x ）2，∴S △PEF =（S △AQD ﹣S △DPF ﹣S △APE ）÷2，∴y=[3﹣x 2﹣（3﹣x ）2]×=﹣x 2+x ，∵y 最⼤值==，即y 最⼤值=．∴△PEF ⾯积最⼤值是，故选：D ．【点评】本题综合考查了⼆次函数的最值、三⾓形的⾯积、梯形的⾯积以及相似三⾓形的判定与性质，熟练掌握相似三⾓形的判定与性质及⽤含x 的代数式表⽰出三⾓形的⾯积是解题的关键．⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分） 9．（5分）计算：= 2﹣2 ．【分析】先利⽤⼆次根式的除法法则和分母有理化计算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．【点评】本题考查了⼆次根式的计算：先把各⼆次根式化为最简⼆次根式，再进⾏⼆次根式的乘除运算，然后合并同类⼆次根式．在⼆次根式的混合运算中，如能结合题⽬特点，灵活运⽤⼆次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．（5分）规定⽤符号[m ]表⽰⼀个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为 3 ．【分析】先据算出的⼤⼩，然后求得7﹣的范围，从⽽可求得的值．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故的值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是⽆算⽆理数的⼤⼩，估算出的范围是解题的关键．11．（5分）定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述⾓的余切概念，则ctan30°=．【分析】根据在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，可得答案．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．【点评】本题考查了锐⾓三⾓函数的定义，在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切．12．（5分）如图，⼀次函数y1=ax+b（a≠0）与反⽐例函数的图象交于A （1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4．【分析】根据图形，找出⼀次函数图象在反⽐例函数图象上⽅的x的取值范围即可．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，⼀次函数图象在反⽐例函数图象上⽅，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反⽐例函数⼀次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，⼀次函数图象在第⼆象限，反⽐例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视⽽导致出错的地⽅．13．（5分）已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．【分析】表⽰出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定出m与n的值，原式第⼆项利⽤除法法则变形，约分后两项通分并利⽤同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m与n的值代⼊计算即可求出值．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣?=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及⼀元⼀次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（5分）若⼀次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则⼀次函数的解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3．【分析】根据⼀次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进⾏分类讨论k⼤于0还是⼩于0，列出⼆元⼀次⽅程组求出k和b的值．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求的函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．【点评】本题主要考查待定系数法求⼀次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握⼀次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不⼤．15．（5分）如图，平⾯直⾓坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平⾯直⾓坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【分析】根据轴对称图形的定义：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进⾏移动可得到点的坐标，注意考虑全⾯．【解答】解：如图所⽰：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了利⽤轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．16．（5分）在正⽅形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三⾓形，然后由相似三⾓形的性质进⾏计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM?BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代⼊①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解⽅程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．【点评】本题考查的是解直⾓三⾓形，运⽤正⽅形的性质，根据题⽬中⾓的关系，判断两个三⾓形相似，然后⽤相似三⾓形的性质进⾏计算，求出直⾓三⾓形中边的长度，再⽤正切的定义求出⾓的正切值．三、解答题（本⼤题共4道题，共48分）17．（10分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买⼀定数量的两⼈学习桌和三⼈学习桌，如果购买3张两⼈学习桌，1张三⼈学习桌需220元；如果购买2张两⼈学习桌，3张三⼈学习桌需310元．（1）求两⼈学习桌和三⼈学习桌的单价；（2）学校欲投⼊资⾦不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以⾄少满⾜248名学⽣的需求，设购买两⼈学习桌x张，购买两⼈学习桌和三⼈学习桌的总费⽤为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买⽅案．【分析】（1）设每张两⼈学习桌单价为a元和每张三⼈学习桌单价为b元，根据如果购买3张两⼈学习桌，1张三⼈学习桌需220元；如果购买2张两⼈学习桌，3张三⼈学习桌需310元分别得出等式⽅程，组成⽅程组求出即可；（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两⼈学习桌x张，则购买3⼈学习桌（98﹣x）张，根据以⾄少满⾜248名学⽣的需求，以及学校欲投⼊资⾦不超过6000元得出不等式，进⽽求出即可．【解答】解：（1）设每张两⼈学习桌单价为a元和每张三⼈学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两⼈学习桌和三⼈学习桌的单价分别为50元，70元；（2）设购买两⼈学习桌x张，则购买3⼈学习桌（98﹣x）张，购买两⼈学习桌和三⼈学习桌的总费⽤为W 元，则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组的解集为：43≤x≤46，故所有购买⽅案为：当购买两⼈桌43张时，购买三⼈桌55张，当购买两⼈桌44张时，购买三⼈桌54张，当购买两⼈桌45张时，购买三⼈桌53张，当购买两⼈桌46张时，购买三⼈桌52张．【点评】此题主要考查了⼆元⼀次⽅程组的应⽤以及不等式组的应⽤，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进⽽找到所求的量的等量关系和不等关系．18．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满⾜不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表⽰为[a，b]．对于任何⼀个⼆次函数，它在给定的闭区间上都有最⼩值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最⼩值是﹣7（2）求函数在区间上的最⼩值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最⼩值y min 的解析式．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的⼤致图象，根据函数图象可知当x=﹣5时，函数值最⼩；（2）先画出函数的⼤致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最⼩；（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t﹣2，t﹣1]的左侧、区间内、区间右侧分类讨论即可．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开⼝向下．函数图⼤致象如图1所⽰：当x=5时，函数有最⼩值，最⼩值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开⼝向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所⽰．当x=0时，函数y有最⼩值．（3）将⼆次函数配⽅得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开⼝向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最⼩值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最⼩值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最⼩值：综上讨论，得．【点评】本题主要考查的是⼆次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进⾏分类讨论是解题的关键．19．（10分）如图，P为等边△ABC内⼀点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为⼤于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的⾯积．【分析】由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三⾓形的边长是a，∠PAC=60°﹣Q，根据锐⾓三⾓函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°﹣Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三⾓形的⾯积公式即可求出答案．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为⼤于5的实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三⾓形的边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）⽽cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代⼊（3）得：﹣=，。