复变函数与积分变换第一章习题课.

第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+ (2);(1)(2)ii i --解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i ii i i i i i +-====+----+-(3)1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y yi z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b caz z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+ 解: sin cos 1,i αα+= 故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sincos.66i ππ--解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=-s i n c o s 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin.3333i i ππππ-+-=- 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线?(1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周.(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=- 若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.第二章 解析函数1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z zz∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re limz z z z z z z z∆→∆+∆+∆∆=∆0Re lim(Re Re )z zz z z z∆→∆=+∆+∆ 000Re lim(Re )lim(Re ),z x y z xz zz z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1)(,).az bc d cz d++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点,222()()()()()()()()().()()az bf z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()af z d'=. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z x y ∂∂'+=∂∂证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().u uu u f z i f z x y x y∂∂∂∂''=-=+∂∂∂∂ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y u u v v u u v v u v uv xx x x y y y y∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v vu v x yx y∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂则22222222()|()|4(()())4|()|.u uf z f z x y x y∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .px pxx pxpx y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pφφ===+'=-+=-⎰⎰所以11()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p pφφ'=-=-+即(,)cos ,px u x y pe y C =+故(cos sin ),1,()(cos sin ),1.x z xze y i y C e C pf z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩9．求下列各式的值。

第⼀章复变函数习题及解答第⼀章复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐⾓以及辐⾓的主值；并分别写成代数形式，三⾓形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)（1）1-；（2）ππ2(cosisin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1ie +；（5）i sin R e θ；（6）i +答案（1）实部－1；虚部 2；辐⾓为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐⾓为4π3；原题即为代数形式；三⾓形式为4π4π2(cosisin )33+；指数形式为4πi 32e ．（2）略为5πi 35π5π2[cossin ], 233i e +（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+（6）该复数取两个值θθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1）()103i 1+-；2）()31i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi632e0,1,2k +=；1.3计算下列复数（1 （2答案（1（2）(/62/3)i n eππ+1.4 已知x【解】令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平⽅得到2212()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+即实部为 ,x ±虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值．1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以1()()1||||||||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++1.6 如果复数b a i +是实系数⽅程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -⼀定也是该⽅程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()kkz z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()()00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本⾝即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这⼀点在代数学中早已被⼤家认识．特别地，奇次实系数多项式⾄少有⼀个实零点．1.7 证明：2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其⼏何意义． 1.8 若 (1)(1)n ni i +=-，试求n 的值.【解】因为 244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n n nnnnn n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式（1） cos5θ；（2）sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明：如果 w 是1的n 次⽅根中的⼀个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有2110n -++++=w w w1.11 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成⽴。

《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换学习指导（第⼀章）第⼀章复数与复变函数本章⾸先引⼊复数域与复平⾯的概念，其次引⼊复平⾯上的点集、区域、Jordan曲线以及复变函数的极限与连续等概念。

第⼀节复数⼀.复数的表⽰1.2.欧拉公式3.虚数纯虚数且4.模辐⾓主辐⾓5. 与的关系当时，例1 求及解注意：⼀般有两种含义，⼀种是指⾮零复数⽆穷多辐⾓中的⼀⼆.复数的运算复数可以看作与复平⾯上的点对应,也可以看作是与平⾯上的向量相对应。

1.加法（遵循平⾏四边形法则）2.减法（遵循三⾓形法则）3.乘法设4.除法5.乘⽅注意：6.开⽅(即求的根)例2计算解故故例3 解⽅程解由有故三.共轭复数2.3.4.例P38.4证明并说明其⼏何意义。

证⼏何意义:平⾏四边形两条对⾓线长的平⽅和等于四条边长的平⽅和。

例P38.5设三点适合条件及试证是⼀个内接于单位圆周的正三⾓形的顶点。

证由知,位于单位圆周上,故只须证为正三⾓形的顶点即可。

由得⼜（由上题结论知），故即。

同理可得，故得证。

四.常⽤不等式1.2.1.过的直线的实⽅程为当时，表⽰之间的直线段，因此的直线段的复⽅程为过的直线的复⽅程为2. 三点共线3. 的中垂线⽅程为。

4.以为⼼，为半径的圆周⽅程为。

例P35.7证明：复平⾯上的直线⽅程可写成其中为⾮零复常数，为实常数。

证任给实直线⽅程令代⼊化简得令即得反之，设有⽅程令试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在复平⾯上处处连续。

证1）当时，⽆意义，故在原点不连续。

2）若为负实数，则，当由负实轴的下⽅趋于时,故在负实轴上任意⼀点上都不连续；3）对任意且不在负实轴上，，取中⼼在,不包含负实轴上的点，但整个包含在张⾓为的⾓形内的最⼤圆,半径当时,总有第⼆节复平⾯上的点集⼀.基本概念1.的的邻域。

2.的去⼼邻域——。

3.内点——若有⼀个邻域全含于，则为的内点。

4.外点——若且不是的聚点。

5.边界点——若的任意邻域内既有属于的点⼜有不属于的点，则为的边界点。

1、 指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通域还是多连通域？ (1) 32<<z (2) 31<z (3) 313arg 4<<<<z z 且；
ππ (4) 21Im <>z z 且；
解：（1） 该区域是有界多连通域，为下图阴影部分。

（2）该区域是无界多连通域，为下图阴影部分。

( 3 ) 该区域是有界单连通域，为下图阴影部分。

（4）该区域是有界单连通域，为下图阴影部分。

2、 设
⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=,0,0,0,)(22z z y x y x z f 试证)(z f 在0=z 不连续。

证明： 若z 沿直线kx y =趋于0，则
()()()()()2
022220220,0,0,0,1lim lim lim lim k k x k x kx y x xy z f x x y x y x +=+=+=→→→→， 因该极限随k 的不同而不同，所以当()()0,0,→y x 时，()z f 的极限不存在。

而根据连续性的定义，只有当该极限存在并且极限值等于该函数在此处的函数值时，才认为函数在该点处连续，所以说)(z f 在0=z 不连续。

第一章习题详解1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)i231+ 解：()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部：133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im共轭复数：1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+ 模：1311323231222=+=+i辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) ii i --131解：()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--实部：23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛-- 模：234434253131222==+=--iii 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解：()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i ii +-2184解：i i i i ii 31414218-=+-=+-实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i ii Im共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i ii辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2． 当x 、y 等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。

复变函数习题解答(第1章)p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]13. 试证arg z ( -π arg z ≤π )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．记f(z) = arg z，D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}，D1 = { z∈ | Re(z) 0}，D2 = { z∈ | Im(z) 0}，D3 = { z∈ | Im(z) 0}．(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续．(2) 设a∈ ，且a 0．则f(a) = π．考察点列z n = | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π))，n∈ +．显然，-π 1/n-π≤π，故f(z n) = 1/n-π．而lim n→∞z n = lim n→∞( | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π)) ) = a，但lim n→∞f(z n) = lim n→∞(1/n-π) = -π≠f(a)．故f(z)在a处不连续．(3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y∈ ．(3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)∈ 2 | x 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)∈ 2| y 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) -π，因arccot(x/y) -π是{(x, y)∈ 2 | y 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．(4) 最后证明f(z)是D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}上的连续函数．?a∈D，因为D = D1?D2?D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a∈D k．因D k是开集故存在r 0，使得U r(a) = { z∈ | | z Ca | r } ?D k．根据(3)，f(z)在D k上是连续的，故?ε 0，?η 0，使得?z∈D k，当| zCa | η时，| f(z) -f(a) | ε．设δ= min { r, η}，则?z∈D，当| zCa | δ时，z∈U r(a) ?D k，又因| zCa | δ η，故必有| f(z) -f(a) | ε．所以，f在a处连续．由a的任意性，f(z)是上的连续函数．[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出θ(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：θx = y/(x2 + y2)，θy = -x/(x2 + y2)．证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A?B上也连续．问题：若f在区域A, B上都连续，且A ?B ≠?，问f在A?B 上是否必连续？] 16. 试问函数f(z) = 1/(1 Cz )在单位圆| z | 1内是否连续？是否一致连续？(1) f(z)在单位圆| z | 1内连续．因为z在内连续，故f(z) = 1/(1 Cz )在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续．令z n= 1 C 1/n，w n= 1 C 1/(n + 1)，n∈ +．则z n, w n都在单位圆| z | 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 0，故f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 Cx )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 Re(z) 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(?) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则?ε 0，?N∈ +，使得?n N，有| z n -z0| ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(?) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则?ε 0，?N1∈ +，使得?n N1，有| x n -x0| ε/2；?N2∈ +，使得?n N2，有| y n -y0| ε/2．令N = max{N1, N2}，则?n N，有n N1且n N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？(1) ?ε 0，?K∈ +，使得?n K，有| z n -z0| ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故?L∈ +，使得?n L，有M/n ε/2．令N = max{K, L}，则当n K时，有23 | (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 ε /2 + ε /2 = ε．所以，lim n →∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n n ，n ∈ +．显然lim n →∞ z n = ∞．但?k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2，因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭)此题应该要求b * z + a * ≠ 0．| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | | z | = | (a * z * + b *) z | = | a * z * z + b * z | = | a * | z |2 + b * z | = | b * z + a * |．故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为1*****w z w z w z = 0．两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如z'z 312我们将采用下述的观点来证明：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转．记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)；那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似4 ? 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ，使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}? 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3) ? (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)? 13131212w w z z w w z z ----= 0? 111***-*****12w w z z w w z z ----= 011*****w z w z w z = 0．[证完]9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2) : (z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)为实数．在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．这是射影几何中的重要的不变量．类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 C z 3)/(z 2 C z 3) : (z 1 C z 4)/(z 2 C z 4)．本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数．(?) 分两种情况讨论(1) 若(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)为实数，则(z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)也是实数．设(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 C t )z 1 + t z 2，故z 4在z 1, z 2所确定的直线上，即z 1, z 2, z 4共线．因此，同理，z 1, z 2, z 3也共线．所以，z 1, z 2, z 3, z 4是(2) 若(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)为虚数，则(z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)也是虚数．故Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) ≠ k π，Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) ≠ k π．而Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) C Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) = Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2) : (z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) = k π．注意到Arg ((z C z 4)/(z C z 2)) = Arg ((z 4 C z )/(z 2 C z ))是z 2 C z 到z 4 C z 的正向夹角，若Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) = Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2))，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的同侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小相同，故z 1, z 2, z 3, z 4是共圆的．若Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) = Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) + π，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的异侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小互补，故z 1, z 2, z 3, z 4也是共圆的．(?) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得z4 = (1 Cs)z3 + s z2，z4 = (1 Ct)z1 + t z2，那么，z3Cz4 = s (z3 Cz2)，即(z3Cz4)/(z3Cz2) = s；而z1Cz4 = t (z1 Cz2)，即(z1Cz4)/(z1Cz2) = t，所以，(z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2) = t/s∈ ．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg ((z4Cz1)/(z2Cz1)) = Arg ((z4Cz3)/(z2Cz3))因此(z4Cz1)/(z2Cz1) : (z4Cz3)/(z2Cz3)是实数．也就是说(z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2)是实数．若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg ((z4Cz1)/(z2Cz1)) + Arg ((z2Cz3)/(z4Cz3)) = (2k + 1)π，故Arg ((z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2))= Arg ((z1Cz4)/(z1Cz2)) C Arg ((z3Cz4)/(z3Cz2))= Arg ((z1Cz4)/(z1Cz2)) + Arg ((z3Cz2)/(z3Cz4))= Arg ((z4Cz1)/(z2Cz1)) + Arg ((z2Cz3)/(z4Cz3)) = (2k + 1)π，所以，(z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2)仍为实数．[证完]这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius 圆．设0 k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．?z∈ ，| z -z0 | = ρ?| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |?| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |?| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|?| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|?| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |?| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2?| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2?(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2?| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2?| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | w /| w| - | w| z /| z| | = | w -z |．证明：我们用z*表示复数z的共轭．| | z | w /| w| - | w| z /| z| |2= | | z | w /| w| |2 + | | w| z /| z| |2- 2Re[( | z | w /| w|) (| w| z /| z|)* ]= | z |2 + | w|2- 2Re( w z* ) = | w -z |2．5或更直接地，| | z | w /| w| - | w| z /| z| |= | | z | w /| w| - | w| z /| z| | | z*/| z| | | w*/| w| |= | (| z | w /| w| - | w| z /| z|) (z*/| z|) (w*/| w|) |= | (| z | (z*/| z|) - | w| (w*/| w|)) | = | w -z |．12. 试证：Re(z) 0 ? | (1 -z)/(1 + z) | 1，并能从几何意义上来读本题．Re(z) 0 ?点z在y轴右侧?点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧?点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧?点z到点-1的距离大于点z到点1的距离?|1 + z | | 1 -z | ?| (1 -z)/(1 + z) | 1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, y∈ ．| (1 -z)/(1 + z) | 1 ?|1 + z | | 1 -z | ?|1 + z |2 | 1 -z |2? 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2- 2Re(z) ?Re(z) 0．[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]???-?±≠≥?≤≡??αβχδεφγηι?κλμνοπθρστυ?ωξψζ∞????? ?∏∑? ⊥∠ √§ψ∈???????∠?????§ #?→←↑↓?∨∧??????∑ΓΦΛΩ??m∈ +，?m∈ +，★?α1, α2, ..., αn?lim n→∞，+n→∞?ε 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，?ε 0，?δ 0，?[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。