2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题8 平面解析几何》(解析版)

高考资源网（ ），您身边的高考专家第八章 平面解析几何一．基础题组1.【浙江省杭州市 2018 届高三上学期期末】双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为（ ） 4A. y 1 x 2【答案】BB. y 2xC. y 3 x 2D. y 5 x 2【解析】由双曲线 x2 y2 1得 a 1，b 2 ，所以渐近线方程为 y 2x ， 4故选 B .2.【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】设点P是双曲线x a2 2y2 b2 1(a 0,b 0) 与圆x2 y2 a2 b2 在第一象限的交点， F1, F2 是双曲线的两个焦点，且 2 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率为A. 13B. 13 2【答案】AC. 13D. 13 2点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式，再根 据 a,b, c 的关系消掉 b 得到 a, c 的关系式，而建立关于 a,b, c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 【浙江省嘉兴市 2018 届高三上学期期末】点 1,0 到直线 x y 1 0 的距离是A. 2B. 2 2【答案】AC. 1 D. 1 2欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家【解析】点 1,0 到直线 x y 1 0 的距离是 1 0 1 2 ,选 A.24. 【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末】已知焦点在 y 轴上的椭圆 x2 y2 1 的离心率为 1 ，则实数4m2m 等于（ ） A. 3 B. 165【答案】DC. 5 D. 16 3【解析】 x2 y2 1是焦点在 y 轴上的椭圆， a m, b 2, c m 4 ，离心率 4me c m 4 1 ，得 m 16 ，故选 D.a m235.【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末】已知双曲线 C 的渐近线方程是 y 2 2x ，右焦点 F 3,0 ，则双曲线 C 的方程为_________，又若点 N 0,6 ， M 是双曲线 C 的左支上一点，则 FMN 周长的最小值为__________．【答案】 x2 y2 1 6 5 2 8【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问 题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角 函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用双曲线的定义结合三角形的 性质求三角形周长最小值的.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考试题分项解析数学〔理科〕专题08立体几何〔学生〕一、选择题:1.(2021年高考卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为〔〕A ．12ππππ2.(2021年高考卷理科7)某三棱锥的三视图如下列图，该三梭锥的外表积是〔〕3.(2021年高考卷理科4)一个几何体的三视图形状都一样，大小均相等，那么这个几何体不可以是〔〕A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．(2021年高考卷理科10)矩形ABCD ，AB ＝1，BC ∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进展翻着，在翻着过程中，〔〕A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD 〞，“AB 与CD 〞，“AD 与BC 〞均不垂直7.(2021年高考卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，那么该几何体的俯视图不可能是〔〕8.(2021年高考全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔〕9.(2021年高考全国卷理科11)三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；那么此棱锥的体积为〔〕10．(2021年高考卷理科10)如右图，正四棱锥SABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两局部，记(01),SE x x =<<截面下面局部的体积为(),V x 那么函数()y V x =的图像大致为〔〕11.(2021年高考卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥那么“αβ⊥〞是“a b ⊥〞的〔〕 ()A 充分不必要条件()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件13.(2021年高考卷理科6)〕A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B 、假设一个平面内有三个点到另一个平面的间隔相等，那么这两个平面平行C 、假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D 、假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行15．(2021年高考全国卷理科4)正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22,AB CC E ==为1CC 的中点，那么直线1AC 与平面BED 的间隔为〔〕A ．2B 3C 2D ．116.(2021年高考卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 2的棱异面，那么a 的取值范围是〔〕〔A 〕2)〔B 〕3)〔C 〕2)〔D 〕3)二、填空题:2.(2021年高考卷理科16)正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 3PA ， PB ，PC 两两互相垂直，那么球心到截面ABC 的间隔为_______.3．〔2021年高考卷7〕如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，那么四棱锥D D BB A 11-的体积为cm 3.4.(2021年高考卷理科10)―个几何体的三视图如下列图(单位：m )，那么该几何体的体积为3m .8．(2021年高考卷理科8)假设一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，那么该圆锥的体积为.9．(2021年高考卷理科14)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，假设c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，那么四面体ABCD 的体积的最大值是.11.(2021年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA 1=CAA 1=60°那么异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.三、解答题:2.(2021年高考卷理科18)〔本小题总分值是13分〕如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

一．基础题组1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】双曲线的一条渐近线方程为，则正实数的值为（）A．9 B．3 C．D．【答案】D【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，即可得到结果【详解】2. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，则满足的点的轨迹的圆心为____________，面积为____________.【答案】【解析】【分析】由阿波罗尼斯圆求出点的轨迹的圆的方程，就可以得到圆心坐标和圆面积【详解】设，即化简可得故圆心坐标为面积为【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆，即一动点到两定点的距离之比是个常数时其轨迹是圆，运用两点间的距离公式就可以求出圆的标准方程，从而得到结果.3.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，已知椭圆，双曲线，若以为长轴的直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则且，根据这个关系我们能得到的坐标，从而得到的大小．详解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为且设，其中则，故，所以，也就是，所以，选A．点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．4. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为_____________.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，是线段的两个三等分点，则线段的中点与线段的中点重合，得到关系式求出斜率【详解】由题意，设直线的方程为，，则，联立椭圆方程可得，由韦达定理可得，，是线段的两个三等分点线段的中点与线段的中点重合，解得故答案为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题目中“是线段的两个三等分点”出发，联立直线方程与椭圆方程，求得线段中点坐标，得到方程求出结果，解题关键是找出相等的量。

专题08平面解析几何（解答题）近三年高考真题1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,2的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【解析】（1）设点P 点坐标为(,)x y ，由题意得||y ，两边平方可得：22214y x y y ，化简得：214y x，符合题意．故W 的方程为214y x．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB BC ．设21(,)4A a a ，21(,)4B b b ，21(,4C c c ，则22(,)AB b a b a ，22(,)BC c b c b．由题意，0AB BC，即2222()()()()0b a c b b a c b ，显然()()0b a c b ，于是1()()0b a c b ．此时，||b a ．||1c b ．于是{||min b a ，||}1c b ．不妨设||1c b ，则1a b b c，则||||||||AB BC b a c b||b a c b|||b a c b||c a1|b c b c设||x b c，则1()(f x x x 322(1)()x f x x ，又11222222222(1)(31)(1)(21)()x x x x x f x x x．显然，2x为最小值点．故()(2f x f 故矩形ABCD的周长为2(||||)2()AB BC f x ．注意这里有两个取等条件，一个是||1b c，另一个是||b c ，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A ，B ，D 在抛物线W 上，C 不在抛物线W上，欲证命题为||||2AB AD ．由图象的平移可知，将抛物线W 看作2y x 不影响问题的证明．设(A a ，2)(0)a a ，平移坐标系使A 为坐标原点，则新抛物线方程为22y x ax ，写为极坐标方程，即22sin cos 2cos a ，即2sin 2cos cos a．欲证明的结论为22sin()2cos()sin 2cos 3322||||cos 2cos ()2a a ，也即222sin 2cos ||||cos cos sin sin a a ．不妨设22||||cos sin，将不等式左边看成关于a 的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当22sin 0cos cos a 即sin 2cos a时取得，因此欲证不等式为21cos ||cos sin，即21||cos sin ，根据均值不等式，有2|cos sin |由题意，等号不成立，故原命题得证．2．（2023•上海）已知抛物线2:4y x ，在 上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a ．（1）若A 到抛物线 准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a 时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线 上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线:3l x ，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为Q ．若在P 的位置变化过程中，||4HQ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）抛物线2:4y x 的准线为1x ，由于A 到抛物线 准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a ，解得a ；（2）当4a 时，点A 的横坐标为2444，则(4,4)A ，设(,0)B b ，则AB 的中点为4(,2)2b ，由题意可得24242b ，解得2b ，所以(2,0)B ，则402423AB k，由点斜式可得，直线AB 的方程为2(2)3y x ，即2340x y ，所以原点O 到直线AB13；（3）如图，设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t A a H t t a ，则22444AP t a k t a t a，故直线AP 的方程为24()4a y a x t a，令3x ，可得24(3)4a y a t a ，即24(3,(3))4a Q a t a，则24|||(3)|4a HQ t a t a，依题意，24|(3)|44a t a t a恒成立，又24(3)2204a t a a a t a ，则最小值为24a ，即2a ，即2a ，则221244a a a ，解得02a ，又当2a 时，1624442t t，当且仅当2t 时等号成立，而a t ，即当2a 时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(0，2]．3．（2022•上海）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a b，直线:0l x y ， 下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F ，0)、2F ，0)．（1）2a ，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆 上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ，22:1,(0,42x y A ，AM ∵的中点在x 轴上，M ，代入0x y 得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM，则4tan 3BAM ，即24tan 3OAF ，234OA OF ，b．②若3cos 5BMA，则4sin 5BMA ，∵4MBA， 34cos()252510MBA AMB ，cos BAMtan 7BAM ．即2tan 7OAF ， 7OA ， 7b ，综上b或27．（3）设(cos ,sin )P a b ，62a ，很明显椭圆在直线的左下方，则62a ，即) ，222a b ∵，) ，)22a ，|sin()|1 ，整理可得(1)(35)0a a ，即513a ，从而58626233d a ．即d 的最小值为83．4．（2022•浙江）如图，已知椭圆22112x y ．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点1(0,2Q 在线段AB上，直线PA ，PB 分别交直线132y x 于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求||CD 的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点(,)M x y ，则222222||(1)12122111213PM x y y y y y y ，[1y ，1]，而函数211213z y y 的对称轴为1[1,1]11y ，则其最大值为21114411(213111111， 1441211||1111max PM，即点P 到椭圆上点的距离的最大值为121111；（Ⅱ）设直线11221:,(,),(,)2AB y kx A x y B x y ，联立直线AB 与椭圆方程有2212112y kx x y，消去y 并整理可得，22(121)1290k x kx ，由韦达定理可得，121222129,121121k x x x x k k， 22212121222212366161||()4()121121k k x x x x x x k k k，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，直线111:1y AP y x x ，直线221:1y BP y x x ，联立1111132y y x x y x 以及2211132y y x x y x，可得12341244,(21)1(21)1x x x x k x k x，由弦长公式可得21234124415||1()|||22(21)1(21)1x x CD x x k x k x1212212121225|5|[(21)1][(21)1](21)(21)()1x x x x k x k x k x x k x x66|231555k，当且仅当316k 时等号成立，||CD的最小值为5．5．（2022•北京）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b的一个顶点为(0,1)A，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当||2MN 时，求k的值．【解析】（Ⅰ）由题意得，12bc，1b，c ，2a ，椭圆E的方程为2214x y ．（Ⅱ）设过点(2,1)P 的直线为1(2)y k x，1(B x，1)y，2(C x，2)y，联立得221(2)141y k xx y，即2222(14)(168)16160k x k k x k k，∵直线与椭圆相交， △2222[(168)]4(14)(1616)0k k k k k，0k，由韦达定理得212216814k kx xk，2122161614k kx xk，111ABykx∵， 直线AB为1111yy xx，令0y ，则111xxy，11(1xMy，0)，同理22(1xNy ，0)，1212211212211||||||()|11(2)(2)22x x x x x xMNy y k x k x k x x212112122()11||||(2)(2)x xk x x k22|216162(168)41414k k，2|2k，1|2，4k ．6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y ．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在C 上，且120x x ，10y ．过P且斜率为Q且斜率为的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得ba，2 ，解得1a，b ，因此C 的方程为2213y x ，（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx m ，(0)k ，将直线PQ 的方程代入2213y x 可得222(3)230k x kmx m ，△2212(3)0m k ，120x x ∵122203kmx x k ，2122303m x x k，230k，1222333x x k ，设点M 的坐标为(M x ，)M y，则1122))M M M M y y x x y y x x ，两式相减可得1212)M y y x x ，1212()y y k x x ∵，1212)()M x x k x x ，解得23M kmX k ，两式相加可得12122())M y y y x x ，1212()2y y k x x m ∵，12122)()2M y x x k x x m ，解得M y ，3M M y x k，其中k 为直线PQ 的斜率；若选择①②：设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 234243k x x k ，342123ky y k ，此时点M 的坐标满足(2)3M M M My k x y x k，解得234221()32M k X x x k ，34261()32M k y y y k ，M 为AB 的中点，即||||MA MB ；若选择①③：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(2,0)F ，此时不在直线3y x k上，矛盾，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)(0)y m x m ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y m x y，解得3x，3y ，同理可得4x，4y 此时234212()23M m x x x m ，34216()23M my y y m，由于点M 同时在直线3y x k 上，故2362m m k，解得k m ，因此//PQ AB ．若选择②③，设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 设AB 的中点(C C x ，)C y ，则234212()23C k x x x k ，34216()23C ky y y k ，由于||||MA MB ，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1()C C y y x x k上，将该直线3y x k 联立，解得2223M C k x x k ，263M C ky y k ，即点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．（2）解法二：由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为0．若选①③ ②，则M 为线段AB 的中点，假设AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ，此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，从而12x x ，已知不符．综上，直线AB 的斜率存在且不为0，直线AB 的斜率为k ，直线AB 的方程为(2)y k x ．则条件①M 在直线AB 上，等价于20000(2)(2)y k x ky k x ，两渐近线的方程合并为2230x y ，联立方程组，消去y 并化简得：2222(3)440k x k x k ，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，线段中点为(N N x ，)N y ，则2342223N x x k x k ．26(2)3N N ky k x k ，设0(M x ，0)y ，则条件③||||AM BM 等价于222203030404()()()()x x y y x x y y ，移项并利用平方差公式整理得：3403434034()[2()]()[(2()]0x x x x x y y y y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，200283k x ky k ，由题意知直线PM的斜率为QM的斜率为，由1010)y y x x，2020)y y x x，121202)y y x x x ，直线PQ的斜率1201212122)x x x y y m x x x x，直线00:)PM y x x y，即00y y ，代入双曲线的方程为22330x y，即)3y y 中，得0000(()]3y y ，解得P的横坐标为100)]3x y ，同理，2022003()3x y y x ，012002200323x x x x x y x ，03x m y， 条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上等价于200(2)m k ky k x ，条件②//PQ AB 等价于003ky x ，条件③||||AM BM 等价于200283k x ky k ．选①② ③：由①②解得20223k x k 20002843k x ky x k ， ③成立；选①③ ②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，003ky x ， ②成立；选②③ ①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ， 02623x k ， ①成立．7．（2022•上海）已知椭圆222:1(1)x y a a，A 、B 两点分别为 的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a 上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆 的右焦点，且6AFB，求 的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；（3）设直线AD 、BC 分别交椭圆 于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．【解析】（1）由题可得(0,1)B ，(,0)F c ，因为6AFB，所以1tan tan 63b AFBc c，解得c ，所以214a ，故 的标准方程为2214x y ；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a ，(0,1)B ，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a ，直线11:22AD y x a ，交点为3(5a ，4)5，满足2223()45()15a a ，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上；（3）(0,1)B ，(cos ,sin )P a ，则直线sin 1:1cos BP y x a ，所以sin 1(,1)cos C a，(,0)A a ，(cos ,sin )Q a ，则直线sin :()cos AQ y x a a a，所以2sin (,cos 1D a，所以222222sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 12222sin cos CD cos sin sin，设tan 2t ，则11||2()21CD t t，因为114a ba b ，所以114411t t t t，则||6CD ，即||CD 的最小值为6．8．（2021•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b的一个顶点(0,2)A ，以椭圆E 的四个顶点围成的四边形面积为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)P 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 分别与直线3y 交于点M 、N ，当||||15PM PN 时，求k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b过点(0,2)A ，则2b ，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以1222a b，解得a ，故椭圆E 的标准方程为22154x y；（Ⅱ）由题意，设过点(0,3)P ，斜率为k 的直线为直线l ，设直线l 的方程为(3)(0)y k x ，即3y kx ，当0k 时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，所以0k ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程组223154y kx x y，可得22(45)30250k x kx ，则△22(30)425(45)0k k ，解得||1k ，所以1212223025,4545k x x x x k k，则221212121222036(3)(3)3()945k y y kx kx k x x k x x k ，121212224(3)(3)()645y y kx kx k x x k，直线AB 的方程为11(2)(2)(0)0y y x x ，即1122y y x x ，直线AC 的方程为22(2)(2)0)0y y x x，即2222y y x x ，因为直线AB 交3y 于点M ，所以令3y ，则112M x x y ，故11(,3)2x M y ，同理可得22(,3)2x N y ，注意到12225045x x k，所以1x ，2x 同号，因为120y ，220y ，所以M x ，N x 同号，故||||||||||M N M N PM PN x x x x ，则1212211212(2)(2)|||||||22(2)(2)x x x y x y PM PN y y y y 1221121212(3)(3)2()||2()4x kx x kx x x y y y y 121212122()||2()4kx x x x y y y y 22222253024545||20364844545kk k k k k k5||k ，故||||5||PM PN k ，又||||15PM PN ，即5||15k ，即||3k ，又||1k ，所以1||3k ，故k 的取值范围为[3 ，1)(1 ，3]．9．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线22(0)y px p 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF ．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN ，求直线l 在x轴上截距的取值范围．【解析】（Ⅰ）依题意，2p ，故抛物线的方程为24y x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线:(1)AB y k x ，将直线AB 方程代入抛物线方程可得，2222(24)0k x k x k ，则由韦达定理有，242,1A B A B x x x x k，则4A B y y ，设直线1:(1)AM y k x ，其中11A A y k x，设直线2:(1)BM y k x ，其中21B B yk x ，则12(1)(1)(1)(1)0011(1)(1)(1)(1)(1)(1)A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B y y y x y y x y k x x k x k x x k x k k x x x x x x x x，2122244(1)(1)1121A B A B y y k k k x x k k，设直线:2()l y x t ，联立2()(1)y x t y k x ，可得22R k t x k ，则2||||||22R k t k kt x t t k k ，联立12()(1)y x t y k x ，可得1122P k t x k ，则111112||||||22P k t k k t x t t k k ，同理可得，222222,||||22Q Q k t k k tx x t k k，又2||||||RN PN QN ，2112212||||222k k t k k tk kt k k k ，即2222(1)()234k kt k t k k ，22222222(1)343(2)12(2)16161243333()(1)(1)(2)(2)(2)22244t k k k t t k k k k k ，224(21)3(21)t t t t ，即21410t t，解得7t或71)t t ；当直线AB 的斜率不存在时，则直线:1AB x ，(1,2)A ，(1,2)B ，(1,0)M ，直线MA 的方程为1y x ，直线MB 的方程为1y x ，设直线:2()l y x t ，则(12,22)P t t ，2122(,)33t t Q ，(1,22)R t ，(,0)N t ，又2||||||RN PN QN，故22(1)(22)t t 解得t满足(,77,1)(1,) ．直线l 在x轴上截距的取值范围为(,77,1)(1,) ．10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F ，0)，2F ，0)，点M 满足12||||2MF MF ．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解析】（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为22221(0,0),1x y a b x a b ，根据题意22222c a c a b，解得14a b c，C 的方程为221(1)16y x x ；（2）（法一）设1(,)2T m ，直线AB 的参数方程为1cos 2sin x t y m t，将其代入C 的方程并整理可得，2222(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m ，由参数的几何意义可知，1||TA t ，2||TB t ，则2212222121216117m m t t sin cos cos，设直线PQ 的参数方程为1cos 2sin x y m，1||TP ，2||TQ ，同理可得，212212117m cos ，依题意，22221212117117m m cos cos，则22cos cos ，又 ，故cos cos ，则cos cos 0 ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设1(,)2T t ，直线AB 的方程为11()2y k x t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设1212x x ，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，22222111111(16)(2)1604k x k tk x k k t t ，由韦达定理有，22211111212221111624,1616k k t t k k tx x x x k k ，又由111111(,),(,)22A x k x k t T t可得11||)2AT x ，同理可得21||)2BT x ，222111221(1)(12)11||||(1)()()2216k t AT BT k x x k，设直线PQ 的方程为233441(),(,),(,)2y k x t P x y Q x y ，设3412x x ，同理可得22222(1)(12)||||16k t PT QT k ，又||||||||AT BT PT QT ，则22122212111616k k k k ，化简可得2212k k ，又12k k ，则12k k ，即120k k ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．11．（2021•乙卷（文））已知抛物线2:2(0)C y px p 的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】（1）由题意知，2p ，24y x ．（2）由（1）知，抛物线2:4C y x ，(1,0)F ，设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n，9(99,9)PQ QF m nP 点坐标为(109,10)m n ，将点P 代入C 得21004036n m ，整理得22100362594010n n m ，当0n 时，2100259n n K m n，当0n 时，2101019259325n n K m n n n，当且仅当925n n ，即35n 时，等号成立，取得最大值．故答案为：13．12．（2022•甲卷（文））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点(,0)D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，||3MF ．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）由题意可知，当x p 时，222y p，得M y，可知||MD ，||2p FD ．则在Rt MFD 中，222||||||FD DM FM，得22())92p，解得2p ．则C 的方程为24y x ；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，当MN 与x 轴垂直时，由对称性可知，AB 也与x 轴垂直，此时2，则0 ，由（1）可知(1,0)F ，(2,0)D ，则1212221212124tan 44MN y y y y k y y x x y y，又N 、D 、B 三点共线，则ND BD k k ，即24240022y y x x，242224002244y y y y，得248y y ，即428y y；同理由M 、D 、A 三点共线，得318y y ．则34123434124tan 2()y y y y x x y y y y．由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设:1MN l x my ，由241y x x my ，得2440y my ，124y y m ，124y y ，则41tan 4m m，41tan 242m m，则11tan tan 12tan()1111tan tan 122m m m m m m，∵1tan m，1tan 2m，tan 与tan 正负相同，22， 当 取得最大值时，tan() 取得最大值，当0m时，1tan()142m m；当0m 时，tan() 无最大值， 当且仅当12m m，即2m 时，等号成立，tan() 取最大值，此时AB 的直线方程为33344()y y x x y y ，即34344()0x y y y y y ，又123412128()888y y y y m y y y y∵34128816y y y y ，AB的方程为4160x，即40x ．13．（2023•甲卷（文））已知直线210x y 与抛物线2:2(0)C y px p 交于A ，B两点，||AB ．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且0FM FN，求MFN 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ，（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 由24y x x my n，可得2440y m n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．14．（2023•甲卷（理））设抛物线2:2(0)C y px p ，直线210x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p 的值；（2）F 为22y px 的焦点，M ，N 为抛物线上的两点，且0MF NF，求MNF 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ；（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由24y x x my n，可得2440y my n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF ，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n ，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．15．（2023•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知1||3A F ，2||1A F ．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若△1A PQ 的面积是△2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c ，解得21a c，222413b a c ．则椭圆方程为22143x y ，椭圆的离心率为12c e a ；（Ⅱ）由题意可知，直线2A P 的斜率存在且不为0，当0k 时，直线方程为(2)y k x ，取0x ，得(0,2)Q k ．联立22(2)143y k x x y ，得2222(43)1616120k x k x k ．△2222(16)4(43)(1612)1440k k k ，221612243P k x k ，得228643P k x k ，则21243P k y k ．11212322111216124(2)4()224343A PQ A A Q A A Pk k k S S S k k k ．22211261()24343A FP k k S k k ． 3221612124343k k k k k ，即223k ，得6(0)2k k ；同理求得当0k 时，62k ． 直线2A P 的方程为6(2)2y x ．16．（2022•天津）椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||3||2BF AB ．（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于(N N 异于)M ．记O 为坐标原点，若||||OM ON ，且OMN 3【解析】（1）∵22||3||BF aAB a b 22234a a b ，223a b ，2223()a a c ，2223a c ，222633c e a ；（2）由（1）可知椭圆为222213x y a a，即2223x y a ，设直线:l y kx m ，联立2223x y a ，消去y 可得：2222(31)6(3)0k x kmx m a ，又直线l 与椭圆只有一个公共点，△2222364(31)(3)0k m k m a ，2223(31)m a k ，又2331M km x k ， 22233131M M k m m y kx m m k k ，又||||OM ON ， 222223(()3131km m m k k ，解得213k，3k ，又OMN的面积为2113||||||||2231M km ON x m k ，212224m ，又k 2223(31)m a k ，26a ，22b ， 椭圆的标准方程为22162x y ．17．（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ，求PAQ 的面积．【解析】（1）将点A 代入双曲线方程得224111a a ，化简得42440a a ，22a ，故双曲线方程为2212x y ，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m ，故122421km x x k ，21222221m x x k ，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x ，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m ，故2222(22)4(12)(4(1)02121k m km m k m k k ，即(1)(21)0k m k ，而直线l 不过A 点，故1k ；（2）设直线AP 的倾斜角为，由tan PAQ22tan21tan 2PAQ PAQ，得tan 22PAQ 由2PAQ ， 2PAQ，得tan AP k，即1112y x ，联立1112y x ，及221112x y得1110533x y ，同理22x y 故12122068,39x x x x ，而12||2|,|||2|AP x AQ x，由tan PAQsin 3PAQ，故12121||||sin 2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x ．18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为( 0)．（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为( 0)，则222c a b c c e a，解得24a b ，故双曲线C 的方程为221416x y ；（2）证明：过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，则可设直线MN 的方程为4x my ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，则1(2,0)A ，2(2,0)A ，联立224416x my x y ，化简整理可得，22(41)32480m y my ，故△222(32)448(41)2641920m m m 且2410m ，1223241m y y m ，1224841y y m ，直线1MA 的方程为11(2)2y y x x，直线2NA 方程22(2)2y y x x ，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my 121211212()26my y y y y my y y 12212483222414148641m m y m m m y m 1212162141483641m y m m y m ，故2123x x ，解得1x ，所以1P x ，故点P 在定直线1x 上运动．19．（2021•上海）已知22:12x y ，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(P m，0)(m ，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，11||||BF PF ，求m 的值；（2）若1213F A F A ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m 12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为 的方程：2212x y ，所以22a ，21b ，所以2221c a b ，所以1(1,0)F ，2(1,0)F ，若B 为 的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ，1||1PF m ，又11||||BF PF ，所以1m（2）设点A ，sin ) ，则2221211)213F A F A sin cos sin ，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos ，故()33A ，设直线l的方程为(0)33y kx k ，由原点O 到直线l，则15d ，化简可得231030k k ，解得3k 或13k ，故直线l的方程为13y x或3y x（舍去，无法满足m ，所以直线l的方程为139y x ；（3）联立方程组2212y kx km x y ，可得22222(12)4220k x k mx k m ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k ，因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y ，又y kx km ，故化简为122212x x k ，又122216882||||1212k k m x x k k ，两边同时平方可得，2224210k k m ，整理可得22142k m ，当m 时，221042k m ，因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条．20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P满足AP ，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【解析】（1）由极坐标方程为，得2cos ，化为直角坐标方程是22x y ，即22(2x y，表示圆心为C 0)（2）【解法1】根据题意知，点P 的轨迹是以A为缩放比例将圆1C 作位似变换得到的，因此1C的圆心为(3 0)，半径差为2 ，所以圆C 内含于圆1C ，圆C 与圆1C 没有公共点．【解法2】设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y ，1(1AM x ，1)y ，由AP ，即1111)x x y ，解得11(1)122x x y y ，所以1)1M x)y ，代入C的方程得221)1)2x ，化简得点P的轨迹方程是22(34x y，表示圆心为1(3C ，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y， 为参数；计算1|||(332CC ，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．21．（2023•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b，A 、C 分别为E 的上、下顶点，B 、D 分别为E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的一个动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．【解析】（1）由题意可得：24b，c e a，222a b c ，解得2b ，29a ， 椭圆E 的方程为22194x y ．（2）证明：(0,2)A ，(3,0)B ，(0,2)C ，(3,0)D ，直线BC 的方程为132x y ，化为2360x y ．设直线AP 的方程为：2y kx ，(0)k ，4(N k ，2) ．联立222194y kx x y ，化为：22(49)360k x kx ，解得0x 或23649k k，236(49k P k ，22818)49k k ．直线PD 方程为：22218849(3)36349k k y x k k ，即22188(3)273612k y x k k ，与2360x y 联立，解得26432k x k k ，2281896k y k k．264(32k M k k，2281896k k k ．2228182296464332MN k k k k k k k k，23CD k，//MN CD ．22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F ，0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN ．【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率3c a，又c所以a 2221b a c ，故椭圆的标准方程为2213x y ；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当||MN 时，设直线MN 的方程为x ty s ，此时圆心(0,0)O 到直线MN的距离1d ，则221s t ，联立方程组2213x ty s x y ，可得222(3)230t y tsy s ，则△22222244(3)(3)12(3)24t s t s t s ，因为2||3MN t ，所以21t ，22s ，因为直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切，所以0s，则s ，则直线MN的方程为x ty恒过焦点F ，故M ，N ，F 三点共线，所以充分性得证．若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN的方程为x my ，则圆心(0,0)O 到直线MN的距离为1d ，解得21m ，联立方程组2213x my x y，可得22(3)10m y ，即2410y ，所以||44MN所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是||MN．23．（2021•天津）已知椭圆22221(0)x y a ba b的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且||BF．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MP BF，求直线l的方程．【解析】（1）因为离心率5e，||BF所以222caaa b c，解得a ，2c ，1b ，所以椭圆的方程为2215x y ．（2）先证明椭圆22221x ya b上过点(M x，)y的椭圆的切线方程为：00221xx yya b．由于椭圆过点0(x，0)y，则2200221x ya b①，对椭圆求导得22b xya y，即切线的斜率22b xka y，故切线的方程2002()b xy y x xa y，将①代入得00221xx yya b．则切线MN 的方程为0015x x y y ，令0x ，得01N y y，因为PN BF ，所以1PN BF k k ，所以1(12PN k ，解得2NP k ，设1(P x ，0)，则01120NPy k x ，即1012x y ，因为//MP BF ，所以MP BF k k ，所以0001122y x y ，即000122y x y ，所以000122x y y，又因为220015x y ，所以22002042115520y y y ，解得06y ，因为0N y ，所以00y ，所以06y，036x ，所以6156y，即0x y ．24．（2021•甲卷（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x 交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ．已知点(2,0)M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【解析】（1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，令1x ，则2y p ，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在x 轴下方，故2),(1,2P p Q p ，因为OP OQ ，故112(202p p p，抛物线C 的方程为：2y x ，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y ．另（1）根据抛物线的对称性，由题意可得45POx QOx ，因此点P ，Q 的坐标为(1,1) ，由题意可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，可得12p ，因此抛物线C 的方程为2y x ．而圆M 的半径为圆心M 到直线l 的距离为1，可得M 的方程为22(2)1x y ．（2）很明显，对于12A A 或者13A A 斜率不存在的情况以及23A A 斜率为0的情况满足题意．否则：设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时），设直线12A A 方程为0kx y ，根据点(2,0)M 到直线距离为11，解得k 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x ，此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ，直线12A A 的方程为1212()0x y y y y y ，1 ，即22212121(1)230y y y y y ，同理，由对称性可得，22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是方程222111(1)230y t y t y 的两根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．（2）另设2(i i A y ，)i y ，1i ，2，3，由直线的两点式可知，直线12A A 的方程为222122122()()()()y y y y y y x y ，化简可得1212()0x y y y y y ，因为直线12A A 与圆M2212121(2)1()y y y y ，整理得22212121(1)230y y y y y ，同理有22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是关于y 的方程222111(1)230y y y y y 的两个根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．25．（2023•乙卷（文））已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b的离心率为3，点(2,0)A 在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．【解析】（1）由题意，22232c a b a b c，解得32a b c ． 椭圆C 的方程为22194y x ；证明：（2）如图，要使过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设:3(2)PQ y k x ，即23y kx k ，0k ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2223194y kx k y x ，得22(49)8(23)16(3)0k x k k x k k ．△22[8(23)]4(49)16(3)17280k k k k k k ．1228(23)49k k x x k ，12216(3)49k k x x k ，直线11:(2)2y AP y x x，取0x ，得112(0,)2y M x ；直线22:(2)2y AQ y x x，取0x ，得222(0,2y N x ． 1212211212222(2)2(2)22(2)(2)y y y x y x x x x x 12211212(23)(2)(23)(2)22()4kx k x kx k x x x x x 121212122(43)()4(23)22()4kx x k x x k x x x x 222216(3)8(23)2(43)4(23)4949216(3)8(23)244949k k k k k k k k k k k k k k k 32322322223296649648723272481082164832481636k k k k k k k k k k k k k k 1082636．MN 的中点为(0,3)，为定点．。

专题08平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知||2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G的坐标．8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.1121．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)(22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P的坐标．。

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线2．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．3．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．一、单选题1．（2020·山东高三期中）若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-2．（2020·江苏南通·高二月考）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·山东高三开学考试）已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知点()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >)的左､右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ， 2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则C 的离心率为（ ） A ．53B ．3C ．32D ．525．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点.若1ABF 为等边三角形，则b 的所有取值的积为（ ）AB C ．D ．6．（2020·江苏泰州中学高二月考）P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（ ）A ．4B ．4C ．2D ．27．（2020·安庆市白泽湖中学高二月考）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为( )A ．2B C ．12+ D ．28．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）AB C D 9．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,)(0)4pA a a >在C 上，||3AF =.若直线AF 与C 交于另一点B ，则||AB 的值是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．4.510．已知抛物线E ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p =（ ）A ．1BC ．2D ．二、多选题11．（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点()1F 和)2F 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．E 的方程为221(3x y x -=≠B ．EC ．E 的渐近线与圆()2221x y -+=相切D ．满足AB =l 仅有1条12．（2020·山东高三开学考试）已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin 4F PF ∠=，则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =14．（2020·湖南衡阳市八中高二月考）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线15．已知双曲线()222:104x y C m m m m -=>-+，若C 的离心率最小，则此时（ ）A ．2m =B ．双曲线的渐近线方程为30x y ±=C ．双曲线的一个焦点坐标为()2,0D ．双曲线的焦点到渐近线的距离为316．（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线221:1916x y C -=与双曲线222:1916y x C -=-，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等17．（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 三、填空题18．（2020·博兴县第三中学高三月考）以抛物线22y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.19．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______.20．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________.21．（2020·山东潍坊·高三三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()22:23F x y -+=相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为________. 四、双空题22．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.23．（2020·江苏南通·高二月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________. 五、解答题24．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为4，四边形1122F B F B 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M ，N 为椭圆C 上的两个动点，OMN 的面积为1．证明：存在定点W ，使得22WM WN +为定值.25．（2020·山东高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点.26．（2020·江苏泰州·高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.27．（2020·山东高三期中）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C .（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由. 28．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．29．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2点.M 为椭圆上的一动点， MF 1F 2面积的最大值为4.过点F 2的直线l 被椭圆截得的线段为PQ ，当l ⊥x 轴时，22PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 1作与x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.30．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率是22，原点到直线1x y a b +=23. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点()0,3Q ，若椭圆C 上总存在两个点,A B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围．31．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率32F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值. 32．已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程； （2）点Q 为直线12y 上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．33．（2020·山东高三其他模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P y y x ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求实数m 的取值范围.34．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆经过点，且右焦点．（1）求椭圆的标准方程； （2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．35．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. （1）若1F AB 的面积为20311，求直线l 的方程； （2）若222BF F A =，求AB .36．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.37．（2020·广西桂林十八中高三月考（文））设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1. （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围.。

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.2．（2020·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1633．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】33 233- 【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3333k b ==-. 3234．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 221214221233⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.一、单选题1．（2020·山东省泰安市6月三模）已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，()()()222:340M x y r r -+-=>的圆心为()3,4，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到直线的距离为415r =+=. 故选：C.2．（2020·山东省泰安市6月三模）如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．2D ．2【答案】D 【解析】设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E ，G ，则122MF MF a -=，得1222NF MF a +-=，又112||||||NF EF GF ==，则22||22GF MF a +-=，得2||2MG a +=，又||2MG =，得24,a = 2a =，所以双曲线C 的离心率为22422+=故选：D3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,4M ，则p =（ ） A ．4 B ．8C ．42D．82【答案】B 【解析】因为1CC 的中点为()1,4M ，所以8,212A B C py y x +=-=⨯， 所以4,22A B C p x x p x +=+=+， 设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线的方程得，2220y pmy p --=，所以 2,()8A B A B A B y y pm x x m y y p m p +=+=++=+所以8284pm m p p =⎧⎨+=+⎩，解得812p m =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：B4．（2020·山东省济南市二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=. 故选：C.5．（2020·山东省济南市二模）已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（ ） A ．3+22 B ．222+C ．4D ．2【答案】B 【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系， 则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+. 故选：B.6．（2020·山东省仿真联考3）已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）． A 2 B 3C ．2D 5【答案】A 【解析】OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba=c ∴==c e a ∴==本题正确选项：A7．（2020·山东省仿真联考3）已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A ．14BC ．13D ．12【答案】C 【解析】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠==所以当且仅当316t=时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 8．（2020·山东省仿真联考2）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为 （） A．2BC ．12+ D ．2【答案】C 【解析】将x =化为：x 2+（y ﹣1）2＝1， ∴圆心（0，1），半径r ＝1， ∵圆心到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离d =，∴圆上的点到直线的最小距离b 32=-1， 最大值为（0，2）到直线的距离，即a 2==22 则a ﹣b 2=+1． 故选：C ．9．（2020·山东省仿真联考2）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得①，且分别为的中点．由双曲线定义，知②，③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C ．10．（2020·山东省滨州市三模）已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C 【解析】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C11．（2020·山东省济南市6月模拟）已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ） A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】由双曲线C 的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==224,3,5a b c a b ∴===+=.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A 正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离2235334d ⨯==+，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .12．（2020·山东省济宁市6月三模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( ) A ．114B ．94C ．52D ．54【答案】B 【解析】由题得抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2,AF FB =||2||AF BF ∴=，1212(1)x x ∴+=+，1221x x ∴=+， 221212||2||,y 4y y y =∴=，124x x ∴=，12x ∴=，212x =. ∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为1219[(1)(1)]24x x +++=. 故选：B.13．（2020届山东省青岛市三模）若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A ．p 是q 的必要非充分条件B ．q 是p 的充分非必要条件1C ．p 是q 的充分非必要条件D ．q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-. 经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行. 设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.14．（2020·山东省青岛市二模）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B 【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .15．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“5a =”是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.16．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，）， 由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 17．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B 21C 13D ．53【答案】B 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率3c e a ===.故选：B . 二、多选题18．（2020·山东省德州市6月二模）抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+--+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-， 所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．19．（2020·山东省德州市6月二模）直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】BC 【解析】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC20．（2020·山东省滨州市三模）已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确. 当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD21．（2020·山东省威海市三模）已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AFCF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD22．（2020·山东省仿真联考1）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( )A B ．C D ．3【答案】AC 【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率c e a ==≤因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(. 故选：AC23．（2020·山东省仿真联考3）设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A ．||||OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2,0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD 【解析】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得OM k =2ON k =-，所以直线OM ，ON的方程分别为：y x =和y x =．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON += 以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k=． 因为12OM ONk k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-， 则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2mk=-，即2m k =-， 所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确； 易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确． 故选：CD24．（2020·山东省泰安市模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆CC ．PQ PF +的最小值为D ．过点F 的圆E的切线斜率为43-± 【答案】AD 【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=， 当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则()()()222134031625EF c c =-++-=-+=02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得47k -±=.故选：AD.25．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214+>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得21122244+===a ，2=，所以椭圆C 的.三、填空题26．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______. 【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.27．（2020届山东省青岛市三模）若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1(0,)2【解析】由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.28．（2020·山东省威海市三模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________． 【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a=，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即2b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =. 故答案为：3229．（2020·山东省泰安市模拟）已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________.【答案】31+ 【解析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如图所示：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF 为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB 的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，则1122AF BF a c ==+， 所以1ABF 为等边三角形，则2332BC BF c ==， 在1CBF 中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=， 同时除以2a 可得22210e e --=，解得132e +=13-(舍去). 故答案为：31230．（2020·山东省青岛市二模）抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5 【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：531．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 为虚轴的一端点，若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ，且M ，N ，F 三点共线，则该双曲线的离心率为________. 【答案】152+ 【解析】由题意可得(),0F c -，()0,A b -， 双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=， 可得22ab abMN ca b ==+，22MF c b =+， 在直角三角形MOF 中，可得：222abb c b c=+， 化为()22222b c acb =+，由222b c a =-，可得422430c a c a -+=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得235e ±=1e >，所以2e =e =.32．（2020·山东省济宁市6月三模）设双曲线()222210x y C a b a b -=>0,>：的左、右焦点分别为1212,,2F F F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】32⎛ ⎝⎭【解析】将x c =代入双曲线的方程，得2by a =±=±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22F Q F A >，得232a b a >，所以232b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2c e a ==<=；因为12222PF PQ a PF PQ a F Q +=++≥+，又在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，所以有212726a F Q F F +<， 即372226a a c +<⨯，解得：32e >，又1e >，所以32e <<故答案为：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭33．（2020·山东省济南市6月模拟）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即2c =.又222b ac =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =（舍去）.34．（2020·山东省德州市6月二模）已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______.【答案】221105x y -=【解析】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．35．（2020·山东省仿真联考2）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________. 【答案】4 【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ， 得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为：436．（2020·山东省仿真联考1）已知抛物线()2:20Cx py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，若MAB △面积的最大值是C 的方程是_______；此时，点M 的坐标为_______.【答案】24x y = ()2,1【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线l 的方程为2p y x =+， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x px p--=，所以122x x p +=，212x x p =-，则12x x -==，故124AB x p =-=，设()00,M x y ，由题意可知当直线l 与过点M ，且与抛物线C 相切的直线平行时，MAB △的面积取最大值.因为212y x p =，所以1y x p '=，所以011k x p ==.所以0x p =，则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，点M 到直线l的距离2d ==，故1422p ⨯⨯=2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =，此时点M 的坐标为()2,1. 故答案为：24x y =，()2,137．（2020·山东省济南市二模）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________． 【答案】2π【解析】如图所示：不妨取渐近线by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交）. 则直线1F P 为：()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=， 设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF的距离为：1d b a ==-，设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=1O 到直线2PF的距离为：21d d b a ===-，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =， 当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去. 故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=，联立方程得到()()a y xc bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241ba ab ac b c--=，化简整理得到：225c a =，故5e =. 故答案为：2π；5.38．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知双曲线2218y x -=，F 1，F 2是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是△F 1PF 2的内切圆.则M 的横坐标为_________，若F 1到圆M 上点的最大距离为3△F 1PF 2的面积为___________. 【答案】1 243 【解析】双曲线的方程为2218y x -=，则1,2,183a b c ===+=.设圆M 分别与1212,,PF PF F F 相切于,,B C A ，根据双曲线的定义可知122PF PF -=，根据内切圆的性质可知()121212122PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A -=+-+=-=-=①，而12126F A F A F F +==②. 由①②得：124,2F A F A ==，所以1,0A , 所以直线MA 的方程为1x =，即M 的横坐标为1.设M 的坐标为()()1,0M r r >，则1F 到圆M上点的最大距离为1MF r +=r =，解得3r =. 设直线1PF 的方程为()()30y k x k =+>，即30kx y k -+=.M 到直线1PF=k =所以线1PF的方程为)3y x +.由)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩且P在第一象限，解得(P . 所以116PF ==，21214PF PF a =-=.所以△F 1PF 2的面积为()121212PF PF F Fr ⨯++⋅()1161462=⨯++=. 故答案为：1；四、解答题39．（2020·山东省潍坊市6月模拟）设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.40．（2020·山东省威海市三模）已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）49． 【解析】 解：（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b+=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m --==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++()()22222121m m m m+=++， 将上式分子分母同除()21m m+可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．41．（2020·山东省泰安市模拟）已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. 【解析】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩，因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =. 所以曲线C 的方程为28x y =；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-， 直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-，故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠， ∴2AEB AED ∠=∠.42．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右两个焦点为1F 、2F ，抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点()21,0F .且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23. （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、O （O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M 、N （N 在线段OQ 上），且MO NQ =.问满足条件的直线l 有几条，说明理由.【答案】（1）221:143x y C +=；22:4C y x =；（2）满足条件的直线l 有2条，理由见解析. 【解析】（1）由于椭圆1C 和抛物线2C 的公共焦点为()21,0F ，故椭圆1C 的焦点坐标为()1,0±. 所以1m =，所以抛物线2C 的方程24y x =，由点P 在抛物线上，所以226,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又点P 又在椭圆1C 上，所以222222622621143333a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2a =，又1c =，故3b =，从而椭圆1C 的方程为22143x y +=；（2）联立直线与椭圆方程得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223412x k x +=，解得2334M x k =-+2334N x k=+. 联立直线与抛物线得24y kx y x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，解得0O x =，24Q x k =，由MO NQ =，故N 为线段OQ 的中点，即2O QN x x x +=，得24k=，化简得423430k k --=，解得223k +=（负值含去）， 故满足题意的k 值有2个，从而存在过原点O 的有两条直线l 满足题意.43．（2020·山东省青岛市二模）已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>线2214x y -=的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， ∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，=，解得：212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.44．（2020届山东省青岛市三模）已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；。

+ 2y 专题 08 平面解析几何（解答题）1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 A 、B 分别为椭圆E ：x 2 a 2y= 1 （a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1） 求 E 的方程；（2） 证明：直线 CD 过定点.【解析】（1）由题设得 A (-a , 0), B (a , 0),G (0,1) ．则 AG = (a ,1) ， GB = (a , -1) ．由 AG ⋅ GB = 8 得 a 2 - 1 = 8 ，即 a = 3 ．所以 E 的方程为 x 2 + 29= 1 ．（2）设C (x 1, y 1), D (x 2 , y 2 ), P (6, t ) ．若t ≠ 0 ，设直线CD 的方程为 x = my + n ，由题意可知-3 < n < 3 ．由于直线 PA 的方程为 y = t (x + 3) ，所以 y = t(x + 3) ．9 19 1直线 PB 的方程为 y = t (x - 3) ，所以 y = t (x- 3) ．3可得3y 1(x 2 - 3) = y 2 (x 1 + 3) ．23 2x 22(x 2 + 3)(x 2 - 3)由于 2 + y 2 = 1 ，故 y 2 = - ，可得27 y 1 y 2 = -(x 1 + 3)(x 2 + 3) ，929即(27 + m 2 ) y y + m (n + 3)( y + y ) + (n + 3)2 = 0 ．①1 212x = my + n x 2 + 22 2 2将 代入 9 y = 1 得(m + 9) y + 2mny + n - 9 = 0 ．2mn n 2 - 9所以 y 1 + y 2 = - m 2 + 9 , y 1 y 2 = - m 2 + 9．代入①式得(27 + m 2 )(n 2 - 9) - 2m (n + 3)mn + (n + 3)2 (m 2 + 9) = 0 ． 解得 n = -3 （舍去），n = 3． 2故直线CD 的方程为 x = my + 3 ，即直线CD 过定点( 3, 0) ．2 2若t = 0 ，则直线CD 的方程为 y = 0 ，过点( 3, 0) ．23综上，直线CD 过定点( , 0) ．2【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力， 属于难题.a 2 -b 2 2 x 2 + y 2 =2. 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆 C 1： a 2 b2 1(a >b >0)的右焦点 F 与抛物线 C 2 的焦点重合，C 1 4的中心与 C 2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C 1 于 A ，B 两点，交 C 2 于 C ，D 两点，且|CD |=3（1） 求 C 1 的离心率；（2） 若 C 1 的四个顶点到 C 2 的准线距离之和为 12，求 C 1 与 C 2 的标准方程．|AB |．【解析】（1）由已知可设C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，其中c = .不妨设 A , C在第一象限，由题设得 A , B 的纵坐标分别为 b a，- b；C , D a的纵坐标分别为2c ，-2c ，2b 2 故| AB |=， a| CD |= 4c .由| CD |= 4 | AB |得4c = 8b 2，即3⨯ c = 2 - 2( c )2 ，解得 c = -2 （舍去）， c = 1 .3 3aa a a a 2 所以C 的离心率为 1.1（2）由（1）知 a 2= 2c ，b =x 2 3c ，故C 1 : 4c2+ y 23c 2= 1 .所以C 1 的四个顶点坐标分别为(2c , 0)，(-2c , 0) ，(0, 3c ) ， (0, - 3c ) ， C 2 的准线为 x = -c .由已知得3c + c + c + c = 12 ，即c = 2 .Cx 2 y 2C2所以 1 的标准方程为+ = 1， 2 的标准方程为 y 16 12= 8x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.x 2 y 215 3. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C : 25 + m 2 = 1(0 < m < 5) 的离心率为右顶点．， A ，B 分别为C 的左、4（1） 求C 的方程；（2） 若点 P 在C 上，点Q 在直线 x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求△APQ 的面积．【解析】（1）由题设可得 25 - m 2=15 ，得 m 2 = 25 ， 541621 +y 2Q1010130+22 22x2+y2所以C 的方程为25 2516 = 1.（2）设P(x P , y P ), Q(6, y Q ) ，根据对称性可设y Q > 0 ，由题意知y P > 0 ，由已知可得B(5, 0) ，直线BP 的方程为y =-1yQ(x - 5) ，所以| BP |=，|BQ |=，因为| BP |=| BQ | ，所以y P = 1，将y P = 1 代入C 的方程，解得x P = 3 或-3 .由直线BP 的方程得y Q = 2 或8.所以点P, Q 的坐标分别为P1 (3,1), Q1 (6, 2); P2 (-3,1), Q2 (6,8) .| PQ |=，直线PQ 的方程为y =1x ，点A(-5, 0) 到直线PQ 的距离为10 ，故△APQ 的面1 1积为1⨯1 1 310⨯=5.1 1 1 12 2 2| PQ |= 130 ，直线P Q 的方程为y =7x +10，点A 到直线P Q 的距离为130，故△AP Q 的2 2面积为12 2 93 26130=5.2 26 2综上，△APQ 的面积为5 .2【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4.【2020 年高考北京】已知椭圆C : x2+y2=过点A(-2, -1) ，且a = 2b ．a2 b21（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M , N ,直线MA, NA 分别交直线x =-4 于点P,Q．求|PB|的| BQ |值．【解析】(1)设椭圆方程为：x2y= 1(a >b > 0 )，由题意可得：a b1 +y 2Q2 222y P y QPB PQ y Py Q=2 2 ⎧ 4 + 1 = 1⎧a 2 = 8 ⎪ 2 2⎨ a b⎩⎪ a = 2b，解得： ⎨ ， ⎩b = 22 故椭圆方程为： x+ y = 1.8 2(2)设 M ( x 1, y 1 ) ， N (x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + y2= 1联立可得：x 2 + 4k 2 ( x + 4)2= 8 ， 82即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 = 4k 2 +1, x 1 x 2 = 64k 2 - 8. 4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1- x 1 + 2 = - (2k +1)(x 1 + 4 ) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 2同理可得： y 1 1 1 1= -(2k +1)( x 2 + 4 ) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：= ，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Q x + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8⎛ -32k 2 ⎫ ⎤2 ⎢ 4k 2 +1 + 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥ ⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2- 8) + 3⨯ (-32k 2)+ 8 (4k 2+1) 2 04k 2 +1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 . PB PQ Q2 2 2 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．x 2225. 【2020 年高考浙江】如图，已知椭圆C 1 :2+y = 1，抛物线C 2 : y = 2 px ( p > 0) ，点 A 是椭圆C 1 与抛物线C 2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆C 1 于点 B ，交抛物线C 2 于点 M （B ，M 不同于 A ）．（Ⅰ）若 p =1，求抛物线C 的焦点坐标；16 2（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由 p =1得C 的焦点坐标是( 1, 0) ．16 2 32（Ⅱ）由题意可设直线l : x = my + t (m ≠ 0,t ≠ 0) ，点 A (x 0 , y 0 ) ．x 2 22 2 2 将直线l 的方程代入椭圆C 1 : 2 + y = 1 得(m + 2) y + 2mty + t - 2 = 0 ，所以点 M 的纵坐标 y M= - mt ． m 2+ 2将直线l 的方程代入抛物线C : y 2 = 2 px 得 y 2- 2 pmy - 2 pt = 0 ，2 p (m 2 + 2)所以 y 0 y M = -2 pt ，解得 y 0 = m，2 p (m 2 + 2)2因此 x 0 =x 2． m 2 1 = 4(m + 2 )2 + 2(m + 2 )4≥ 160由 0 + y 2 = 1 得 2 ，2p m m 所以当 m = ，t = 10 时， p 取到最大值 10 ． 5 40【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数 学运算能力，是一道有一定难度的题.26. 【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E : x +y= 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，43y 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线 AF 1 与椭圆 E 相交于另一点 B ．（1） 求△AF 1F 2 的周长；（2） 在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求OP ⋅ Q P 的最小值；（3） 设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S 1，S 2，若 S 2 = 3S 1 ，求点 M 的坐标．【解析】（1）椭圆 E : x 2 + = 1 的长轴长为 2a ，短轴长为 2b ，焦距为 2c ，4 3则 a 2 = 4, b 2 = 3, c 2 = 1 .所以△AF 1F 2 的周长为 2a + 2c = 6 .（2） 椭圆 E 的右准线为 x = 4 .设 P (x , 0),Q (4, y ) ，则OP = (x , 0),QP = (x - 4, - y ) ，OP ⋅ QP = x (x - 4) = (x - 2)2 - 4 ≥ -4, 在 x = 2 时取等号.所以OP ⋅ QP 的最小值为-4 .x 2 （3） 因为椭圆 E :4 + y 23= 1 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1 F 2 ，2⎪+ = AM AN 1 2 1 2 2 2则 F 1 (- 31, 0), F 2 (1, 0), A (1, 2) .所以直线 AB : 3x - 4 y + 3 = 0.设 M (x , y ) ，因为 S 2 = 3S 1 ，所以点 M 到直线 AB 距离等于点O 到直线 AB 距离的 3 倍. 由此得| 3x - 4 y + 3 | = 3 ⨯ | 3 ⨯ 0 - 4 ⨯ 0 + 3 | ，5 5则3x - 4 y + 12 = 0 或3x - 4 y - 6 = 0 . ⎧3x - 4 y + 12 = 0, ⎪由⎨ x 2 + y 2 =⎩ 4 3得7x 2 + 24x + 32 = 0 ，此方程无解；⎧3x - 4 y - 6 = 0, ⎪ 2 2 由⎨ x 2 ⎪⎩ 4 + y 2 = 3得7x -12x - 4 = 0 ，所以x = 2 或 x = - . 7代入直线l : 3x - 4 y - 6 = 0 ，对应分别得 y = 0 或 y = -12.7因此点 M 的坐标为(2, 0) 或(- 2 , - 12) .7 7【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据 S 2 = 3S 1 推出 d = 9是解答本题的关键.57. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ： xa 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 2 2，且过点A （2，1）．（1） 求C 的方程：（2） 点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．4 + 1 =a 2 -b 2 1【解析】（1）由题设得 a2 1 ， b 2a 2 = ，解得 a = 6 ，b = 3 ． 2 所以C 的方程为 x y 1 ．6 3（2）设 M (x 1, y 1) ， N (x 2 , y 2 ) ．若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 y = kx + m ，x 2 + y 2 =(1 + 2 2+ + 2 - = 代入 得 6 3 4km2k )x 4kmx 2m 2m 2- 6 6 0 ． 于是 x 1 + x 2 = -1 + 2k 2 , x 1 x 2 = 1 + 2k 2由 AM ⊥ AN 知 ⋅= 0 ，故(x ．① - 2)(x - 2) + ( y -1)( y - 1) = 0 ， 12 2 2 1 1 22m 6 - 4km Q ( , ) Q ( , ) 可得(k 2 + 1)x x + (km - k - 2)(x + x ) + (m -1)2 + 4 = 0 ．1 212将①代入上式可得(k 2+ 1) 2 -(km - k - 2) + (m -1)2 + 4 = 0 ．1 + 2k2 整理得(2k + 3m +1)(2k + m -1) = 0 ．1 + 2k 2因为 A (2,1) 不在直线 MN 上，所以 2k + m - 1 ≠ 0 ，故 2k + 3m + 1 = 0 ， k ≠ 1 ． 于是 MN 的方程为 y = k (x - 2) - 1(k ≠ 1) .3 3 所以直线 MN 过点 P ( 2 , - 1) .3 3若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N (x 1 , - y 1 ) .由 AM ⋅ AN = 0 得(x 1 - 2)(x 1 - 2) + ( y 1 - 1)(- y 1 - 1) = 0 .x 2 又 1 y 2+ 1 = 1 ，可得3x 2 - 8x + 4 = 0 .解得 x = 2 （舍去）， x = 2 . 6 3 1 1 1 1 3 此时直线 MN 过点 P ( 2 , - 1) .3 3令Q 为 AP 的中点，即 4 1.3 3若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt △ADP 的斜边，故| DQ |= 1 | AP |= 2 2.2 3若 D 与 P 重合，则| DQ |= 1| AP | .2综上，存在点 4 1 3 3，使得| DQ | 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.8. 【2020 年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 C ： xa 2y 2+ = 1(a > b > 0) 过点 M （2，3）,点 A 为其左顶点，且b 2AM 的斜率为 1，2（1） 求 C 的方程；（2） 点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： y - 3 = 1(x - 2) ，即 x - 2 y = -4 .2当 y =0 时，解得 x = -4 ，所以 a =4，x2y24 + 9= 1椭圆C :+ a2b 2 = 1(a > b > 0 ) 过点 M (2，3)，可得16 b 2，21+412 55 2 解得 b 2=12.2所以 C 的方程： x + y = 1.16 12(2)设与直线 AM 平行的直线方程为： x - 2 y = m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程 x - 2 y = m 与椭圆方程 x y 2+ = 1，可得： 3(m + 2 y )2+ 4 y 2 = 48 ，16 12化简可得：16 y 2 +12my + 3m 2 - 48 = 0 ，所以∆ = 144m 2 - 4 ⨯16 (3m 2 - 48)= 0 ，即 m 2=64，解得 m =±8，与 AM 距离比较远的直线方程： x - 2 y = 8 ， 直线 AM 方程为： x - 2 y = -4 ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，8 + 4利用平行线之间的距离公式可得： d == ，5由两点之间距离公式可得| AM |== 3 .所以△AMN 的面积的最大值： 1⨯ 3 5 ⨯12 5= 18 . 25(2 + 4)2 + 32 2y += ⎝ ⎭⎝ ⎭22 + =3 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题．x 2 9. 【2020 年高考天津】已知椭圆 a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的一个顶点为 A (0, -3) ，右焦点为 F ，且b 2| OA |=| OF | ，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC = OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程．【解析】（Ⅰ）由已知可得b = 3 ．记半焦距为c ，由| OF |=| OA | 可得c = b = 3 ．又由 a 2 = b 2 + c 2 ，可得 a 2 = 18 ．所以，椭圆的方程为x y 1．189（Ⅱ）因为直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，所以 AB ⊥ CP ．依题意，直线 AB 和直线CP 的⎧ y = kx - 3, ⎪斜率均存在．设直线 AB 的方程为 y = kx - 3 ．由方程组⎨ x 2 y 2 ⎩18 9 1,消去 y ，可得2 212k ⎛ 12k 6k 2 - 3 ⎫(2k +1) x -12kx = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = 2k 2 +1 .依题意，可得点 B 的坐标为 2k 2 , 1 2k 2+1 ⎪ ．因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0, -3) ，所以点 P 的坐标为⎛ 6k, -3．由3OC = OF ，2k 2 +1 2k 2+1⎪ -3 - 0得点C 的坐标为(1, 0) ，故直线CP 的斜率为 2k 2+1 6k -1 2k 2 +13，即 2k 2- 6k +1．又因为 AB ⊥ CP ，所以 k ⋅ 2k 2- 6k +1 = -1，整理得2k 2- 3k +1 = 0 ，解得 k = 1 ，或 k = 1． 2所以，直线 AB 的方程为 y = 1x - 3 ，或 y = x - 3 ．210. 【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知点 A ，B 关于坐标原点 O 对称，│AB │=4，⊙M 过点 A ，B 且与直线⎪ + ⎫x+2=0 相切．（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．【答案】（1） M的半径r=2或r=6 ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为 M 过点A, B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0 上，且A, B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y =x 上，故可设M (a, a) .因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为r =| a + 2 | .由已知得|AO|=2 ，又MO ⊥AO ，故可得2a2 + 4 = (a + 2)2 ，解得a=0 或a=4 .故 M 的半径r=2 或r=6 .（2）存在定点P(1, 0) ，使得| MA | - | MP | 为定值.理由如下：设M (x, y) ，由已知得 M 的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO ⊥AO ，故可得x2 +y2 + 4 = (x + 2)2 ，化简得M的轨迹方程为y2 = 4x .因为曲线C : y2 = 4x 是以点P(1, 0) 为焦点，以直线x =-1 为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2 - (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点P.【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.1.【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知F , F 是椭圆C : x2+y2=>>的两个焦点，P 为C 上一点，1 2 a 21(a b 0) b2O 为坐标原点．（1）若△POF2 为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1 ⊥PF2 ，且△F1PF2 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（1）-1；（2）b = 4 ，a的取值范围为[42,+∞).【解析】（1）连结PF1 ，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2 = 90︒，PF2=c ，33 2 = 1PF 1 = 3c ，于是 2a = PF 1 + PF 2= ( 3 +1)c ，故C 的离心率是e = c= -1 . a（2）由题意可知，满足条件的点 P (x , y ) 存在．当且仅当 1 | y | ⋅2c = 16 ， y ⋅ y 2 = -1 x 2 y 2， + = 1，x + c x - c a b即c |y | = 16 ，①x 2 + y 2 = c 2 ，②x 2 y 2 + = 1，③a 2b2由②③及a 2 = b 2 + c 2 得 y 2b 4 = ，又由①知 y 2c 2 162 = ，故b 4 ． c22a 2222222由②③得 x=2(c - b ) ，所以c ≥ b ，从而 a2 2= b + c ≥ 2b = 32, 故 a ≥ 4 .当b = 4 ， a ≥ 4时，存在满足条件的点P ．所以b = 4 ， a 的取值范围为[4 2, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.x 2- 1 12.【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线 C ：y = 2，D 为直线 y = 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，2切点分别为 A ，B ．（1） 证明：直线 AB 过定点；5（2） 若以 E (0， 2)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见解析；（2） x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭ = 4 或 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭= 2 .【解析】（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫ , A ( x , y ) ，则 x 2 = 2 y ． 2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭y + 1由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 2 = x ． x 1 - t整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.2 22 2 2 c12设 B (x 2, y 2 ) ，同理可得 2tx 2 - 2 y 2 +1=0 ． 故直线AB 的方程为 2tx - 2 y +1 = 0 ．1所以直线AB 过定点(0, ) ．2（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1．2⎧y = tx + 1 ⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x ⎩ 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 ． 于是 x + x = 2t , y + y = t ( x + x ) +1 = 2t 2+1 .121212设M 为线段AB 的中点，则 M ⎛t , t 2+ 1 ⎫ ．2 ⎪ ⎝⎭由于 EM ⊥ AB ，而EM = (t , t 2- 2)，AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 ．解得t =0或t = ±1．当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭⎛ = 4 ；5 ⎫2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2+ y - ⎝ ⎪ = 2 ．⎭【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.x 2 y 2(1, 0)A (0,1)13.【2019 年高考北京卷文数】已知椭圆C : a 2 + = 1 的右焦点为 b2 ，且经过点 ．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 设 O 为原点，直线l : y = kx + t (t ≠ ±1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P ，Q ，直线 AP 与 x 轴交于点M ，直线 AQ 与 x 轴交于点 N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线 l 经过定点．x 22【答案】（1）+ y 2= 1；（2）见解析.【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．⎪ 2 2y ⋅ + - ⋅ - + -所以椭圆C 的方程为 x 2 + 22= 1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为 y =y 1 -1 x +1．x 1令y =0，得点M 的横坐标 x M = - x 1． y -1又 y = kx 1+ t ，从而| OM |= x = |x 1 | ．11同理，| ON |= |⎧ y = kx + t , Mx 2 |．kx 2 + t -1kx 1 + t -1⎪由⎨ x 2 + y 2 = 1 得(1+ 2k 2 ) x 2 + 4ktx + 2t 2 - 2 = 0 ． ⎪⎩ 2x + x = -4kt2t 2 - 2则 121+ 2k 2， x 1x 2 =1+ 2k 2 ．所以| OM | ⋅ | ON |= |x 1 kx 1 + t -1 |⋅| x 2 |kx 2 + t -1 = | k 2x x x 1x 2+ k (t -1) (x + x ) + (t -1)2 | 1 2122t 2 - 2 = |1+ 2k 2|22t 2- 2 4kt 2k 1+ 2k 2 k (t 1) ( 1+ 2k 2 ) (t 1) = 2|1+ t | ．1- t又| OM | ⋅ | ON |= 2 ，所以 2|1+ t| = 2 ．1- t解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：3 3 1 2 2 ⎪ 2 (1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题．14.【2019 年高考天津卷文数】设椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，左顶点为 A ，上顶点为 B .已b 2知 | OA |= 2 | OB | （O 为原点）.（1） 求椭圆的离心率；3 （2） 设经过点 F 且斜率为 4的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P ，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x =4 上，且OC ∥AP ，求椭圆的方程.1 x2 【答案】（1） ；（2） 2 y 2+ = 1. 16 12⎛⎫2【解析】（1）设椭圆的半焦距为 c ，由已知有 3a = 2b ，又由 a 2 = b 2 + c 2，消去b 得 a 2 = a ⎝ 2 ⎭+ c 2 ， 解得 c = 1 .a 21所以，椭圆的离心率为 .2x 2 y 2（2）由（1）知， a = 2c , b = 3c ，故椭圆方程为 4c 2 + = 1 .3c 2由题意， F ( - c , 0) ，则直线l 的方程为 y = 3(x + c ) ，4 ⎧ x 2 + y 2=⎪ 4c 2 点 P 的坐标满足⎨ 3c 21, 消去 y 并化简，得到7x 2 + 6cx -13c 2 = 0 ，解得 x = c , x = - 13c . ⎪ y = 3 (x + c ), 7⎩⎪ 4代入到l 的方程，解得 y 1 = 3 c , y 2 2= - 9 c . 14 x ⎛ 3 ⎫因为点 P 在 轴上方，所以 P c , c ⎪ .⎝ ⎭由圆心C 在直线 x = 4 上，可设C (4, t ) .因为OC ∥AP ，且由（1）知 A ( - 2 c , 0) ，故 t 43 c= c + 2c，解得t = 2 .24 2 因为圆C与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，3(4 + c ) - 2 又由圆C 与l 相切，得 4= 2 ，可得c =2 . ⎛ 3 ⎫21+ ⎪ ⎝ ⎭2 所以，椭圆的方程为 x + y= 1.16 12【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.15.【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : xa 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的焦点为 F 1b2（–1、0），F 2（1，0）．过 F 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方，l 与圆 F 2: (x -1)2 + y 2 = 4a 2 交于点 A ， 与椭圆 C 交于点 D .连结 AF 1 并延长交圆 F 2 于点 B ，连结 BF 2 交椭圆 C 于点 E ，连结 DF 1． 5已知 DF 1= ．2（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 求点 E 的坐标．【答案】（1） x 2 + y 2= ；（2）E (-1, - 3) . 4312【解析】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c . 因为 F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以 F 1F 2=2，c =1. 5又因为 DF 1= 2所以 DF 2= ，AF 2⊥x 轴，== 3 ， 2DF 2- F F 21 12 ( 5)2 - 22 2 2⎩ 2 2 ⎨ 1因此 2a =DF 1+DF 2=4，从而 a =2.由 b 2=a 2−c 2，得 b 2=3.2因此，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.4 3（2）解法一：2由（1）知，椭圆 C ： x + y = 1，a =2，4 3因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x =1 代入圆 F 2 的方程(x −1) 2+y 2=16，解得 y =±4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A (1，4). 又 F 1(−1，0)，所以直线 AF 1：y =2x +2.⎧ y = 2x + 2由⎨(x -1)2 + y 2= 16，得5x 2 + 6x -11 = 0 ， 解得 x = 1 或 x = - 11.5将 x = - 11 代入 y = 2x + 2 ，得 y = - 12，5 5 因此 B (- 11 , - 12) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2： y = 3(x -1) .5 5 4 ⎧ y = 3(x -1) 由⎪ 4 ，得7x 2 - 6x -13 = 0 ，解得 x = -1 或x = 13. ⎪ x 2 + y 2= 7 ⎪⎩ 4 3又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x = -1 . 将 x = -1 代入 y = 3 (x -1) ，得 y = - 3. 4 2因此 E (-1, - 3) .22解法二：2由（1）知，椭圆C：x+y= 1.如图，连结EF1.4 3因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.⎧x =-1⎪ 3因为F1(−1，0)，由⎨x2 y2⎪⎩4+3，得y =±.=1 2又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以y =-3.2因此E(-1, -3) .2【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.16.【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1，0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记△AFG,△CQG 的面积分别为S1, S2 ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；S1（2）求的最小值及此时点G 的坐标．2S【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为1+【解析】（1）由题意得p= 1，即p=2. 2所以，抛物线的准线方程为x=−1.3，此时G（2，0）．2（2）设A(x, y ), B (x, y ),C (x, y )，重心G (x, y ).令y = 2t, t ≠ 0 ，则x=t 2 .A AB B c c G G A A由于直线AB过F，故直线AB方程为x =2 (t 2 -1) t 2 -12ty +1，代入y2= 4x ，得y2 -ty - 4 = 0 ，故2ty =-4 ，即y =-2，所以B⎛1, -2 ⎫.B B t t 2 t ⎪⎝⎭又由于x =1 (x +x +x ), y =1 (y +y +y )及重心G 在x 轴上，故2t -2+y= 0 ，得G 3 A B c G 3 A B c t c ⎛⎛1⎫2 ⎛1⎫⎫⎛2t 4 - 2t 2 + 2 ⎫Ct -t ⎪ , 2t-t ⎪⎪, G 3t 2, 0 ⎪.⎝⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以，直线AC方程为y - 2t = 2t (x-t 2 )，得Q (t 2 -1, 0).由于Q在焦点F的右侧，故t 2 > 2 .从而1 2 m ⋅ 3 + 4m3 S y 1S | FG | ⋅ y A 2t 4 - t 2 t 2 - 2 1 = 2 = S 2 1 | QG | ⋅ y 22t 4 - 2t 2 + 2 2= = t 4 -1 2- t 4 -1 . 2c | t -1- 3t 2 | ⋅ | - 2t | t令 m = t 2 - 2 ，则m >0，S 1= 2 -S 2 m m 2 + 4m + 3 S 1= 2 - 1 m + 3 + 4 m32 - = 1+3 2 . 当 m = 时， 取得最小值1+ 2 ，此时G （2，0）．2【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.17.【2018 年高考全国Ⅰ文数】设抛物线C ：y 2 = 2x ，点 A (2 ，0) ， B (-2 ，0) ，过点 A 的直线l 与C 交于M ， N 两点．（1） 当l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2） 证明：∠ABM =∠ABN ．【答案】（1）y = 1 x +1 或 y = - 1x -1 ；（2）见解析.22【解析】（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线 BM 的方程为 y = 1x +1 或 y = - 1x -1 ．22（2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y = k (x - 2)(k ≠ 0) ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 x 1>0，x 2>0．⎧ y = k (x - 2) 2 由⎨ 2⎩ = 2x得 ky 2–2y –4k =0，可知 y 1+y 2= k ，y 1y 2=–4． 直线 BM ，BN 的斜率之和为k + k= y 1 + y 2 = x 2 y 1 + x 1 y 2 + 2( y 1 + y 2 ) ．①BMBNx + 2 x + 2 (x + 2)(x + 2) 1 2 1 2将 x = y 1 + 2 ， x = y2 + 2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入①式分子，可得1k2kx y + x y + 2( y + y ) = 2 y 1 y 2 + 4k ( y 1 + y 2 ) = -8 + 8 = 0 ． 2 1 1 2 1 2k k2t 4 - 2t 2 + 2 - 3t 2 1 ⋅ | 2t |⎩ 所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1） 求出直线 l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线 BM 的方程;（2） 由（1）知，当直线 l 与 x 轴垂直时，结论显然成立，当直线 l 与 x 轴不垂直时，设出斜率 k ，联立直线 l 与 C 的方程，求出 M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出 BM 与 BN 的斜率，得其和为 0，从而说明 BM 与 BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.18.【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线C ：y 2= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为k(k > 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．（1） 求l 的方程；（2） 求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2） (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x -11)2 + ( y + 6)2= 144 ．【解析】（1）由题意得 F （1，0），l 的方程为 y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ⎧ y = k (x -1)由⎨ y 2 = 4x得 k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2= 0 ．2k 2 + 4∆ = 16k 2+16 = 0 ，故x + x = ．12k2所以 AB = AF + BF = (x 1 + 1) + (x 2 + 1) =4k 2+ 4．k2由题设知 4k 2 + 4k2= 8 ，解得 k =–1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x –1．（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为y - 2 = -(x - 3) ，即 y = -x + 5 ．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则⎧y0 =-x0 + 5，⎪⎧x0= 3，⎧x= 11，⎨( y -x +1)2解得⎨或⎨⎪(x +1)2 =0 0 +16. ⎩y0 = 2 ⎩y0 =-6.⎩0 2因此所求圆的方程为(x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x -11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.x2 19.【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：y2+= 1 交于A ，B 两点．线段AB4 3 的中点为M (1, m)(m > 0) ．（1）证明：k <-1 ；2（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP +FA +FB =0 ．证明：2 | FP |=| FA | + | FB | ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.x2 y2 x2 y2【解析】（1）设A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，则1+1= 1，2 +2= 1．4 3 4 3两式相减，并由y1-y2 =k 得x1 +x2 +y1 +y2 ⋅k = 0 ．x1-x24 3由题设知x1+x2 = 1，y1+y2 =m ，于是k =-3．2 2 4m由题设得0 <m <3，故k <-1．2 2（2）由题意得F（1，0）．设P(x3，y3)，则(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)．由（1）及题设得x3 = 3 - (x1 +x2 ) = 1 ，y3 =-( y1 +y2 ) =-2m < 0 ．(x -1)2 + y 2 1 1 2 2 3 |FP |=, ) y y 又点 P 在 C 上，所以 m = 3 ，从而 P (1，- 3) ， 3 ．于是4 2 2x |FA |= = x 同理|FB |=2 - 2．21= 2 - 1 ． 2所以 FA + FB = 4 - 2 (x 1 + x 2 ) =3 ． 故2|FP |=|FA |+|FB |．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、 数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系， 也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.x 2 y 2 6 20.【2018 年高考北京卷文数】已知椭圆 M : + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 3，焦距为2 .斜率为k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ，B .（1） 求椭圆 M 的方程；（2） 若 k = 1，求|AB |的最大值；（3） 设 P (-2, 0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D .若 C ,D和点Q (- 7 1 4 4共线，求 k .【答案】（1） x 2 + 23= 1；（2）；（3）1.【解析】（1）由题意得2c = 2 ，所以c = ，又e = c =a6 ，所以 a = ，3所以b 2 = a 2 - c 2 = 1 ，所以椭圆 M 的标准方程为 x 2 + 23= 1．（2）设直线 AB 的方程为 y = x + m ，(x -1) + 3(1 - 2x 2 14 1 ) 2 61+ k 2 6 6 x + 21 12 2 1 1 11 1 ⎧ y = x + m ⎪ 由⎨2 ⎪⎩ 3y = 1 消去 y 可得 4x 2 + 6mx + 3m 2 - 3 = 0 ，则∆= 36m 2 - 4⨯ 4(3m 2 - 3) = 48 -12m 2 > 0 ，即 m 2 < 4 ，设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，则 x + x = -3m， x x 3m 2- 3 = ，11则| AB |= 221221 2| x 1 - x 2 |= ⋅ 4=6 ⨯4 - m 2 2易得当 m 2 = 0 时， | AB |max = ，故| AB | 的最大值为 ． （3）设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， C (x 3 , y 3 ) ， D (x 4 , y 4 ) ，则 x 2 + 3y 2 = 3 ①， x 2 + 3y 2 = 3 ②，又 P (-2, 0) ，所以可设 k 1⎧ y = k 1 (x + 2) = k PA =y 1x 1 + 2，直线 PA 的方程为 y = k 1 (x + 2) ， ⎪由⎨ x 2 + y 2 = 1 消去 y 可得(1+ 3k 2 )x 2 +12k 2 x +12k 2 - 3 = 0 ，⎪⎩ 312k 212k 2则 x 1 + x 3 = - 1，即 x 3 = - 1- x 1 ，又 k = 1+ 3k 2 y 1，代入①式可得 x 1+ 3k 2= -7x 1 -12 ，所以 y = y 1 ， x 1 + 2 4x 1 + 7 4x 1 + 7所以C ( -7x 1 -12 , y 1 ) ，4x 1 + 7 4x 1 + 7同理可得D ( -7x 2 -12 , y 2 ) ．4x 2 + 7 4x 2 + 77 1 7 1 故QC = (x 3 + 4 , y 3 - 4) ， QD = (x 4 + 4 , y 4 - 4) ，因为Q , C , D 三点共线，所以(x + 7 )( y - 1 ) - (x + 7 )( y - 1) = 0 ，3 4 4 4 44 3 4将点C , D 的坐标代入化简可得y 1 - y 2= 1，即 k = 1． x 1 - x 2 1+ k 2 (x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 ，13 313 13 2 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.21.【2018 年高考天津卷文数】设椭圆xa 2率为 5， | AB |= ．3y 2+ = 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心b 2（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l : y = kx (k < 0) 与椭圆交于P , Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．【答案】（1） x9 + y 2 4= 1；（2） - 1 ． 2【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 14 分．（1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c a 2又由 a 2 = b 2 + c 2 ，可得2a = 3b ．= 5，9由| AB |= = ，从而 a = 3, b = 2 ．2 所以，椭圆的方程为 x+ y = 1．9 4（2） 设点 P 的坐标为(x 1, y 1) ，点 M 的坐标为(x 2 , y 2 ) ，由题意， x 2 > x 1 > 0 ，点Q 的坐标为(-x 1, - y 1) ．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，可得|PM |=2|PQ | ， 从而 x 2 - x 1 = 2[x 1 - (-x 1)] ，即 x 2 = 5x 1 ． 易知直线 AB 的方程为 2x + 3y = 6 ，a 2 +b 2 2 2 29k 2 + 4 9k 2+ 42 ⎩ +y ⎧2x + 3y = 6, 6 由方程组 消去 y ，可得 x = ． ⎨ y = kx , ⎧ x 2 y 2 ⎪ 由方程组⎨ 9 4 ⎪⎩ y = kx ,2= 1, 消去 y ，可得 x 1 3k + 2= 6 ． 由 x = 5x ，可得= 5(3k + 2) ，两边平方，整理得18k 2 + 25k + 8 = 0 ，解得 k = - 8 ，或 219k = - 1 ．2 当 k = - 8 时， x = -9 < 0 ，不合题意，舍去；当 k = - 1 时， x = 12 ， x = 12，符合题意．9 2 2 2 15所以， k 的值为- 1．2【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类 问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.22.【2018 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 过点( 3, 1) ，焦点 F(-3, 0), F ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F 1F 2 ． （1） 求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2） 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点．若△OAB 的面积为212，求直线 l 的方程．【】1）椭圆 C 的方程为x 2 + 24 = 1，圆 O 的方程为 x 2 + y 2 =（2）① ( 2,1) ；② y = -5x + 3 ．【解析】（1）因为椭圆 C 的焦点为 F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，2 6748 y 2 (x 2 -2)0 0y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y 可设椭圆 C 的方程为 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) ．b 21 ⎧ 3 + 1= 1, ⎧a 2 = 4, 又点( 3, ) 在椭圆 C 上，所以⎪ a 2 4b 2⎪ ，解得2因此椭圆 C 的方程为x 2 + 24⎨⎪⎩a 2 -b 2 = 3,= 1．⎨ ⎪⎩b 2 = 1,因为圆 O 的直径为 F 1F 2 ，所以其方程为 x 2+ y 2= 3 ．（2）①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x , y )(x > 0, y > 0) ，则 x 2 + y 2= 3 ，所以直线 l 的方程为 y = - x 0 (x - x ) + y ，即 y = - x 0x +3．⎧ x 2 + 2⎪ 4 0 0= 1, y 0 y 0由⎨ ⎪ x 0消去 y ，得(4x 2 + y 2 )x 2 - 24x x + 36 - 4 y 2= 0 ．（*） 3⎪⎩y = - y x + ,y 0因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以∆= (-24x )2 - 4(4x 2 + y 2 )(36 - 4 y 2 ) = 48 y 2(x 2 - 2) = 0 ．因为 x 0 , y 0 > 0 ，所以 x 0 = 2, y 0 = 1 ．因此点 P 的坐标为( 2,1) ．②因为三角形 OAB 的面积为2 6 ，所以 1 AB ⋅ OP =2 6 ，从而 AB =4 2 ．727724x ± 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由（*）得 x 1,2 =，2(4x 2 + y 2 )2 y2 0x 2 48y 2 (x 2 - 2) 所 以 AB 2 = (x - x )2 + ( y - y )2 = (1+ 0 ) ⋅ 0 0．1 2 1 2 y 2 (4x 2 + y 2 )216(x 2- 2) 32 因为 x 2+ y 2= 3 ，所以 AB 2= 0= ，即2x 4 - 45x 2 +100 = 0 ， 0 0 (x 2 +1)249 0 0解得 x 2 = 5 (x 2 = 20 舍去），则 y 2 = 1 ， 0 2 0 02因此 P 的坐标为( 10 , 2 ) ．2 2综上，直线 l 的方程为 y = - 5x + 3 ．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.（1） 利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程.（2） ①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解；②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.23.【2018 年高考浙江卷】如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C ：y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1） 设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴；y2（2） 若 P 是半椭圆 x 2+ =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 4【答案】（1）见解析；（2）[6 2,15 10]． 4【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分 15 分.（1）设P (x , y ) ， 1 2，1 2．0 0A ( 4 y 1 , y 1 )B ( 4 y 2 , y 2 ) 因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，1 y2 + x所以 y ， y 为方程 y + y 2 0即 y 2 - 2 y y + 8x - y 2= 0 的两个不同的实数根．1 2( 0 ) = 4 ⋅ 40 0 02 2所以 y 1 + y 2 = 2 y 0 ．因此， PM 垂直于 y 轴．⎧⎪ y 1 + y 2 = 2 y 0 , （2）由（1）可知⎨ y y = 8x - y 2,⎩⎪ 1 2 0 0所以| PM |= 1 ( y 2 + y 2 ) - x = 3 y 2- 3x ，| y - y 8 |= 2 12 0．4 0 0 1 2因此， △PAB 的面积 S= 1 | PM | ⋅ | y - y |= 3( y 2 - 4x )2 ． △PAB 2 1 2 4 0y 2因 为 x 2 +0 = 1(x < 0) ，所以 y 2- 4x = -4x 2- 4x + 4 ∈[4, 5] ． 04因此， △PAB 面积的取值范围是[6 2,15 10 ]．4【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容， 需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.2( y 2 - 4x ) 0 0 3 2 0 0 0 0。

第五节椭圆课标要求考情分析1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题方向方向的热点．2．常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力．3．三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a<|F1F2|时，M点不存在．知识点二椭圆的标准方程和几何性质离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 2．小题热身(1)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( B ) A.13 B.33C.22D.12(2)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( D )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (3)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223(4)若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是(3,4)∪(4,5)．(5)已知点M (－2,0)，N (2,0)，点P 是曲线C ：x 24＋y 2＝1(y ≠0)上的动点，直线PM 与PN的斜率之积为－14.解析：(1)由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(3)∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.(4)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5且k ≠4.(5)设P (x 0，y 0)，因为点P 在曲线C 上， 所以x 204＋y 20＝1(y 0≠0)，y 20＝1－x 204，直线PM 与PN 的斜率之积为 y 0－0x 0＋2×y 0－0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14.第1课时 椭圆及其几何性质考点一 椭圆的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3(2)椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C ．16 3D ．32 3【解析】 (1)如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2..所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.(2)由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin60°＝1633.故选A.【答案】 (1)A (2)A 方法技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.(2)椭圆的定义式|PF 1|＋|PF 2|＝2a 中必须强调2a >|F 1F 2|.1．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝3.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.解析：椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋2.考点二 椭圆的标准方程命题方向1 定义法【例2】 (2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】 方法1：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.方法2：设|F 2B |＝x (x >0)，则|AF 2|＝2x ，|AB |＝3x ，|BF 1|＝3x ，|AF 1|＝4a －(|AB |＋|BF 1|)＝4a －6x ，由椭圆的定义知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4x ， 所以|AF 1|＝2x .在△BF 1F 2中，由余弦定理得|BF 1|2 ＝|BF 2|2＋|F 1F 2|2－2|F 2B |·|F 1F 2|cos ∠BF 2F 1， 即9x 2＝x 2＋22－4x ·cos ∠BF 2F 1①，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－2|AF 2|·|F 1F 2|cos ∠AF 2F 1， 即4x 2＝4x 2＋22＋8x ·cos ∠BF 2F 1②， 由①②得x ＝32，所以2a ＝4x ＝23，a ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.【答案】 B命题方向2 待定系数法【例3】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_______．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________．【解析】 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.【答案】 (1)y 210＋x 26＝1 (2)x 28＋y 26＝1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．1．(方向1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由已知及椭圆的定义知4a ＝43，即a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，b 2＝2， 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(方向2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.考点三 椭圆的几何性质命题方向1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】 已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】 因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.【答案】 A命题方向2 椭圆的离心率【例5】 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1【解析】 不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca＝2－1.故选A.【答案】 A命题方向3 最值或范围问题【例6】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程．(2)若△OAB 的顶点A ，B 在椭圆上，OA 所在的直线斜率为k 1，OB 所在的直线斜率为k 2，若k 1·k 2＝－b 2a2，求OA →·OB →的最大值．【解】 (1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝22b ，4a 2＋2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1>0，x 2>0. 由k 1k 2＝－b 2a 2＝－12得k 2＝－12k 1(k 1≠0)，直线OA ，OB 的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 28＋y 24＝1，解得x 1＝221＋2k 21，同理，x 2＝221＋2k 22， 所以x 2＝221＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝4|k 1|1＋2k 21. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝12x 1x 2＝42|k 1|1＋2k 21＝421|k 1|＋2|k 1|≤4222＝2，当且仅当|k 1|＝22时，等号成立． 所以OA →·OB →的最大值为2. 方法技巧1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围、离心率的范围等不等关系.1．(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( D )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)， 即长轴长2a 的最小值为2 2.2．(方向2)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1的直线l 与椭圆的一个交点为M ，右焦点F 2关于直线l 的对称点为P ，若△F 1MP 为正三角形，且其面积为3，则该椭圆的离心率为( C )A.32B.22C.12D.33解析：设正△F 1MP 的边长为m ，则34m 2＝3，∴m ＝2. 又由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2， 又由题可知b ＝3，∴c ＝1，e ＝c a ＝12.故选C. 3．(方向2)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A ) A.55 B.105C.255D.2105 解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55. 4．(方向3)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1→＋MF 2→|的最小值是( C )A ．4B ．6C ．8D ．10 解析：设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→＋MF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，|MF 1→＋MF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 2016＋4y 20＝100－94y 20， 因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1→＋MF 2→|取最小值为8.。

第七节抛物线课标要求考情分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题方向方向的热点．2．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇命题方向方向．3．题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题，有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档题.知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．知识点二抛物线的标准方程及几何性质抛物线常见的几何性质1．焦半径、通径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径． 过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p ，是过焦点最短的弦．2．直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图可得．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p. ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( × )(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( × ) 2．小题热身(1)以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( D ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( D )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－3D ．x ＝－4 (3)已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－132. (5)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是1516.解析：(2)因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0在2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x ＝－4，故选D.(3)由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．(4)由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132. (5)M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(12，0)(2)已知抛物线y 2＝24ax (a >0)上的点M (3，y 0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x【解析】 (1)因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.(2)抛物线y 2＝24ax (a >0)的准线方程为x ＝－6a ，点M (3，y 0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M (3，y 0)到准线的距离也为5，即3＋6a ＝5，∴a ＝13，∴y 2＝8x ，故选A.【答案】 (1)C (2)A 方法技巧1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋\f(p,2)或|PF |＝|y 0|＋p2.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.1．已知椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( A )A ．213B ．4 2C ．313D ．4 6解析：∵椭圆y 25＋x 2＝1，∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4，∵椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，∴a4＝2，即a ＝8，则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，y ＋2＝4，即点A 的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B (4，－6)，则|P A |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝42＋(－6)2＝16＋36＝52＝213，故选A.2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0， 因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8.考点二 抛物线的标准方程及几何性质【例2】 (1)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，则使△OFM 为等腰三角形的点M 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( )A ．16 3B ．12 3C ．4 3D ．3【解析】 (1)当|MO |＝|MF |时，有2个点M 满足题意；当|OM |＝|OF |时，有2个点M 满足题意．所以点M 的个数为4，故选C.(2)根据题意，四边形MNPQ 为矩形，可得|PQ |＝|MN |，从而得圆心F 到准线的距离与到MN 的距离相等，所以有M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，从而求得M (3,23)，N (3，－23)，所以|MN |＝43，|NP |＝4，所以矩形MNPQ 的面积S ＝4×43＝16 3.【答案】 (1)C (2)A 方法技巧(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化；(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.1．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F ，M 且与l 相切的圆有( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，所以可得m ＝±4.由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，故圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点．结合抛物线的性质知对于点M (4,4)和(4，－4)，线段FM 的垂直平分线与抛物线都各有2个交点，所以满足条件的圆有4个，故选D.2．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( B )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：将y ＝1，代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k AB ＝1－014－1＝－43，故选B.考点三 直线与抛物线的位置关系命题方向1 焦点弦问题【例3】 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线4x 23－4y 2＝1的右焦点相同，过点F 分别作两条直线l 1，l 2，直线l 1与抛物线C 交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D ，E 两点，若l 1与l 2的斜率的平方和为1，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．20C ．24D ．32【解析】 (1)抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.(2)由双曲线方程知其右焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意可设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －1)(k 1≠0)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －1)(k 2≠0)，则k 21＋k 22＝1，于是由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以x A ＋x B ＝2k 21＋4k 21＝2＋4k 21，同理可得，x D ＋x E ＝2＋4k 22.因为F 为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得|AB |＋|DE |＝(x A ＋p 2＋x B ＋p 2)＋(x D ＋p 2＋x E ＋p 2)＝x A ＋x B ＋x D ＋x E ＋2p ＝2＋4k 21＋2＋4k 22＋4＝8＋4(k 21＋k 22)k 21k 22＝8＋4k 21k 22≥8＋4(k 21＋k 222)2＝24，当且仅当k 21＝k 22＝12时，|AB |＋|DE |取得最小值24，故选C. 【答案】 (1)D (2)C命题方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】 已知A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a >0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p >0)在第一象限分别交于D ，C 两点．(1)若a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；(2)若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．【解】 (1)由题意知A (p 2，0)，则B (p 2＋a,0)，D (p 2，p )，则C (p2＋a ，p 2＋2pa )，又a ＝p ，所以k CD ＝3p －p3p 2－p 2＝3－1. (2)设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋by 2＝2px，得ky 2－2py ＋2pb ＝0，所以Δ＝4p 2－8pkb >0，得kb <p2，又y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝2pb k ，由y 1＋y 2＝2p k >0，y 1y 2＝2pbk >0，可知k >0，b >0，因为|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝a 1＋k 2， 点O 到直线CD 的距离d ＝|b |1＋k 2， 所以S 1＝12·a 1＋k 2·|b |1＋k 2＝12ab .又S 2＝12(y 1＋y 2)·|x 1－x 2|＝12·2p k ·a ＝apk ，所以S 1S 2＝kb 2p ，因为0<kb <p 2，所以0<S 1S 2<14.方法技巧直线与抛物线相交问题处理规律：(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算，特别是有关弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则使用弦长公式(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图形结合几何性质作出解答，并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F (34，0)，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.学习至此，请完成课时作业54第八节 圆锥曲线的综合问题课标要求考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题方向方向的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现，属中高档题.知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 知识点二 圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题方向方向的热点，各种题型都有，命题方向方向角度很广，归纳起来常见的命题方向方向角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值． 知识点三 圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( √ )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( × ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( × ) (4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( √ )解析：(2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切．(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( C ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条(2)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( B )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 (3)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B两点，若|AB |＝4，则a ＝14.(4)如图，已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆(x －2)2＋y 2＝1于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋4|CD |的最小值为13.解析：(1)结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba ，令kx ＋b ＝0得x 3＝－bk，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3.(3)抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝⎛⎭⎫－12a ＝4，解得a ＝14. (4)抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，与抛物线的焦点重合，且半径为1，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，因为直线AD 过焦点F ，所以x 1x 2＝4，则|AB |＋4|CD |＝(|AF |－1)＋4(|DF |－1)＝|AF |＋4|DF |－5＝(x 1＋2)＋4(x 2＋2)－5＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝24×4＋5＝13，当且仅当x 1＝4x 2，即x 1＝4，x 2＝1时取“＝”．故|AB |＋4|CD |的最小值为13.第1课时 最值、范围、证明问题考点一 最值问题【例1】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，直线l ：x ＝a 2交x 轴于点A ，且AF 1→＝2AF 2→.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F 1，F 2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D ，E ，M ，N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．【解】 (1)由题意知，|F 1F 2|＝2c ＝2，A (a 2,0)， ∵AF 1→＝2AF 2→，∴F 2为线段AF 1的中点， 则a 2＝3，b 2＝2，则椭圆方程为x 23＋y 22＝1. (2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE |＝2b 2a ＝43，此时|MN |＝2a ＝23，四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝4.同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝4.当直线DE ，MN 与x 轴均不垂直时，设直线DE ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 代入椭圆方程，消去y 可得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，∴|x 1－x 2|＝43×k 2＋12＋3k 2，∴|DE |＝k 2＋1|x1－x 2|＝43(k 2＋1)2＋3k 2. 同理|MN |＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1k 2＋12＋3⎝⎛⎭⎫－1k 2＝43⎝⎛⎭⎫1k 2＋12＋3k2，∴四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝12×43(k 2＋1)2＋3k 2×43⎝⎛⎭⎫1k 2＋12＋3k 2＝24⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋26⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋13， 令u ＝k 2＋1k 2，则S ＝4－413＋6u .∴u ＝k 2＋1k 2≥2，当k ＝±1时，u ＝2，S ＝9625，且S 是以u 为自变量的增函数，则9625≤S <4.综上可知，9625≤S ≤4，故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625.方法技巧处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.1．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为22. 解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.2．(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．解：(1)证明：设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为P A，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程⎝⎛⎭⎫y＋y022＝4·14y2＋x02即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y2－3x0，|y1－y2|＝22(y20－4x0).因此，△P AB的面积S△P AB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y2－4x0)32.因为x2＋y204＝1(x0<0)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]．因此，△P AB面积的取值范围是62，15104.考点二范围问题【例2】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(0<r≤2)的两条切线P A，PB，切线P A，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围．【解】(1)由抛物线定义，得|PF|＝x0＋p2，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝x 0＋p 2，2px 0＝4，p >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0<r ≤2)的切线斜率存在且不为0，设切线P A 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2，则圆心M (3,0)到切线P A 的距离d ＝|2k 1＋2|k 21＋1＝r ，整理得，(r 2－4)k 21－8k 1＋r 2－4＝0.设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2，同理可得(r 2－4)k 22－8k 2＋r 2－4＝0.所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝8r 2－4，k 1k 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)＋2，y 2＝4x 得，k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0，由根与系数的关系知，2y 1＝8－4k 1k 1，所以y 1＝4－2k 1k 1＝4k 1－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2. t ＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228＝(4k 2－2)2＋(4k 1－2)28＝2(k 21＋k 22)－2(k 1＋k 2)＋1＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3， 设λ＝k 1＋k 2，则λ＝8r 2－4∈[－4,2)，所以t ＝2λ2－2λ－3，其图象的对称轴为λ＝12>－2，所以9<t ≤37.方法技巧解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M (1，32)，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得，x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45(1＋13＋4k 2)，∵k2>14， ∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)． 考点三 证明问题【例3】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，F 为该椭圆的右焦点，过点F任作一直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN |的最大值为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，若直线AM ，AN 分别交直线x ＝2a 于P ，Q 两点，求证：PF ⊥QF .【解】 (1)依题意知2a ＝4，c a ＝12，即a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所求椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)知A (－2,0)，F (1,0)． (ⅰ)当直线l 的斜率不存在时， 不妨取M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32， 直线AM ：y ＝12(x ＋2)，所以P (4,3)．同理Q (4，－3)，所以FP →＝(3,3)，FQ →＝(3，－3)， 所以FP →·FQ →＝0，所以PF ⊥QF .(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (4，y 3)，Q (4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 33＝1，y ＝k (x －1)得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2－3)3＋4k 2.由A ，M ，P 三点共线得y 3＝6y 1x 1＋2，同理y 4＝6y 2x 2＋2，所以P ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，所以FP →＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，FQ →＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，所以FP →·FQ →＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝9＋36k 2(x 1－1)·(x 2－1)(x 1＋2)·(x 2＋2)＝9＋36k 2[x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝9＋36k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(k 2－3)3＋4k 2－8k 23＋4k 2＋14(k 2－3)3＋4k 2＋16k 23＋4k 2＋4＝0，所以PF ⊥QF .综上，PF ⊥QF . 方法技巧圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明，但有时也会用到反证法.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，以线段MF 为直径的圆与x 轴相切． (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交曲线E 在T 处的切线于点N ，求证：|NT |2＝52|NA |·|NB |.解：(1)设点M (x ，y )，因为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以MF 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，2y ＋14. 因为以线段MF 为直径的圆与x 轴相切， 所以|MF |2＝|2y ＋1|4，即|MF |＝|2y ＋1|2，故x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝|2y ＋1|2，得x 2＝2y ， 所以M 的轨迹E 的方程为x 2＝2y . (2)证明：因为T 是E 上横坐标为2的点， 所以由(1)得T (2,2)，所以直线OT 的斜率为1.因为l ∥OT ，所以可设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，m ≠0.由y ＝12x 2，得y ′＝x ，则曲线E 在T 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝2，所以曲线E 在T 处的切线方程为y ＝2x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，y ＝2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2，y ＝2m ＋2，所以N (m ＋2,2m ＋2)， 所以|NT |2＝[(m ＋2)－2]2＋[(2m ＋2)－2]2＝5m 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＝2y消去y ，得x 2－2x －2m ＝0，由Δ＝4＋8m >0，解得m >－12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2m . 因为N ，A ，B 在l 上，所以|NA |＝2|x 1－(m ＋2)|， |NB |＝2|x 2－(m ＋2)|，所以|NA|·|NB|＝2|x1－(m＋2)|·|x2－(m＋2)| ＝2|x1x2－(m＋2)(x1＋x2)＋(m＋2)2|＝2|－2m－2(m＋2)＋(m＋2)2|＝2m2，所以|NT|2＝52|NA|·|NB|.。

2021年海南省新高考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. (5分)设集合A ={2,3，5，7}，B ={1,2，3，5，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5，7}B. {2,3}C. {2,3，5}D. {1,2，3，5，7，8} 2. (5分)(1+2i)(2+i)=( )A. 4+5iB. 5iC. −5iD. 2+3i3. (5分)在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. (5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5. (5分)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%6. (5分)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种7. (5分)已知函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (5,+∞)D. [5,+∞) 8. (5分)若定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)≥0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. (5分)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；10.(5分)已知曲线C：mx2+ny2=1.()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD. 若m=0，n>0，则C是两条直线11.(5分)如图所示是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=()A. B. C. D.12.(5分)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. a2+b2≥12B. 2a−b>12C. log2a+log2b≥−2D. √a+√b⩽√2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(5分)已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A−NMD1的体积为．14.(5分)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=．15.(5分)将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为16.(5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1a n a n+1．19. (12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位：μg/m 3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )20.(12分)如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12．(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．22.(12分)已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 根据两集合的公共元素得出答案． 【解答】解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故A ∩B ={2,3，5}． 故选：C ．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数运算，属于基础题． 根据复数的乘法公式计算．【解答】解：(1+2i)(2+i)=2+i +4i +2i 2=5i ， 故选：B ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用向量加法法则直接求解． 【解答】解：在△ABC 中，D 是AB 边上的中点， 则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．4.【答案】B【解析】【分析】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为Oˈ，OOˈ垂直于纬线所在的圆面，由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAOˈ为40°且OA⊥AH，在Rt△OHA中，OˈA⊥OH，∴∠OHA=∠OAOˈ=40°，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，画出图形，列出方程求解即可．【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z=60，x+y+z=96，y+z=82，解得z=46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C6.【答案】C【解析】【分析】本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：C32C11A22=6．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t=x2−4x−5，由外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，需内层函数t=x2−4x−5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，转化为(a,+∞)⊆(5,+∞)，即可得到a的范围．【解答】解：由x2−4x−5>0，得x<−1或x>5．令t=x2−4x−5，∵外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(a,+∞)上单调递增， 则需内层函数t =x 2−4x −5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0， 则(a,+∞)⊆(5,+∞)，即a ≥5． ∴a 的取值范围是[5,+∞)． 故选：D ．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．难度中等．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【解答】解：∵定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，f(x)的大致图象如图所示：∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0； 故f(−1)<0；当x =0时，不等式xf(x −1)≥0成立， 当x =1时，不等式xf(x −1)≥0成立，当x −1=2或x −1=−2时，即x =3或x =−1时，不等式xf(x −1)≥0成立， 当x >0时，不等式xf(x −1)≥0等价为f(x −1)≥0， 此时{x >00<x −1⩽2，此时1<x ≤3， 当x <0时，不等式xf(x −1)≥0等价为f(x −1)≤0， 即{x <0−2⩽x −1<0，得−1≤x <0，综上−1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D．9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查折线图表示的函数的认知和理解，考查理解能力、识图能力、推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属于中档题．通过复工和折线图中都有递减的部分来判断A；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；故选：CD．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．【解答】解：A.若m>n>0，则1m <1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B.若m=n>0，则方程为x2+y2=1n ，表示半径为√n的圆，故B错误；C.若m<0，n>0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，若m>0，n<0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；D.当m=0，n>0时，则方程为y=±1√n表示两条直线，故D正确；故选：ACD．11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和ω，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】解：由图象知函数的周期，即，即ω=2，由五点对应法得，得，则故选：BC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a>0，b>0，且a+b=1，所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2⩾12，故A正确．②利用分析法：要证2a−b>12，只需证明a−b>−1即可，即a>b−1，由于a>0，b>0，且a+b=1，所以：a>0，b−1<0，故B正确．③log2a+log2b=log2ab⩽log2(a+b2)2=−2，故C错误．④由于a>0，b>0，且a+b=1，利用分析法：要证√a+√b⩽√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√ab⩽2，即2√ab⩽1，故√ab⩽12=a+b2，当且仅当a=b=12时，等号成立．故D正确．故选：ABD．13.【答案】13【解析】【分析】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A−NMD1的体积．【解答】解：如图所示，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，∴S△ANM=12×1×1=12，∴V A−NMD1=V D1−AMN=13×12×2=13．故答案为：13．14.【答案】163【解析】【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查学生的计算能力，是中档题．由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．【解答】解：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y=√3(x−1)，代入y2=4x并化简得3x2−10x+3=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=103；x1x2=1，∴由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=103+2=163．故答案为：163．15.【答案】3n2−2n【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．首先判断{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．【解答】解：将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+n(n−1)2×6=3n2−2n，故答案为：3n2−2n．16.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题． 设大圆的半径为R ，利用已知条件求出OQ 、OD 的长，利用tan∠ODC =求出大圆的半径R ，再根据图中线段关系得出△AOH 为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【解答】解：作AM 垂直于EF ，交OH 、DG 于S 、N ，垂足为M ，过点O 作OQ 垂直于DQ ，垂足为Q ，∵A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，∴EM =AM =7， 又∵EF =12，MN =DE =2，∴NG =MF =12−7=5，AN =AM −NM =7−2=5， ∴∠AGD =45°，∵BH // DG ，∴∠AHO =45°， 由于AG 是圆弧的切线，∴AG ⊥OA ，∠AOH =∠ACN =45°， 设大圆的半径为R ，则AS =OS =R√2， OQ =SN =5−R √2，DQ =DN −QN =7−R√2， ∵tan∠ODC =35，∴5−R√27−R √2=35，解得R =2√2，图中阴影部分面积分为扇形AOB 和直角△AOH 的面积减去小半圆的面积， 所以S 阴影=135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−12×π×1=52π+4． 故答案为：52π+4．17.【答案】解：①ac=√3．△ABC中，sinA=√3sinB，即b=√33a，ac=√3，∴c=√3a，cosC=a2+b2−c22ab =a2+a23−3a22√3a23=√32，∴a=√3，b=1，c=1．②csinA=3．△ABC中，，∴a=6．∵sinA=√3sinB，即a=√3b，∴b=2√3．cosC=a2+b2−c22ab=36+12−c22×6×2√3=√32∴c=2√3．③c=√3b.∵sinA=√3sinB，即a=√3b，又∵c=√3b，与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在．【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．①根据题意，结合正弦定理，可得b=√33a，c=√3a，结合，运用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，即可求得c=1．②根据题意，△ABC中，csinA=asinC，即可求得a=6，进而得到b=2√3.运用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，即可求得c=2√3．③根据c =√3b ，sinA =√3sinB 即a =√3b ，可列式求得cosC =√36，与已知条件矛盾，所以问题中的三角形不存在．18.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，则{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8, ∵q >1，∴{a 1=2q =2, ∴a n =2·2n−1=2n ．(2)a 1a 2−a 2a 3+⋯+(−1)n−1a n a n+1=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1， =23[1−(−22)n ]1−(−22)=85−(−1)n22n+35．【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．(1)根据题意，列方程组{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8，解得a 1和q ，然后求出{a n }的通项公式；(2)根据条件，可知a 1a 2，−a 2a 3，…(−1)n−1a n a n+1，是以23为首项，−22为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．19.【答案】解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率 P =32+18+6+8100=0.64；SO 2 PM2.5 [0,150](150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010由K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=100×(64×10−16×10)280×20×74×26=7.484>6.635，P(K 2≥6.635)=0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关，【解析】本题考查独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率；(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．20.【答案】解：(1)证明：过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，由AD // BC ，可得l // BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ，CD ∩PD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵l // BC ，∴l ⊥平面PCD ；(2)如图所示，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，∵PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =√2， ∴PB =√3，QP =1，则D(0,0，0)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(1,1，0)， 设Q(1,0，1)，则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设平面QCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{b =0a +c =0，取c =1，可得n⃗ =(−1,0，1)， ∴cos <n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3·√2=√63， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√63．【解析】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．(1)过P在平面PAD内作直线l//AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，求出Q(0,1，1)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．21.【答案】解：(1)由题意可知直线AM的方程为：y−3=12(x−2)，即x−2y=−4，当y=0时，解得x=−4，所以a=4，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，可得416+9b2=1，解得b2=12，所以C的方程：x216+y212=1．(2)设与直线AM平行的直线方程为：x−2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x−2y=m代入椭圆方程：x216+y212=1．化简可得：16y2+12my+3m2−48=0，所以△=144m2−4×16(3m2−48)=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：x−2y=8，利用平行线之间的距离为：d=8+4√1+4=12√55，|AM|==3．所以△AMN的面积的最大值：12×3√5×12√55=18．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题．(1)利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程．(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，∴f′(x)=e x−1x，∴f′(1)=e−1，∵f(1)=e+1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e+1)=(e−1)(x−1)，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2e−1，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．(2)方法一：由f(x)≥1，可得ae x−1−lnx+lna≥1，即e x−1+lna−lnx+lna≥1，即e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+t，则g′(t)=e t+1>0，∴g(t)在R上单调递增，∵g(lna+x−1)≥g(lnx)∴lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx−x+1，令ℎ(x)=lnx−x+1，∴ℎ′(x)=1x −1=1−xx，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，当x>1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)≤ℎ(1)=0，∴lna≥0，∴a≥1，故a的范围为[1,+∞)．方法二：由f(x)≥1可得ae x−1−lnx+lna≥1，即ae x−1−1≥lnx−lna，设g(x)=e x−x−1，∴g′(x)=e x−1>0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴g(x)>g(0)=1−0−1=0，∴e x−x−1>0，即e x>x+1，再设ℎ(x)=x−1−lnx，∴ℎ′(x)=1−1x =x−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0，∴x−1−lnx≥0，即x−1≥lnx2021年海南省新高考数学试卷-解析版∵a>0，∴e x−1≥x，则ae x−1≥ax，此时只需要证ax≥x−lna，即证x(a−1)≥−lna，当a≥1时，∴a≥1，x(a−1)>0>−lna恒成立，当0<a<1时，x(a−1)<0<−lna，此时x(a−1)≥−lna不成立，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法三：由题意可得x∈(0,+∞)，a∈(0,+∞)，∴f′(x)=ae x−1−1，x易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当0<a<1时，f′(1)=a−1<0，f′(1)=ae1a−1−a=a(e1a−1−1)>0，a)使得f′(x0)=0，∴存在x0∈(1,1a当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)<f(1)=a+lna<a<1，不满足题意，②当a≥1时，e x−1>0，lna>0，∴f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，∴g′(x)=e x−1−1，x易知g′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵g′(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)=1，即f(x)≥1，综上所述a的取值范围为[1,+∞)．方法四：∵f(x)=ae x−1−lnx+lna，x>0，a>0，∴f′(x)=ae x−1−1x，易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，∵存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，则ae x0−1=1x0，则lna+x0−1=−lnx0，即lna=1−x0−lnx0，当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)≥f(x0)=ae x0−1−lnx0+lna=1x0−lnx0+1−x0−lnx0=1x0−2lnx0+1−x0≥1∴1x0−2lnx0−x0≥0设g(x)=1x−2lnx−x，易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g(1)=1−0−1=0，∴当x∈(0,1]时，g(x)≥0，∴x0∈(0,1]时，1x0−2lnx0−x0≥0，设ℎ(x)=1−x−lnx，x∈(0,1]，∴ℎ′(x)=−1−1x<0恒成立，∴ℎ(x)在(0,1]上单调递减，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=1−1−ln1=0，当x→0时，ℎ(x)→+∞，∴lna≥0=ln1，∴a≥1．2021年海南省新高考数学试卷-解析版【解析】本题考查导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；(2)方法一：不等式等价于e x−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+ t，根据函数单调性可得lna>lnx−x+1，再构造函数ℎ(x)=lnx−x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；方法二：构造两个基本不等式e x>x−1，x−1≥lnx，则原不等式转化为x(a−1)≥−lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当0<a<1，此时不符合题意，当a≥1时，f(x)≥e x−1−lnx，令g(x)=e x−1−lnx，再根据导数和函数最值的关系即可证明，−2lnx0+1−x0≥1，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f(x)≥f(x0)=1xlna=1−x0−lnx0，再求出x0的范围，再利用导数求1−x0−lnx0的范围，即可求出a 的范围．。