一个可积耦合离散方程的多孤子解和守恒律

郑州大学硕士学位论文一个新的广义非线性Schr?dinger方程的达布变换及其精确解姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***201105摘要本文主要研究—个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换及其精确解．文中共分四部分：第一部分主要介绍了孤立子理论的发展和现状以及Ｄａｒｂｏｕｘ变换的基本理论．第二部分首先给出一个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｌａｘ对．然后引入Ｌａｘ对之间的规范变换，由此导出这个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｄａｒｂｏｕｘ变换．第三部分主要研究Ｄａｒｂｏｕｘ变换的约化并给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换．文中给出一个系统的代数算法求解此新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程．第四部分主要讨论Ｄａｒｂｏｕｘ的应用，以平凡解作为种子解，详细讨论利用Ｄａｒｂｏｕｘ变换得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ⅳ－孤子解的算法．特别地，我们分别得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解．利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件，通过适当选择参数，给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解的图形．关键词：新的广义ＮＬＳ方程；Ｄａｒｂｏｕｘ变换；孤子解ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｍａｉｎａｉｍｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒｉｓｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔａＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｅｘａｃｔｓｏｌｕ－ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｆｏｕｒｓｅｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ１，ｗｅｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ２，ｗｅｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅＬａｘｐａｉｒｏｆａｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．ＴｈｅｎａＤａｒｂｏｕｘｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｄｅ－ｒｉｖｅｄｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｇａｕｇｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＬａｘｐａｉｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ３，ｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．ＡｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｓｇｉｖｅｎｉｎｄｅｔａｉｌｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｅｆｉｎａｌｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓａｎａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｆｔｈｅＮ－ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｓａｌｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｗｅｏｂｔａｉｎｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ｔｈｅｆｉｇｕｒｅｓｏｆｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｗｅａｒｅｇｉｖｅｎｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｕｉｔａｂｌｙｃｈｏｓｅｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＡｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＩＩ§１引言非线性科学是自２０世纪６０年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为２０世纪自然科学的“第三次革命”．而孤立子理论作为非线性科学的一个重要分支，它既反映一类非常稳定的自然现象，又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，因而受到物理学界和数学界的高度重视．在历史上，孤子和孤波的概念是从一维潜水槽中小振幅波的研究开始的，由于人们对自然现象的细心观察而发现了孤波．１８４４年，英国科学家Ｊ．Ｓ．Ｒｕｓｓｅｌｌ在他的《论波动》报告中，讲述了他１８３４年观察到的一种奇特的水波现象，认为这种孤立波的波动是流体力学方程的一个稳定解，但一直未能在理论上证明孤波的存在．直到１８９５年，荷兰著名数学家Ｋｏｒｔｅｗｅｇ和他的学生ｄｅＶｒｉｅｓ在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程，用行波法求出了与Ｒｕｓｓｅｌｌ描述一致的孤波解，孤立波的存在才得到普遍承认．起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在．但是，１９６５年，美国数学家Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ利用计算机通过计算详细研究了ＫｄＶ方程两波相互作用的全过程，惊奇地发现孤波在作用前后形状和速度保持不变而且具有弹性散射的性质，所以Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ又将这种稳定的孤波称为孤子．孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣．随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各个领域不断被揭示出，其中包括等离子体中的非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程、振子运动的Ｔｏｄａ链与二维流体流动的ＫＰ方程等，而且这些方程还具有其它许多共同的性质，例如它们都存在Ｌａｘ对与无穷守恒律，都存在等谱流与非等谱流，且相关的等谱方程族构成无穷维Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统等．随着对孤立子研究的深入，人们已发现一系列求孤立子方程精确解的方法，如反散射方法（［９］一［１０］），ＢｉｉｚＭｕｎｄ变换法（［１１］．［１２】，［３０】），Ｄａｒｂｏｕｘ变换法（［１３］－［１７］），Ｈｉｒｏｔａ双线性方法（［１８】．［１９】），Ｐａｉｎｌｅｖｄ分析法（［２０］），Ｌｉｅ对称方法（［２１】－［２２］），以及代数几何方法（［２３］－［２６］），非线性化方法（【２７】），齐次平衡法（【２８］－［２９］）等，其中Ｄａｒｂｏｕｘ变换方法是一１种简便而有效的方法．Ｄａｒｂｏｕｘ变换是１９世纪末法国数学家Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ在研究线性Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题时提出的．１８８２年，Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ研究了一个二阶线性常微分Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程（就是现在所谓的ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程）的特征值问题一≯２２＋让（ｚ）≯＝入砂，（１．１）其中ｕ（ｚ）是给定的函数，入是常数，称为普参数．Ｄａｒｂｏｕｘ发现下面的事实：设札（ｚ）和≯（ｚ，入）是满足（１．１）的两个函数，对任意给定的常数入ｌ，令咖＝多（ｚ，入）是方程（１．１）的一个解，≯１＝≯（ｚ，入１）是（１．１）当入＝入ｌ时的一个解，即≯１满足方程－砂１，ｚｚ＋ｕ（ｚ）≯ｌ＝Ａ１≯１，（１．２）则由覆（。