初三数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案

初三数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案

一、圆的综合

1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度数；

（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．

【解析】

【分析】

（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．

（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．

（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．

【详解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，

故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；

∴AC=12OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，

而OC是⊙O的半径，

故PC与⊙O的位置关系是相切．

（3）如图；有三种情况：

①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）；

劣弧MA的长为：60441803；

②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；

劣弧MA的长为：120481803；

③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；

优弧MA的长为：2404161803；

④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）；

优弧MA的长为：3004201803；

综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．

【点睛】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．

2．已知Oe的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．

1如图①，若m5，则C的度数为______o；

2如图②，若m6．

①求C的正切值；

②若ABCV为等腰三角形，求ABCV面积．

【答案】130；2C①的正切值为34；ABCS27V②或43225.

【解析】

【分析】

1连接OA，OB，判断出AOBV是等边三角形，即可得出结论；

2①先求出10AD，再用勾股定理求出8BD，进而求出tanADB，即可得出结论；

②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．

【详解】

1如图1，连接OB，OA，

OBOC5，

ABm5Q，

OBOCAB，

AOBV是等边三角形，

AOB60o，

1ACBAOB302o，

故答案为30；

2①如图2，连接AO并延长交Oe于D，连接BD，

ADQ为Oe的直径，

AD10，ABD90o，

在RtABDV中，ABm6，根据勾股定理得，BD8，

AB3tanADBBD4，

CADBQ，

C的正切值为34；

②Ⅰ、当ACBC时，如图3，连接CO并延长交AB于E，

ACBCQ，AOBO，

CE为AB的垂直平分线，

AEBE3，

在RtAEOV中，OA5，根据勾股定理得，OE4，

CEOEOC9，

ABC11SABCE692722V；

Ⅱ、当ACAB6时，如图4，

连接OA交BC于F， ACABQ，OCOB，

AO是BC的垂直平分线，

过点O作OGAB于G，

1AOGAOB2，1AGAB32，

AOB2ACBQ，

ACFAOG，

在RtAOGV中，AG3sinAOGAC5，

3sinACF5，

在RtACFV中，3sinACF5，

318AFAC55，

24CF5，

ABC111824432SAFBC225525V；

Ⅲ、当BABC6时，如图5，由对称性知，ABC432S25V．

【点睛】

圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

3．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．

（1）求证：△BOC≌△CDA．

（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）4339.

【解析】

分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=33BH=33，OB=2OH=233，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.

详解:

（1）证明：∵O是△ABC的内心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，

由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

(2)由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

∴△ABC是等边三角形

∴O是△ABC的内心也是外心 ∴OA=OB=OC

设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.

在Rt△OCE中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°，

∴OA=OB=OC=233

∵∠AOC=120°，

∴=AOBAOBSSSV阴影扇

=21202313()2360323

=4339

点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.

4．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．

（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；

（2）求（1）中所求作的圆的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．

【解析】

试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．

如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．

（2）连接OA，OB．

∵AC=3，∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴圆的半径是3，

∴圆的面积是S=πr2=9π．

5．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．

【答案】(1)见解析;(2)18.

【解析】

分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；

（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．

详解：（1）证明：连接OB．

∵∠A=45°，

∴∠DOB=90°．

∵OD∥BC，

∴∠DOB+∠CBO=180°．

∴∠CBO=90°．

∴直线BC是⊙O的切线．

（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，

∴∠ODB=45°，BD=OD=15，

∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，

∴△DBE∽△ABD， ∴BD2=BE•BA，

∴（15）2=（7+BE）BE，

∴BE=18或﹣25（舍弃），

∴BE=18．

点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．

6．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），点C（x，y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为 ；

（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：

如图2，以（1）中的AB为斜边在右上方作Rt△ABM.设点M坐标为（x，y），求（x+y）的最大值是多少？

【答案】（1）6（2）4+25

【解析】

分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；

（2）根据以AB为斜边在右上方作Rt△ABC，可知点C在以AB为直径的⊙D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=﹣x+m与⊙D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+5，1+5），代入直线y=﹣x+m，可得m=4+25，即可得出x+y的最大值为4+25．

详解：（1）6；

（2）由题可得，点C在以AB为直径的⊙D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=﹣x+m与⊙D相切，交x轴与E，如图所示，连接OD，CD．