数学_2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑦=log2𝑥}，𝐵={𝑥∈Z||𝑥|<3}，则𝐴∩𝐵=( )

A (0, 3) B (−3, +∞) C {1} D {1, 2}

2. 已知复数𝑧的共轭复数为𝑧¯，且𝑧¯=2𝑖1+𝑖，则𝑧在复平面内的对应点在（ ）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

3. 已知等边△𝐴𝐵𝐶，边长为1，则|3𝐴𝐵→+4𝐵𝐶→|等于（ ）

A √37 B 5 C √13 D 7

4. 在区间(2𝑘𝜋+𝜋2, 2𝑘𝜋+𝜋)，𝑘∈𝑍上存在零点的函数是（ ）

A 𝑦=sin2𝑥 B 𝑦=cos2𝑥 C 𝑦=tan2𝑥 D 𝑦=sin2𝑥

5. 已知命题𝑝:∃𝑥0∈𝑅，使tan𝑥0=1，命题𝑞:𝑥2−3𝑥+2<0的解集是{𝑥|1<𝑥<2}，则以下结论正确的是（ ）

A 命题“𝑝且𝑞”是真命题 B 命题“𝑝且𝑞”是假命题 C 命题“￢𝑝且𝑞”是真命题 D 命题“𝑝且￢𝑞”是真命题

6. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线为𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0)，离心率𝑒=√5𝑘，则双曲线方程为（ ）

A 𝑥2𝑎2−𝑦24𝑎2=1 B 𝑥23𝑏2−𝑦2𝑏2=1 C 𝑥24𝑏2−𝑦2𝑏2=1 D 𝑥25𝑏2−𝑦2𝑏2=1

7. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60∘的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）

A 2√3 B 4√3 C 8 D 4

8. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则“𝑎5>0”是“数列{𝑆𝑛}为递增数列”的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

9. 根据如图所示的程序框图，输出的结果𝑖=( )

A 6 B 7 C 8 D 9 10. 过点𝐶(0, 𝑝)的直线与抛物线𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)相交于𝐴，𝐵两点，若点𝑁是点𝐶关于坐标原点的对称点，则△𝐴𝑁𝐵面积的最小值为（ ）

A 2√2𝑝 B √2𝑝 C 2√2𝑝2 D √2𝑝2

11. 已知正项等比数列{𝑎𝑛}满足：𝑎7=𝑎6+2𝑎5，若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得𝑎𝑚𝑎𝑛=16𝑎12，则1𝑚+4𝑛的最小值为（ ）

A 32 B 53 C 256 D 不存在

12. 在函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−(𝑥−1)2的图象上，横坐标在区间(1, 2)内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数𝑎的取值范围是（ ）

A [1, +∞) B (1, +∞) C [6, +∞) D (6, +∞)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13. 平面上有两条相距2𝑎的平行线，把一枚半径为𝑟(𝑟<𝑎)的硬币任意掷在两线之间，则硬币不与任何一条直线相碰的概率是________．

14. 已知角𝛼的顶点与原点𝑂重合，始边与𝑥轴的正半轴重合，若它的终边经过点𝑃(2, 3)，则tan(2𝛼+𝜋4)=________．

15. 设𝐷是不等式组{𝑥+2𝑦≤102𝑥+𝑦≥3𝑥≤4𝑦≥1表示的平面区域，𝑃(𝑥, 𝑦)是𝐷中任一点，则|𝑥+𝑦−10|的最大值是________．

16. 设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛𝑆2𝑛为常数，则称数列{𝑎𝑛}为和谐数列，若一个首项为1，公差为𝑑(𝑑≠0)的等差数列为和谐数列，则该等差数列的公差𝑑=________．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为𝜋2．

（1）求函数𝑓(𝑥)在[0, 𝜋2]上的值域；

（2）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知sin𝐴sin𝐵+sin𝐵sin𝐶+cos2𝐵=1，且𝑓(𝐶)=0，求三边长之比𝑎:𝑏:𝑐．

18. 某中学研究性学习小组，为了研究高中文科学生的历史成绩是否与语文成绩有关系，在本校高三年级随机调查了50名文科学生，调查结果表明：在语文成绩优秀的25人中16人历史成绩优秀，另外9人历史成绩一般；在语文成绩一般的25人中有6人历史成绩优秀，另外19人历史成绩一般．

（1）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中文科学生的历史成绩与语文成绩有关系；

语文成绩优秀 语文成绩一般 总计 历史成绩优秀

历史成绩一般

总计

（2）将其中某5名语文成绩与历史成绩均优秀的学生分别编号为1，2，3，4，5，某5名语文成绩优秀但历史成绩一般的学生也分别编号为1，2，3，4，5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．

参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．

参考数据：

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

𝑘0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

19. 如图，已知⊙𝑂的直径为𝐴𝐵，点𝐶为⊙𝑂上异于𝐴，𝐵的一点，𝐵𝐶⊥𝑉𝐴，𝐴𝐶⊥𝑉𝐵．

（1）求证：𝑉𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶；

（2）已知𝐴𝐶=1，𝑉𝐶=2，𝐴𝐵=3，点𝑀为线段𝑉𝐵的中点，求两面角𝐵−𝑀𝐴−𝐶的正弦值．

20. 已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为4，且过点𝐴(√2, √3)．

（1）求椭圆𝐶的方程和椭圆的离心率；

（2）过点(4, 0)作直线𝑙交椭圆𝐶于𝑃，𝑄两点，点𝑆与𝑃关于𝑥轴对称，求证：直线𝑆𝑄恒过定点并求出定点坐标．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)2𝑥(𝑎为常数且𝑎>0)．

（1）确定𝑓(𝑥)的极值；

（2）证明𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−227𝑎3恰有三个零点；

（3）如果函数ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥+𝜆𝑎)的图象经过坐标平面四个象限，求实数𝜆的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】

22. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐵𝐷是⊙𝑂的直径，过点𝐴作⊙𝑂的切线𝐴𝐸，与𝐶𝐷的延长线交于𝐸，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为点𝐸．

（1）证明：𝐷𝐴平分∠𝐵𝐷𝐸；

（2）如果𝐴𝐵=4，𝐴𝐸=2，求对角线𝐶𝐴的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23. 两条曲线的极坐标方程分别为𝐶1:𝜌=1与𝐶2:𝜌=2cos(𝜃+𝜋3)，它们相交于𝐴，𝐵两点．

（1）写出曲线𝐶1的参数方程和曲线𝐶2的普通方程；

（2）求线段𝐴𝐵的长．

【选修4-5：不等式选讲】

24. 已知非零实数𝑚使不等式|𝑥−𝑚|+|𝑥+2𝑚|≥|𝑚||log2|𝑚|对一切实数𝑥恒成立．

（1）求实数𝑚的取值范围𝑀；

（2）如果𝑎，𝑏∈𝑀，求证：|2𝑎3+𝑏4|<8．

2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷（文科）答案

1. D

2. D

3. C

4. B

5. A

6. C

7. D

8. B

9. C

10. C

11. A

12. C

13. 𝑎−𝑟𝑎

14. −717

15. 8

16. 2

17. 解：（1）∵ 函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为𝜋2．

∴ 12⋅2𝜋𝜔=𝜋2，解得𝜔=2，即有𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)，

当0≤𝑥≤𝜋2时，−𝜋3≤2𝑥−𝜋3≤2𝜋3，故𝑥=0时，𝑓(𝑥)min=−√32；

当𝑥=5𝜋12时，𝑓(𝑥)max=1，

故所求值域为：[−√32, 1]…6分 （2）∵ sin𝐴sin𝐵+sin𝐵sin𝐶+cos2𝐵=1，

∴ sin𝐵(sin𝐴+sin𝐶)=2sin2𝐵，由sin𝐵≠0，sin𝐴+sin𝐶=sin𝐵，

由正弦定理得：𝑎+𝑐=2𝑏，

∵ 𝑓(𝐶)=0，∴ sin(2𝐶−𝜋3)=0，又0<𝐶<𝜋，即−𝜋3<2𝐶−𝜋3<5𝜋3，

∴ 𝐶=𝜋6或𝐶=2𝜋3．

由余弦定理得：cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=𝑎2+𝑏2−(2𝑏−𝑎)22𝑎𝑏=4𝑎−3𝑏2𝑎．

当𝐶=𝜋6时，4𝑎−3𝑏2𝑎=√32．

∴ (4−√3)𝑎=3𝑏，此时𝑎:𝑏:𝑐=3：(4−√3)：(5−2√3)，

当𝐶=2𝜋3时，4𝑎−3𝑏2𝑎=−12，∴ 5𝑎=3𝑏，此时𝑎:𝑏:𝑐=3:5:7．

故所求三边之比为：3：(4−√3)：(5−2√3)或3:5:7．

18. 解：（1）2×2列联表如下

语文成绩优秀 语文成绩一般 总计

历史成绩优秀 16 6 22

历史成绩一般 9

19 28

总计 25 25 50

∵ 𝐾2=8.117>7.879，

∴ 有99.5%的把握认为高中文科学生的历史成绩与语文成绩有关系．

（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是5×5=25种结果，

满足条件的事件是被选取的两名学生的编号之和为3的倍数，

可以列举出共有(1, 2)(1, 5)(2, 4)(2, 1)(3, 3)(4, 2)(5, 1)(3, 3)(5, 4)

共有9种结果，

∴ 被选取的两名学生的编号之和为3的倍数的概率是925，