数学_2013年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2013年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合𝐴={0, 1, 2, 𝑥}，𝐵={1, 𝑥2}，𝐴∪𝐵=𝐴，则满足条件的实数𝑥的个数有（ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2. 若复数𝑧=2−𝑖，则𝑧¯+10𝑧等于（ ）

A 2−𝑖 B 2+𝑖 C 4+2𝑖 D 6+3𝑖

3. 设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=2𝑛−1，则𝑆4𝑎3的值为（ ）

A 154 B 152 C 74 D 72

4. 执行如图所示的程序框图，若输入𝑥=2，则输出𝑦的值为（ ）

A 5 B 9 C 14 D 41

5. 直线𝑦＝𝑘𝑥+1与曲线𝑦＝𝑥3+𝑎𝑥+𝑏相切于点𝐴(1, 3)，则2𝑎+𝑏的值等于（ ）

A 2 B −1 C −2 D 1

6. 图中阴影部分的面积𝑆是ℎ的函数(0≤ℎ≤𝐻)，则该函数的大致图象是（ ）

A B C D

7. 一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形内节圆区域有豆4009颗，则他们所没得圆周率为（保留两位有效数字）（ ）

A 3.13 B 3.14 C 3.15 D 3.16

8. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√3，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A 𝑦=±√22𝑥 B 𝑦=±√2𝑥 C 𝑦=±2𝑥 D 𝑦=±12𝑥 9. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( )

A 53 B 103 C 56 D 116

10. 过抛物线𝑦2=8𝑥的焦点𝐹作倾斜角为135∘的直线交抛物线于𝐴，𝐵两点，则弦𝐴𝐵的长为（ ）

A 4 B 8 C 12 D 16

11. 在三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，侧棱𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐴𝐷两两垂直，△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐶𝐷、△𝐴𝐷𝐵 的面积分别为√22、√32、√62，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A 2𝜋 B 4√6𝜋 C 6𝜋 D 24𝜋

12. 设函数𝑓(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥，把𝑓(𝑥)的图象按向量𝑎→=(𝑚, 0)(𝑚>0)平移后的图象 恰好为函数𝑦=−𝑓′(𝑥)的图象，则𝑚的最小值为（ ）

A 𝜋4 B 𝜋3 C 𝜋2 D 2𝜋3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知𝑎→=(𝑙, 2)，𝑏→=(𝑥, 6)，且 𝑎→ // 𝑏→，则|𝑎→−𝑏→|=________．

14. 满足约束条件{2𝑥+𝑦≤2𝑥+2𝑦≤2𝑥≥0𝑦≥0的目标函数𝑧=𝑥+𝑦的最大值为________．

15. 一个几何体的三视图如图所示（单位：𝑚），则该几何体的体积为________𝑚3．

16. 对实数𝑎和𝑏，定义运算“⊗”；𝑎⊗𝑏={𝑎,𝑎−𝑏≤1𝑏,𝑎−𝑏>1设函数𝑓(𝑥)=(𝑥2−2𝑥)⊗(𝑥−3)(𝑥∈𝑅)，若函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑘的图象与𝑥轴恰有两个公共点，则实数𝑘的取值范围是________．

三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知𝑎，𝑏，𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶三个内角𝐴，𝐵，𝐶的对边，2𝑏cos𝑐=2𝑎−𝑐．

(1)求𝐵；

(2)若𝑏=2，△𝐴𝐵𝐶的面积为√3，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．

18. 某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195, 205)，第二组[205, 215)，…，第八组[265, 275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．

(𝐼)估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；

(𝐼𝐼)面试时，每位考生抽取二个问题，若二个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若二个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获𝐴类资格；其它情况下获𝐵类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为12，求恰有一位同学获得该高校𝐵类资格的概率．

19. 如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=2𝑎，𝐷，𝐸分别为𝐴𝐶，𝐴𝐵的中点，沿𝐷𝐸将△𝐴𝐷𝐸折起，得到如图所示的四棱锥𝐴′−𝐵𝐶𝐷𝐸．

（1）在棱𝐴′𝐵上找一点𝐹，使𝐸𝐹 // 平面𝐴′𝐶𝐷•

（2）求四棱锥𝐴′−𝐵𝐶𝐷𝐹体积的最大值．

20. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝐴在椭圆𝐶上，𝐴𝐹1→⋅𝐹1𝐹2→=0，cos∠𝐹1𝐴𝐹2=35，|𝐹1𝐹2→|=2，过点𝐹2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于𝑃，𝑄两点．

（1）求椭圆𝐶的方程；

（2）线段𝑂𝐹2上是否存在点𝑀(𝑚, 0)，使得𝑄𝑃→⋅𝑀𝑃→=𝑃𝑄→⋅𝑀𝑄→，若存在，求出实数𝑚的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)的导函数是𝑦′=11+𝑥，函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑎𝑥1−𝑥(𝑎∈𝑅)

（1）当𝑎=1，−1<𝑥<1时，求函数𝑓(𝑥)的最大值；

（2）求函数𝑓(𝑥)的单调区间． 22. 如图：𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐺是𝐴𝐵延长线上的一点，𝐺𝐶𝐷是⊙𝑂的割线，过点𝐺作𝐴𝐺的垂线，交直线𝐴𝐶于点𝐸，交直线𝐴𝐷于点𝐹，过点𝐺作⊙𝑂的切线，切点为𝐻．

(𝐼)求证：𝐶，𝐷，𝐸，𝐹四点共圆；

(𝐼𝐼)若𝐺𝐻=6，𝐺𝐸=4，求𝐸𝐹的长．

23. 已知在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程为{𝑥=2+2cos𝜃𝑦=2sin𝜃为参数），在极坐标系（与直角坐标系𝑥𝑂𝑦取相同的长度单位，且以原点𝑂为极点，以𝑥轴正半轴为极轴）中，直线𝑙的方程为𝜌sin(𝜃+𝜋4)=2√2．

(𝐼)求曲线𝐶在极坐标系中的方程；

(𝐼𝐼)求直线𝑙被曲线𝐶截得的弦长．

24. 选修4−5：不等式选讲

已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|+|𝑥−2𝑎|．

（1）当𝑎=1时，求𝑓(𝑥)≤3的解集；

（2）当𝑥∈[1, 2]时，𝑓(𝑥)≤3恒成立，求实数𝑎的取值范围．

2013年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）答案

1. B

2. D

3. A

4. D

5. D

6. B

7. A

8. B

9. A

10. D

11. C

12. C

13. 2√5

14. 43

15. 30

16. −1<𝑘≤0

17. 解：(1)由正弦定理得2sin𝐵cos𝐶=2sin𝐴−sin𝐶，

在△𝐴𝐵𝐶中，

sin𝐴=sin(𝐵+𝐶)=sin𝐵cos𝐶+sin𝐶cos𝐵，

∴ sin𝐶(2cos𝐵−1)=0．

又∵ 0<𝐶<𝜋，sin𝐶>0， ∴ cos𝐵=12，注意到0<𝐵<𝜋，∴ 𝐵=𝜋3.

(2)∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=√3，∴ 𝑎𝑐=4，

由余弦定理得：

𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐

=(𝑎+𝑐)2−3𝑎𝑐，

∴ (𝑎+𝑐)2=𝑏2+3𝑎𝑐=16，

∴ 𝑎+𝑐=4，

又𝑎𝑐=4，所以𝑎=𝑐=2，

故△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．

18. 解：(1)设第𝑖(𝑖=1, 2,…,8)组的频率为𝑓𝑖，

则由频率分布直方图知𝑓7=1−(0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008)×10=0.12．

所以成绩在260分以上的同学的概率𝑝≈𝑓72+𝑓8=0.14，

故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人；

(2)不妨设两位同学为𝑀，𝑁，且𝑀的成绩在270分以上，

则对于𝑀，答题的可能有𝑀11，𝑀10，𝑀01，𝑀00，对于𝑁，答题的可能有𝑁11，𝑁10，𝑁01，𝑁00，

其中角标中的1表示正确，0表示错误，如𝑁10表示𝑁同学第一题正确，第二题错误，

将两位同学的答题情况列表如下：

𝑀11 𝑀10 𝑀01 𝑀00

𝑁11 𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐵

𝑁10

𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐵

𝑁01 𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐵

𝑁00 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐶

表中𝐴𝐵表示𝑀获𝐴类资格，𝑁获𝐵类资格；𝐵𝐶表示𝑀获𝐵类资格，𝑁没有获得资格．所以恰有一位同学获该高校𝐵类资格的概率为816=12．

19. 解：（1）𝐹为棱𝐴′𝐵的中点．理由如下：

取𝐴′𝐶的中点𝐺，连结𝐷𝐺，𝐸𝐹，𝐺𝐹，

则由中位线定理得𝐷𝐸 // 𝐵𝐶,𝐷𝐸=12𝐵𝐶，且𝐺𝐹 // 𝐵𝐶,𝐺𝐹=12𝐵𝐶．

所以𝐷𝐸 // 𝐺𝐹，𝐷𝐸=𝐺𝐹，从而四边形𝐷𝐸𝐹𝐺是平行四边形，

𝐸𝐹 // 𝐷𝐺．

又𝐸𝐹⊄平面𝐴′𝐶𝐷，𝐷𝐺⊂平面𝐴′𝐶𝐷，

故𝐹为棱𝐴′𝐵的中点时，

𝐸𝐹 // 平面𝐴′𝐶𝐷．----

（2）在平面𝐴′𝐶𝐷内作𝐴′𝐻⊥𝐶𝐷于点𝐻，

  𝐷𝐸⊥𝐴′𝐷𝐷𝐸⊥𝐶𝐷𝐴′𝐷∩𝐶𝐷=𝐷}⇒𝐷𝐸⊥平面𝐴′𝐶𝐷⇒𝐴′𝐻⊥𝐷𝐸，