数学_2014年河南省郑州市高考数学模拟试卷(3)(文科)(含答案)

2014年河南省郑州市高考数学模拟试卷（3）（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1. 已知全集𝑈={𝑥∈𝑁∗|−1≤𝑥≤7}，集合𝑀={2, 4, 6}，𝑃={3, 4, 5}，那么集合∁𝑈(𝑀∪𝑃)是（ ）

A {−1, 0, 1, 7} B {1, 7} C {1, 3, 7} D ⌀

2. 复数53−4𝑖的共轭复数是（ ）

A 35−45𝑖 B 35+45𝑖 C 3+4𝑖 D 3−4𝑖

3. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎3＝10，𝑎4+𝑎6＝4，则公差𝑑等于（ ）

A 1 B −1 C 2 D −2

4. “sin𝛼>0”是“𝛼为锐角”的（ ）

A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

5. 曲线𝑦=13𝑥3+𝑥在点(1,43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )

A 29 B 19 C 13 D 23

6.

如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )

A 6√3 B 9√3 C 12√3 D 18√3

7. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（ ）

A 黑色 B 白色 C 白色可能性大 D 黑色可能性大

8. 已知向量𝑎→=(2, 1)，𝑏→=(𝑥, −2)，若𝑎→ // 𝑏→，则𝑎→+𝑏→等于（ ）

A (−2, −1) B (2, 1) C (3, −1) D (−3, 1)

9. 把函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋3)的图象向右平移𝜋6个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（ ）

A 𝑦=sin𝑥 B 𝑦=sin4𝑥 C 𝑦=sin(4𝑥−𝜋3) D 𝑦=sin(𝑥−𝜋6)

10. 已知四面体𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个顶点都在球𝑂的球面上，若𝑃𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，且𝐴𝐶＝1，𝑃𝐵＝𝐴𝐵＝2，则球𝑂的表面积为（ ）

A 7𝜋 B 8𝜋 C 9𝜋 D 10𝜋

11. 已知奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−1)=𝑓(3)=0，在区间[−2, 0]上是减函数，在区间[2, +∞)是增函数，函数𝐹(𝑥)={−𝑓(𝑥),𝑥>0𝑥𝑓(−𝑥),𝑥<0，则{𝑥|𝐹(𝑥)>0}=( )

A {𝑥|𝑥<−3, 或0<𝑥<2, 或𝑥>3} B {𝑥|𝑥<−3, 或−1<𝑥<0, 或0<𝑥<1, 或𝑥>3} C {𝑥|−3<𝑥<−1, 或1<𝑥<3} D {𝑥|𝑥<−3, 或0<𝑥<1, 或1<𝑥<2, 或2<𝑥<3}

12. 已知双曲线𝑥24−𝑦212=1的离心率为𝑒，焦点为𝐹的抛物线𝑦2=2𝑝𝑥与直线𝑦=𝑘(𝑥−𝑝2)交于𝐴，𝐵两点，且|𝐴𝐹||𝐵𝐹|=𝑒，则𝑘的值为（ ）

A 2√2 B 2√3 C ±2√2 D ±2√3

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 已知两条直线𝑦=𝑎𝑥−2和3𝑥−(𝑎+2)𝑦+1=1互相平行，则𝑎等于________．

14. 某鲜花店4枝玫瑰花与5枝牡丹花的价格之和不低于27元，而6枝玫瑰花与3枝牡丹花的价格之和不超过27元，则购买这个鲜花店3枝玫瑰花与4枝牡丹花的价格之和的最大值是________元．

15. △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，若𝐵𝐷⊥𝐴𝐶且𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐷，|𝐵𝐷→|=√3，则𝐵𝐷→⋅𝐵𝐶→=________．

16. 已知𝑆𝑛是首项为1的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且8𝑆6=9𝑆3，则1+6𝑎𝑛2𝑎𝑛的最小值为________．

三、计算题，共70分.

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且sin2𝐴+sin2𝐵+cos2𝐶=1+sin𝐴sin𝐵

（1）求角𝐶的大小；

（2）若𝑐=2，且△𝐴𝐵𝐶的面积为√3，求𝑎，𝑏．

18. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．

（1）求𝑥和𝑦的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差𝑠2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

参考公式：方差𝑠2=1𝑛[(𝑥1−𝑥¯)2+(𝑥2−𝑥¯)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥¯)2]，其中𝑥¯=𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛𝑛． 19. 如图，已知𝐴，𝐵，𝐶为不在同一直线上的三点，且𝐴𝐴1 // 𝐵𝐵1 // 𝐶𝐶1，𝐴𝐴1=𝐵𝐵1=𝐶𝐶1．

（1）求证：平面𝐴𝐵𝐶 // 平面𝐴1𝐵1𝐶1；

（2）若𝐴𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶，且𝐴𝐶=𝐴𝐴1=4，𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=5，求证：𝐴1𝐶丄平面𝐴𝐵1𝐶1

（3）在（2）的条件下，设点𝑃为𝐶𝐶1上的动点，求当𝑃𝐴+𝑃𝐵1取得最小值时𝑃𝐶的长．

20. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)经过点𝑃(0, 1)，离心率为√22，直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚交椭圆于不同于点𝑃的两点𝐴、𝐵．

（1）求椭圆的方程；

（2）若以𝐴𝐵为直径的圆经过点𝑃，求证：直线𝑙过定点，并求出该点的坐标．

21. 已知𝑃(𝑥, 𝑦)为函数𝑦=1+ln𝑥图象上一点，𝑂为坐标原点，记直线𝑂𝑃的斜率𝑘=𝑓(𝑥)．

（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

（2）设𝐹(𝑥)=𝑥+1𝑥−𝑓(𝑥)，求函数𝐹(𝑥)的最小值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-1：几何证明选讲】

22. 如图，在正△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，𝐴𝐵上，且𝐴𝐷=13𝐴𝐶，𝐴𝐸=23𝐴𝐵，𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐹．

(Ⅰ)求证：𝐴，𝐸，𝐹，𝐷四点共圆；

(Ⅱ)若正△𝐴𝐵𝐶的边长为2，求，𝐴，𝐸，𝐹，𝐷所在圆的半径．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23. 在直角坐标系中，以原点为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线𝐶:𝜌sin2𝜃=2𝑎cos𝜃(𝑎>0)，已知过点𝑃(−2, −4)的直线𝐿的参数方程为：{𝑥=−2+√22𝑡𝑦=−4+√22𝑡，直线𝐿与曲线𝐶分别交于𝑀，𝑁．

(1)写出曲线𝐶和直线𝐿的普通方程；

(2)若|𝑃𝑀|，|𝑀𝑁|，|𝑃𝑁|成等比数列，求𝑎的值．

【选修4-5：不等式选讲】

24. 设函数𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑥−2|−𝑚．

（1）当𝑚=5时，求𝑓(𝑥)>0的解集；

（2）若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≥2的解集是𝑅，求𝑚的取值范围．

2014年河南省郑州市高考数学模拟试卷（3）（文科）答案

1. B

2. A

3. B

4. C

5. B

6. B

7. B

8. A

9. A

10. C

11. C

12. C

13. 1或−3

14. 36

15. 3

16. 5

17. 解：∵ sin2𝐴+sin2𝐵+cos2𝐶=1+sin𝐴sin𝐵

∴ sin2𝐴+sin2𝐵−sin𝐴sin𝐵=sin2𝐶，

利用正弦定理化简得：𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=𝑐2，即𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏，

∴ 根据余弦定理得：cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12，

∵ 𝐶为三角形的内角，

∴ 𝐶=𝜋3；

（2）∵ 𝑐=2，

∴ 𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=4①，

∵ △𝐴𝐵𝐶的面积为√3，

∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏⋅sin𝐶=√3，

∴ 𝑎𝑏=4②，

∴ 由①②可得𝑎=𝑏=2．

18. 解：（1）由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+𝑥+0+6+2)=590+𝑥，

又甲班学生的平均分是85，

总分又等于85×7=595．所以𝑥=5 乙班学生成绩的中位数是80+𝑦=83，得𝑦=3．

（2）∵ 某甲班7位学生成绩分别为78，79，80，85，85，92，96．

甲班7位学生成绩的平均数是𝑥¯=85，

∴ 7位学生成绩的方差是17(49+36+25+0+0+49+121)=40，

（3）甲班至少有一名学生为事件𝐴，

其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；

根茎叶图可得，甲有2次高于90分，乙有3次高于90分，

从甲、乙两个班级成绩中各随机抽取2次成绩，有5×4种情况，而没有一次是甲班的有3×2次；

则𝑃(𝐴)=1−3×25×4=710．

19. （1）证明：∵ 𝐴𝐴1 // 𝐶𝐶1且𝐴𝐴1=𝐶𝐶1

∴ 四边形𝐴𝐶𝐶1𝐴1是平行四边形，

∴ 𝐴𝐶 // 𝐴1𝐶1，

∵ 𝐴𝐶⊄面𝐴1𝐵1𝐶1，𝐴1𝐶1⊂面𝐴1𝐵1𝐶1

∴ 𝐴𝐶 // 平面𝐴1𝐵1𝐶1，

同理可得𝐵𝐶 // 平面𝐴1𝐵1𝐶1，

又𝐴𝐶∩𝐶𝐵=𝐶，

∴ 平面𝐴𝐵𝐶 // 平面𝐴1𝐵1𝐶1

（2）证明：∵ 𝐴𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐴1⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，∴ 平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶，

∵ 𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=5，∴ 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，∴ 𝐵𝐶⊥𝐴𝐶

∵ 平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶，

∴ 𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，

∴ 𝐵𝐶⊥𝐴1𝐶，

∵ 𝐵𝐶 // 𝐵1𝐶1，∴ 𝐵1𝐶1⊥𝐴1𝐶