开放探究题-中考数学

开放探究题-中考数学

开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

1．条件开放与探索

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] 已知△ABC内接于⊙O，

⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？

⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？

⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD＝2cm。

[解析]：⑴要使∠ACB＝90°，弦AB必须是直径，即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB时，结论成立；⑶由⑵知DBADCD2，即422DBAD，可作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即得所求。

⑴当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角；

⑵∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD；

⑶作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD=4，过D点作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即为所求（如下图所示）。

[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。看似平常，实际上非常精彩。

[例2] （鄂州市中考题）如图，E、D是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明

△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？ O A B C O A B C

D 1 4

A

[解析]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可

以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条

件。在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明

△ABE≌△ACD。于是可补充以下条件之一：

⑴BE＝CD（SAS）

⑵BD＝CE（此时BE＝CD）

⑶∠BAE＝∠CAD（ASA）

⑷∠BAD＝∠CAE（此时∠BAE＝∠CAD）

⑸∠B＝∠C（AAS）

⑹AB＝AC（此时∠B＝∠C），……

[评注]：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。

[例3] （北京市东城区）在△ABC与△A/B/C/中，∠A=∠A/，CD和C/D/分别为AB边和A/B/边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A/B/； ②AC=A/C/； ③CD=C/D/中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_____个正确的命题。

[解析]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。

⑴若∠A=∠A/，AB=A/B/，AC=A/C/，则得△ABC≌△A/B/C/（SAS），∴CD=C/D/（全等三角形对应线段相等），可以构成真命题。

⑵当∠A=∠A/，AB=A/B/，CD=C/D/时，不能推得△ABC与△A/B/C/，或△ADC与△A/D/C/全等，∴AC与A/C/不一定相等。

⑶同理，当∠A=∠A/，AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。

∴真命题只有1个。

[评注]：本题是探索性问题颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。

[例4] 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么

还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：

①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

其中正确的说法有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

[解析]：本题主要考查平行四边形的判定，但命题者别出心裁设计了一道给出结论和部分条件，让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查给出的6种说法。

说法①符合平行四边形的定义；说法②符合平行四边形的判定定理4；说法③由AB∥CD和∠DAB＝∠DCB，可判断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法④可举出等腰梯形反例；说法⑤能证出BO＝CO，符合平行四边形的判定定理；说法⑥不符合平行四边形的判定定理。

应选B。

[评注]：这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题，命题者编拟此题，旨在让考生殊途同归，起到归纳总结之作用。

[题型设计与能力训练]

1．（安徽省中考题）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解均是42yx和42yx,

试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)。

2．（乌鲁木齐中考题）已知：AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若使CB=BD,则还需要添加什么条件___________（填出一个即可）。

3．如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形

ABCD满足条件： 时，△PBA的面积始终保持不变。（注：

只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。

4．（安徽省中考题）已知242axx在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是__________ （只需填一个）。

5．如左图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。

⑴使三角形的三边长分别为3、22、5

（在图①中画一个即可）；

⑵使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画一个即可）。

6．（江西省中考题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切

⊙O于点A，BC∥AE，

⑴求证：△ABC是等腰三角形；

⑵设AB＝10cm，BC＝8cm，点P是射线AE上

的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这

样的点有几个？并求AP的长．

⌒ ⌒

D P

A C

B

O A B

C

E 图① 图②

7．如图，已知△ABC，P是AB边上一点，连结CP。

⑴∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC?

⑵AC∶AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC？

[答案与提示]

1．82xyxy，4222xxyxy，……

2．AB⊥CD或CA=DA

3．DC∥AB或AD∥BC且AD＝BC

4．±23、±10、±5、±2

5．如图所示

6．⑴略

⑵设P点在AE上，且所作的△ACP与△ABC相似，由已知AE∥BC，则∠CAE＝∠ACB，关键在寻找第二个相等的角，过点C作⊙O的切线交AE于P1，即有∠AC P1＝∠B，过点C作AB的平行线交AE于P2，即有∠AC P2＝∠BAC，则△A P1C、△A P2C都与△ABC相似，这样的点有2个，即P1，P2两点，且A P1＝450，A P2＝8。

7．从图中可以看出△A PC与△ABC中∠A＝∠A，根据相似三角形判定定理，只需∠AC P＝∠B，或AC∶AP＝AB∶AC，就有△A CP∽△ABC。

⑴∵∠A＝∠A，∴当∠AC P＝∠B时，△A CP∽△ABC。

⑵∵∠A＝∠A，∴当AC∶AP＝AB∶AC时，△A CP∽△ABC。

注意：探究过程要克服思维定势，逆向思考应具发散性，所寻求的条件往往不止一种，探究过程要防止漏掉某种情形。

2．结论开放与探索

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

[例1] （吉林省中考题）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，

回答下列问题：

⑴图中共有多少个三角形？把它们一

A

B C P

⌒ ⌒

A

1 2

一写出来；

⑵图中有相似（不包括全等）三角形

吗？如果有，就把它们一一写出来。

[解析]：⑴先看△ABC中，一一数来共有6个三

角形，再加上△AFG，共七个三角形；⑵由于∠DAE

＝∠B＝∠C＝45°，∠ADE＝∠B＋∠1＝45°＋∠1＝∠BAE，同理∠AED＝∠CAD，可得出△ADE∽△BAE∽△CDA。

⑴共有七个三角形，它们是：

△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC、△AFG。

⑵有相似三角形，它们是：

△ADE∽△BAE，△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（或△ADE∽△BAE∽△CDA）。

[评注]：本题为考生提供了广阔的探究空间，通过分析、判断，有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养。

[例2] 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E。请你根据上述条件，

写出一个正确的结论（所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母），并给出证明（证明时允许自行添加辅助线）。

[解析]：根据图形易得以下结论：

①EDECEBEA；②AC＞BC；③AE＞DE；……

可以得出的结论及证明如下：

①EDECEBEA

如图连结AD、BC，∵∠A＝∠C，∠E＝∠E，

∴△AED∽△CEB ∴EBEDCEAE，即EDECEBEA

②AC＞BC；

如图，连结AD，

∵∠1是△ADE的外角，∠A是△ADE的内角

∴∠A＞∠1 ∵∠1所对的弧是AC，∠A所对的弧是BD，

∴AC＞BC；

③AE＞DE。

证法一：如图，连结AD、BD、BC。

∵∠2是△BCD的外角，∠C是△BCD的内角，

∴∠2＞∠C。而∠ADE＞∠2，∠C＞∠A，

∴在△ADE中，∠ADE＞∠A。∴AE＞DE

证法二：∵EA·EB＜EA2，ED·EC＞ED2，

而EA·EB ＝ED·EC ∴EA2＞ED2，即EA＞ED。 ⌒ ⌒

O

C D B

E A

1 O A

B

E

D

C 1

⌒ ⌒

⌒ ⌒

⌒ ⌒ O A