中考数学开放探索篇(一)及答案
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1 A
B D E C 1 2 一、开放探索篇（一）
1．条件开放与探索
给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。
[例1] 已知△ABC内接于⊙O，⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？
⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？
⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD＝2cm。
[例2] （鄂州市中考题）如图，E、D是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？
[例3] （北京市东城区）在△ABC与△A/B/C/中，∠A=∠A/，CD和C/D/分别为AB边和A/B/边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A/B/； ②AC=A/C/； ③CD=C/D/中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_____个正确的命题。
练习：
1．（乌鲁木齐中考题）已知：AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若使CB=BD,则还需要添加什么条件___________（填出一个即可）。
2．（安徽省中考题）已知242axx在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是__________ （只需填一个）。
3．如左图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
⑴使三角形的三边长分别为3、22、5
（在图①中画一个即可）；
图① 图②
2 ⑵使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画一个即可）。
4．如图，已知△ABC，P是AB边上一点，连结CP。
⑴∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC?
⑵AC∶AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC？
2．结论开放与探索
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
[例1] （吉林省中考题）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：
⑴图中共有多少个三角形？把它们一 一写出来；
⑵图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，
就把它们一一写出来。
[例2] 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E。请你根 据上述条件，写出一个正确的结论（所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母），并给出证明（证明时允许自行添加辅助线）。
A
B C P
A
B C D E
F G 1 2
O A
B
E
D
C
3 [例3] （北京市东城区中考题）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：甲：对称轴是4x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3。
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：___________________。
[例4] 关于x的方程02)15(22kxkx，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
例5] （湖北黄冈中考题）已知：如图，AB⊥CD，CD⊥BD，
垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，
我们可以证明EFCDAB111成立（不要求考生证明）。
若将图中的垂直改为斜交，如图，AB∥CD，AD、BC
相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
⑴EFCDAB111还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
⑵请找出S△ABD、S△BCD和S△BED间的关系式，并给出证明。
[例6] （福州市中考题）已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
⑴当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
⑵当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
试问，在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长；
A
B F E C
D
A
B M F N E C
K
D
A B C
P Q
M N A B C
P Q
M
4 练习：
1．如图，已知等腰△ABC中，∠A=21∠C，
底边BC为⊙O的直径，两腰AB、AC分别与
⊙O交于点D、E，有下列序号的四个结论：
①AD=AE；②DE∥BC；③∠A=∠CBE；④BE⊥AC。
其中结论正确的序号是________________。
注：把你认为正确结论的序号都填上。
2．（江苏徐州市中考题）如图，在直角坐标系中，第一次将
△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3。
已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，
B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)。
⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按
此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标
是__________，B4的坐标是__________。
⑵若按⑴题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出An的坐标是___________，Bn的坐标是__________。
3．（河北省中考题）在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
⑴当11121ACAE时，有12232ADAO（如图1）；
⑵当21131ACAE时，有22242ADAO（如图2）；
⑶当31141ACAE时，有32252ADAO（如图3）；
O A
B C E D
O y
x A
A1 A2 A3
B3 B2 B1
B
A
B C D
图3 O E A
B C D
图2 O E A
B C D
图1 O E A
B C D
图4 O E
F
5 在图4中，当nACAE11时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）。
4．（山东淄博市中考题）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE。
⑴求证：AECDADBE；
⑵根据图形的特点，猜想DEBC可能等于哪两条线段的比 （注：只需写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。
A
E D
C B
6 5．（福建福州市中考题）如图，已知△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E，连结CD。设S△ABC=S，S△DEC=S1。
⑴当D为AB中点时，求S1∶S的值；
⑵若AD=x，ySS1，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
⑶是否存在点D，使得S1＞S41成立？
若存在，求出点D位置；若不存在，请说明理由。
6. （淮安市中考题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
)85(31)25(2122mxmmxy的对称轴为21x，设抛物线与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点（B点在C点的左边），锐角△ABC的高BE交AO于点H。
⑴求抛物线的解析式；
⑵在⑴中抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
A
B C D E
7 参考答案
1. 条件开放与探索参考答案
[例1]：⑴要使∠ACB＝90°，弦AB必须是直径，即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB时，结论成立；⑶由⑵知DBADCD2，即422DBAD，可作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即得所求。⑴当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角；
⑵∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD；
⑶作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD=4，过D点作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即为所求（如下图所示）。
[例2]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条件。在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明
△ABE≌△ACD。于是可补充以下条件之一：
⑴BE＝CD（SAS） ⑵BD＝CE（此时BE＝CD） ⑶∠BAE＝∠CAD（ASA）
⑷∠BAD＝∠CAE（此时∠BAE＝∠CAD） ⑸∠B＝∠C（AAS） ⑹AB＝AC（此时∠B＝∠C），……
[例3]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。
⑴若∠A=∠A/，AB=A/B/，AC=A/C/，则得△ABC≌△A/B/C/（SAS），∴CD=C/D/（全等三角形对应线段相等），可以构成真命题。
⑵当∠A=∠A/，AB=A/B/，CD=C/D/时，不能推得△ABC与△A/B/C/，或△ADC与△A/D/C/全等，∴AC与A/C/不一定相等。
⑶同理，当∠A=∠A/，AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。
∴真命题只有1个。
2．AB⊥CD或CA=DA 4．±23、±10、±5、±2
5．如图所示
O A B C
O A B C
D 1 4
