中考数学探究型试题

中考数学探究型试题

探究性问题涉及的基础知识非常广泛：题目没有固定的形式：因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度：又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力：发散思维能力等：因此复习中既要重视基础知识的复习：又要加强变式训练和数学思想方法的研究：切实提高分析问题、解决问题的能力。

例1（宜昌课改）如图1：已知△ABC的高AE=5：BC=403：∠ABC＝45°：F是AE上的点：G是点E关于F的对称点：过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I：连接IF并延长交BC于J：连接HF并延长交BC于K．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明：

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时：求线段AF长的取值范围．

（图2供思考用）

解：(1)∵点G与点E关于点F对称：

∴GF=FE

∵HI∥BC：

∴∠GIF=∠EJF：

又∵∠GFI=∠EFJ：

∴△GFI≌△EFJ：

∴GI=JE

同理可得HG=EK ：

∴HI=JK；

∴四边形HIKJ是平行四边形

(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分；利用三角形全等说明结论的正确性评2分)

（2）当F是AE的中点时：A、G重合：所以AF=2.5

如图1：∵AE过平行四边形HIJK的中心F；

∴HG=EK； GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.

∵CE＞BE；∴GI＞ HG； ∴CK＞BJ.

∴当点F在AE上运动时； 点K、J 随之在BC上运动； 图1

如图2：当点F的位置使得B、J重合时：这时点K仍为CE上的某一点（不与C、ECGIJECBABEKHFBA图2图1

CGIJBEKHFBA重合）：而且点H、I也分别在AB、AC上

（这里为独立评分点：以上过程只要叙述大体清楚：说理较为明确即可评2分：不说明者不评分：知道要说理但部分不正确者评1分）

设EF＝x：∵∠AHG＝∠ABC＝45°：AE＝5：

∴BE＝5＝GI：AG＝HG＝5-2x ；CE＝340-5

∵△AGI∽△AEC：

∴AG∶AE＝GI∶CE.

∴(5-2x)∶5＝5∶(340-5)

∴AF＝5-x＝4

∴25＜AF≤4 图2

说明:本题考查知识较多：主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。

练习一

1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时：小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：

∵∠AOC是⊿ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

又∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO

即∠ABC=21∠AOC

如果∠ABC的两边都不经过圆心：如图(2)、（3）；那么结论会怎样?请你说明理由.

CGIEKHFBA(3)(2)(1)ABCOABCOOCBA

2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮：准备将它设计并制成一个开口．．的水槽：使水槽能通过的水的流量最大．

初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下：水槽的横截面面积越大：则通过水槽的水的流量越大．为此：他们对水槽的横截面进行了如下探索：

⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．

若∠ACB=90°：设AC=x厘米：该水槽的横截面面积为y厘米2：请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围）：并求出当x取何值时：y的值最大：最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．

若∠ABC=120°：请你求出该水槽的横截面面积的最大值：并与方案①中的y的最大值比较大小．

⑵假如你是该兴趣小组中的成员：请你再提供两种方案：使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图：标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

C A B （图1）

C A B

3（绵阳）如图①：分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆：其面积分别用S1、S2、S3表示：则不难证明S1=S2+S3 .

(1) 如图②：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形：其面积分别用S1、S2、S3表示：那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形：其面积分别用S1、S2、S3表示：请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明：

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形：其面积分别用S1、S2、S3表示：为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系：所作三角形应满足什么条件？证明你的结论：

(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论：请你总结出一个更具一般意义的结论 .

4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠：具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折：折痕为MN：如图（1）：

第二步：再把B点叠在折痕线MN上：折痕为AE：点B在MN上的对应点为B'：得Rt△AB'E：如图（2）：

第三步：沿EB`线折叠得折痕EF：如图（3）。

利用展开图（4）探究：

（1）△AEF是什么三角形？

（2）对于任一矩形：按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

5、如图1：操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC）：取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系：并加以证明。

说明：（1）如果你经历反复探索：没有找到解决问题的方法：请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）：（2）在你经历说明（1）的过程之后：可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件：完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分：选取②完成证明得7分：选取③完成证明得5分。

① DM的延长线交CE于点N：且AD＝NE：

② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2）：

其他条件不变：③在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3）：其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系：并加以证明。

（2） B A

C E

D F

G M F

M

E C

G A D

B

（3）

例2（连云港）如图：将一块直角三角形纸板的直角顶点放在)21,1(C处：两直角边分别与yx,轴平行：纸板的另两个顶点BA,恰好是直线29kxy与双曲线)0(mxmy的交点．

（1）求m和k的值：

（2）设双曲线)0(mxmy在BA,之间的部分为L：让一把三角尺的直角顶点P在L上

滑动：两直角边始终与坐标轴平行：且与线段AB交于NM,两点：请探究是否存在点P使得ABMN21：写出你的探究过程和结论．

知识点：

解：（1）∵BA,在双曲线)0(mxmy上：AC∥y轴：BC∥x轴：

∴A：B的坐标分别,1()m：)21,2(m．

又点A：B在直线29kxy上：∴.29221,29mkkm

解得.21,4mk或.4,21mk

当4k且21m时：点A：B的坐标都是,1()21：不合题意：应舍去：

当21k且4m时：点A：B的坐标分别为,1()4；)21,8(；符合题意．

∴21k且4m.

（2）假设存在点P使得ABMN21．

∵ AC∥y轴：MP∥y轴：∴AC∥MP：

∴PMNCAB：∴RtACB∽RtMPN；∴21ABMNACMP； y

x

F O N M

C

A

B P

设点P坐标为)4,(xxP（1＜x＜8＝：则M点坐标为)2921 ,(xxM：

∴xxMP42921.又27214AC：

∴4742921xx：即0161122xx （※）

∵071624)11(2．∴方程（※）无实数根．

所以不存在点P使得ABMN21．

练习二

1、（包头）已知一次函数y1=x：二次函数y2=12x2+12。

(1)根据表中给出的x的值：填写表中空白处的值：(2分)

x ―3 ―2 ―1 0 1 2 3

y1=x ―3 ―2 ―1 0 1 2 3

y2=12x2+12 1 12 1

(2)观察上述表格中的数据：对于x的同一个值．．．．：判断yl和y2的大小关系。并证明：在实数范围内：对于x的同一个值．．．．：这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立：

(3)若把y1=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)：请进一步探究：当k满足什么条件时：(2)中的结论仍然成立：当k满足什么条件时：(2)中的结论不能对任意的实数x都成立：并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。