2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教B版选修2-2

剖析演绎推理证明的几种常见错误

1. 偷换论题

例1求证四边形的内角和等于0360。

证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有

0000036090909090DCBA，

所以，四边形的内角和等于0360。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。

2. 虚假论据

例2已知2和3是无理数，试证32也是无理数。

证明：依题设2和3是无理数，

而无理数与无理数的和是无理数，

所以32也是无理数。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。

3. 循环论证

例3在ABCRt中，090C求证：222cba。

证明：因为AcbAcacos,sin，

AcAcba222222cossin

=2222)cos(sincAAc。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“1cossin22AA”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。

4. 不能推出

例4设81tan51tan21tan20，，），且，（、、。

求证：4。

证明：因为tantantantantantan1tantantantantantan)tan(

=18151815151211815121815121，

4。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为1)tan(只能推出)(,4Znn。至于关系式4是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出4,,0，即430，原题才能得证。

2.1.1合情推理

项目 内容

课题 2.1.1合情推理 修改与创新

教学目标 1 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，

2 能利用归纳进行简单的推理，

3 体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重、

难点 重点：能利用归纳和类比进行简单的推理.

难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.

教学准备 直尺、粉笔

教学过程 一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7,

12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……,

100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

二、讲授新课：

合情推理 教学反思

对于学生学习的的难点，我觉得主要有以下几点： 归纳推理：

主要在于观察、分析及在此基础上的猜想能力。有些习题规律明显，而有些则不明显，另外学生的观察能力也因人而异。对于几何习题，一般情况下，既可以从数字角度寻找规律，也可以从几何图形角度出发，当然应该侧重于后者。

个人认为：突破难点的重要途径就是加强训练，在训练中积累经验，同时提升观察、分析的方法及技巧。 类比推理：

与归纳推理类似，已知某类事物的已知性质，要猜想出另一类事物的相应性质，有时也不容易。如圆的方程与球的方程，不少学生认为对球的方程中指数是3；另外由三角形的重心公式，猜想四面体的重心公式，等等。

要突破难点，首先仍然在于做大量有针对性习题，将涉及的种种类比知识全部过关，并总结规律。其次，猜想也不仅仅是猜想，可结合严密的逻辑推理，因为绝大多数性质均可以进行证明，当然猜想的结论必须是正确的。

实验版教材对于合情推理及猜想的重视程度超乎寻常，个人感觉似乎过头。在实践教学中，很可能误导学生展开盲目的猜想，而忽视了严密的逻辑推理。进而，可以适当减少这方面的内容及相应的课时。

第- 1 -页 共3页 2.1.1 合情推理（一）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重点：能利用归纳进行简单的推理.

教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,

20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想.

3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

二、讲授新课：

1. 教学概念：

① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.