数理方程Sturm-Liouville问题

第３７卷第３期　２００８年５月　内蒙古师茫大学学报（自然科学汉文版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３７　Ｎｏ．３　Ｍａｙ　２００８　

一类四阶　Ｓｔｕｒｍ．．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　问题的特征值　

索建青　，王万义　，张新艳。　

（１．内蒙古师范大学数学科学学院．内蒙古呼和浩特０１００２２；２．内蒙古大学数学科学学院，　

内蒙古呼和浩特０１００２ｌ；３．内蒙古财经学院统计与数学学院，内蒙古呼和浩特０１００７０）　

摘要：研究了一类四阶Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题的特征值关于区间端点、边界条件、方程系数及权函数的连续　性和可微性．给出了特征值关于这些参数的微分表达式．　关奠词：Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题；特征值；特征函数；连续，可微　中圈分类号：Ｏ　１７５．９　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ０ｏｌ一８７３５（２０ｏ８）Ｏ３—０２９６一Ｏ７　

文献［１］研究了二阶正则Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题，即微分方程一（ＰＹ　）　＋ｑＹ—　，在分离型边条件下　

和耦合边条件下的特征值关于区间端点的连续性和可微性，并且给出了特征值关于区间端点的微分表达式．　

文献Ｆ２］是对文献［１］的推广，证明了这类二阶正则Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题的特征值不仅是区间端点的连续　

可微函数，也是边界条件、方程系数及权函数的连续可微函数，同时也给出了特征值关于这些参数的微分表　

达式．本文是对文献［１］和文献［２］的进一步推广，研究了一类四阶Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题，即微分方程　

一　“　＋ｑＹ＝　，在三类边条件（分离型边条件、实耦合边条件、复耦合边条件）下的特征值是区间端点、　

边界条件、方程系数及权函数的连续可微函数，并且给出了特征值关于这些参数的微分表达式．　

１　记号　

考虑微分方程　

一　‘‘’＋ｑ（ｘ）ｙ＝　硼（ｚ）　，ｚ∈（口　，６　），一。。≤口　＜ｂ　≤ｏ。，　∈Ｒ，　

第２５卷第５期　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．５　周口师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａ１　ｏｆ　Ｚｈｏｕｋｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２００８年９月　Ｓｅｐ．２００８　

Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　

ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌ　ｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　

ＹＡＯ　Ｑｉｎｇ—ｌｉｕ　，　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ。ｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。ｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃ。ｎ。ｍｉ。　，　

Ｎａｎｊｉｎｇ　２１０００３，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ。ｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈｏｕｋ。ｕ　Ｎｏｒｍａ１　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｋ。ｕ　４６００　１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔ）ｒ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｆｏｒ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　

ｆ（ｐ（￡）“　（￡））　＋ｆ（ｔ，“（　），“　（ｆ））一Ｏ，Ｏ＜　＜１，　Ｉ伽（ｏ）一　（ｏ）“　（ｏ）一Ａ，　（１）＋ｄｐ（１）ｕ　（１）一Ｂ．　Ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｅｒｍ　ｆ（ｔ，“，口）ｉｓ　ａｌｌｏｗｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ａｔ　ｆ一０　ａｎｄ　ｆ一１．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｇｒｅｅｎ　ｆｕｎｃ　ｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅｌａｔｅｄ　１ｉｎｅａｒ　ｐｒｏｂ１ｅｍ，ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｔｒａｎｓｆｏｒｒｅｅｄ　ｉｎｔｏ　ａｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈ　“ｄ　ｆｉｘｅｄ　Ｄ０ｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ａ　ｎｅｗ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｔｈｅｏｒａｍ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｈａｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｐｆｏＶＩｄ－　ｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｏｆ‘‘ｈｅｉｇｈｔ”ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｅｒｌｎ　ｏｎ　ｓｏｍｅ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｓｅｔ　ｉｓ　ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ・　Ｋｅｙ　ｗ０ｒｄｓ：ｎ０ｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｘ　ｓｔｅｎｃｅ　ｔｈｅｏ—　

第３６卷第１期　２００７年１月　内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３６　Ｎｏ．１　Ｊａｎ．２００７　

一类右定Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题本征的渐近分析　

杨秋霞ｈ。，王万义　，张新艳　

（１．内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２２；　２．德州学院计算机系，山东德州２５００２３）　

摘要；考虑［Ｏ，　］上一类带一般分离型边界条件的右定ｓ—Ｌ问题本征的渐近表示，利用函数论方法，解　决了其本征值的存在与分布，得出其本征的渐近表示．　关键词；右定Ｓ—Ｌ问题；Ｃａｕｃｈｙ问题＃本征值Ｉ渐近分析　中圈分类号：Ｏ　１７５．９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１－８７３５（２００７）０１—００４３～０５　

１　主要结果　

设实值函数口（　）∈Ｌ。［Ｏ，７ｆ］，　（ｚ）＞０，硼（　）∈　［Ｏ，丌］，　∈［Ｏ，７ｆ］，则　

ｆ一　＋ｑ（ｘ）ｙ＝２ｗ（ｘ）ｙ，０＜　＜７ｆ，　ｙ（０）ｃｏｓａ＋　（０）ｓｉｎａ一０，　（１）　

【ｙ（＝）ｃｏｓｆｌ＋　（￣）ｓｉｎｆｌ一０，０≤口，ｆｌ＜　为右定ｓ—Ｌ问题，其本征值为　．文献［１］采用Ｅ．Ｃ．Ｔｉｔｃｈｍａｒｓｈ引进的函数论方法　幻，解决了　一１时　

Ｓ—Ｌ问题（１）的本征值的存在与分布，得出其本征（　，　（　，　））的渐近性结果．　本文采用文献［１３的方法，讨论了Ｓ—Ｌ问题（１）的本征值的存在与分布情况，推导出了其本征　

（ｋ，　（　，　））的渐近性结果，并将其推广到一般有限区间［ｎ，胡，为进一步对本征值进行精细的分析奠定了　

基础．本文主要结论为：　定理１　设ｓｉｎａｓｉｎ３：／＝Ｏ，ｑ（　）∈Ｌ。［Ｏ，丌］，　（　）＞０，　（　）∈Ｃ２［Ｏ，７ｆ］，则Ｓ—Ｌ问题（１）的本征值　

及相应的归一化本征函数　（　）的渐近式为　

第２６卷第１期　２０１３年３月　海南师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｉｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．２６　Ｎｏ．１　Ｍａｒ．２０１３　非线性分数阶Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ型微分方程　四点非局部边值问题　罗华，罗荣，胡卫敏‘　（新疆伊犁师范学院数学与统计学院，新疆伊宁８３５０００）　摘要：应用不动点定理讨论了一类新的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ四点边值问题，在所读文献的基础　上，将整数阶边值问题的一些存在性结果经过对边值条件的取值范围以及系数加以限制，得到　分数阶微分方程边值问题一系列存在性结果．　关键词：不动点定理；多点边值问题；锥；连续；可测　中图分类号：０　１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—４９４２（２０１３）０１—０００１—０５　Ｆｏｕｒ－－－ｐｏｉｎｔ　Ｎｏｎｌｏｃａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＬＵ０　Ｈｕａ，ＬＵ０　Ｒｏｎｇ，ＨＵ　Ｗｅｉｍｉｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｙｉｌｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｉｎｉｎｇ　８３５０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｐｐｌｉｃａｔｉｎｇ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ａ　ｎｅｗ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗａｓ　ｄｉｓ—　ｃｕｓｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｒｔｉｃｌｅ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｔｈｒｏｕｇｈ　ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｒａｎｇｅ，ａｎｄ　ｃｏｅｆｆｉ－　ｃｉｅｎｔ　ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｏｒｄｅｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄ—　ａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ；ｍｕｌｔｉ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｃｏｎｅ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ；ｍｅａｓｕｒｅ　四点边值问题作为一种特殊的多点边值问题，　受到了越来越多的关注，很多学者研究了四点边值　问题　．文献［４］研究了一类新的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ整　数阶四点边值问题，　Ｉｚ　（￡）＋　（　）厂（　，　（　），　（　））＝ｏ，ｏ＜　＜１，　Ｉｚ　（ｏ）一　１ｚ（　）＝ｏ，ｚ　（１）＋口２ｚ（　）＝ｏ．　其中Ｏ＜ａｌ＜　１，Ｏ＜ａｚ＜　，ｏ＜　＜　＜１，ａｌａ２￣一　ｌ口２　＋　１＋ａ２＞０对其边值条件作出了限定，得到　一系列正解的存在性结果．　从文献【４】中受到启发，将其边值条件简化，从　整数阶转化到分数阶，在文章中，研究一类新的分　数阶四点边值问题　Ｉ　＋一ｈ（ｔ）ｆ（ｔ，ｚ（　），　（　））＝ｏ，ｏ＜￡＜１，　…　（０）＋ａ１ｚ（　）＝０，　，（１）＋　２　（　）＝０．　其中　０＜　＜叩＜１，ａ１＜Ｏｔ２，－ａｌａ２￣－．［－ａｌａ２ｙ＋Ｇ／１一　２＞Ｏ．　运用同样的不动点定理，得到正解的存在性和多重　性，需要以下假设：　（Ｈ１）ｈ：［０，１卜　［０，∞）连续，在【０，１】上　≠０．（以　下三个假设之一满足）　（Ｈ　）　ｃ　（［０，１】×［０，∞）ｘＲ，【０，∞）），厂≠ｏ．　（Ｈ＂．厂是　一Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数．　在第二部分中，给出预备知识和文章中主要用　到的定理和引理，第三部分中考虑边值问题（１）一　个正解的存在性，最后对于函数厂增加条件得到至　少三个正解，第四部分给出例题验证说明结果．　１预备知识　本文中用到的定义和定理．　收稿日期：２０１２—１２—０８　基金项目：新疆普通高校重点培育学科基金资助项目（ＸＪＺＤＸＫ２０１１００４）；伊犁师范学院２０１２年度大学生课题　（２０１２ＹＪＳ０１０）