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高中数学：2.3.1 双曲线及其标准方程二 教案 (北师大选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

2.3.1 双曲线及其标准方程

教学过程：

一、复习引入：

1 椭圆定义：

平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关

2.椭圆标准方程：

（1）12222byax （2）12222bxay 其中222bca

二、讲解新课：

1．双曲线的定义：平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线

即aMFMF221

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21FF”

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）

两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关

2．双曲线的标准方程：

根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明

取过焦点21FF，的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴

设P（yx,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（0c）

则 )0,(),0,(21cFcF，又设M与)0,(),0,(21cFcF距离之差的绝对值等于2a（常数），ca22

aPFPFPP221

221)(ycxPF又， A2A1PF2F1xOyaycxycx2)()(2222，

化简，得：

)()(22222222acayaxac，

由定义ca22 022ac

令222bac代入，得：222222bayaxb，

两边同除22ba得：12222byax，

此即为双曲线的标准方程

它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是)0,(),0,(21cFcF，

其中222bac

若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y轴上，则焦点是),0(),,0(21cFcF，将yx,互换，得到

12222bxay，此也是双曲线的标准方程

3．双曲线的标准方程的特点：

（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

(2)cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x、2y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上

三、讲解范例：

例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量cba,,的值

①12422yx ②12222yx A2A1F2F1xOy ③12422yx ④369422xy （1232222xy）

分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上，2x项的分母是2a；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上，2y项的分母是2a

解：①是双曲线，6,2,2cba ；

② 是双曲线，2,2,2cba ；

③是双曲线，6,2,2cba ；

④是双曲线，13,2,3cba

例2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到)0,5()0,5(21FF，的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程

解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

12222byax(0a,0b)

∵102,62ca ∴5,3ca ∴1635222b

所求双曲线标准方程为116922yx

四、课堂练习：

1．求a=4，b=3，焦点在x轴上的双曲线的标准方程

2．求a=25，经过点（2，-5），焦点在y轴上的双曲线的标准方程

3．证明：椭圆22525922yx与双曲线151522yx的焦点相同

4．若方程1cossin22yx表示焦点在y轴上的双曲线，则角所在象限是（

）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

5．设双曲线191622yx上的点P到点)0,5(的距离为15，则P点到)0,5(的距离是（ ）

A．7 B.23 C.5或23 D.7或23

练习答案：1. 191622yx; 2. 1162022xy;

3. 22525922yx )0,4(192522Fyx,

151522yx )0,4(111522Fyx;

4. D.1cossin22yx表示焦点在y轴上的双曲线 在第四象限0cos0sin,所以选D. 5. D. dad82|15|7或23

五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上 cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

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高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21

高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21

1 高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21

【本讲教育信息】

一.

教学内容：

双曲线的标准方程及简单的几何性质。（3.1双曲线及标准方程+3.2双曲线的简单的几何性质）

二. 教学目标：

（1）熟练地掌握双曲线的定义及标准方程的形式。会求双曲线标准方程。

（2）掌握双曲线的简单的几何性质及其应用。理解渐近线的意义。

（3）体会用方程的数学思想、等价转化的数学思想及待定系数法等数学思想方法解决双曲线的问题。

三. 知识要点分析：

1. 双曲线定义：

第一定义：平面内到两定点21,FF距离之差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的集合叫做双曲线。定点21,FF叫双曲线的焦点，两焦点间距离是焦距。

M=|}FF|a2,a2||PF||PF|||P{2121

第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线L的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

M=}1,|||{eedPFP

注意：（1）在第一定义中：若2a=||21FF，则点的集合是以21,FF为端点的射线，若2a>||21FF，点的集合是空集。

（2）在第一定义中：当aPFPF2||||21，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当aPFPF2||||12，点的集合是双曲线的左支（如图2）。

（3）在定义二中定点F不在定直线L上。

2. 双曲线的标准方程

（1）)0,0(,12222babyax，焦点在x轴上（实轴在x轴上），222cba

（2）)0,0(,12222babxay，焦点在y轴上（实轴在y轴上），222cba

3. 双曲线几何性质 2 图

形

对称性 关于x轴、y轴、原点对称

范围 ax或ax ay或ay

顶点 A1（－a，0）A2（a，0）实轴：2a，

高中数学人教版选修2-1教案：2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

高中数学人教版选修2-1教案：2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

三 里 屯 一 中 教 案

项目 内容

课题 2.3.2双曲线的简单几何性质（2）

修改与创新

教学

目标 1.知识与技能

理解直线与双曲线的位置关系，并掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；掌握弦长公式的求法；会用坐标法解决简单的直线与双曲线关系中有关“中点弦”的问题的处理技巧——“设点代点、设而不求”.

2.过程与方法

通过数形两个方面对直线和双曲线的位置关系进行讨论并推导，把握类比以及数形结合的思想方法，增强学生分析问题和解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,发展学生对数形的认识，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.

教学重、

难点 【教学重点】直线与双曲线的位置关系

【教学难点】利用代数表达形式表达直线与双曲线的位置关系

教学

准备 多媒体课件

教学过程

一.情景设置

问题1：从图形上看，直线与圆和有几种位置关系？

相交，相切和相离.

问题2：从图形上看，直线与椭圆有几种位置关系？

相交，相切和相离

问题3：直线与双曲线有几种位置关系？也具有类似圆或者椭圆的位置关系吗？

这是我们今天要学习的内容。

二. 探究新知

活动一: 从“形”上感受直线与双曲线位置关系

学生通过画线，感受直线与双曲线的位置关系.

（一）相交

有两个公共点(在同一支) 有两个公共点(分别在两支) 有一个公共点（直线与渐近线平行）

（二）相切 （三）相离

只有一个公共点 没有公共点

总结：位置关系与公共点的个数：

相交：

相切：一个公共点

相离：无公共点

活动二：从“数”上探究直线与双曲线位置关系

直线l ：ykxm ， 双曲线C：22221xyab

北师大选修1-1数学教案

北师大选修1-1数学教案

北师大选修1-1数学教案

【篇一：北师大版数学选修1-1教案：第2章-知识归纳：双曲线】

2.2 双曲线

2.2.1双曲线及其标准方程

1、定义：平面内与两个定点f1、f2的距离的差的绝对值等于常数（小于|f1f2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.

x2y2y2x2

2、标准方程：2?2?1(a＞0,b＞0)或2?2?1(a＞0,b＞0) abab

3、a、b、c三者之间的关系：a2+b2=c2

4、与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？

两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.

5、椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？

只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.

6、双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|f1f2|呢？

如果差的绝对值即常数等于|f1f2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即常数大于|f1f2|，那么无轨迹.

2.2.2 双曲线的简单几何性质

1、范围：双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内；

2、对称

性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.

x2y2

4、实（虚）轴：双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)与y轴没ab

有交点，但我们也把b1（0，-b),b2（0，b）画在y轴上. 线段

a1a2叫做双曲线的实轴，线段b1b2叫做双曲线的虚轴，实轴

的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，

焦点始终在实轴上. cc

5、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a叫做双曲线的离心率.e=a且e∈(1,+∞)，这是因为c＞a＞0.

北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.3.1双曲线及其标准方程导学案

北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.3.1双曲线及其标准方程导学案

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高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.3.1双曲线及其标准方程导学案

北师大版选修1-1

学习目标：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；

2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；

会用双曲线的定义解决实际问题.

自主学习

复习旧知:1. 把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．

2.平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.

3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

合作探究

1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义．

叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集P 。

2.双曲线标准方程的推导过程

思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,abc的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程222210,0yxabba．推导

- 2 - 过程：

3.已知双曲线两个焦点分别为15,0F，25,0F，双曲线上一点P到1F，2F距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

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