3.3.1双曲线及其标准方程_教案(北师大版选修2-1)
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§3 双曲线
3.1双曲线及其标准方程
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解双曲线的定义和标准方程．
(2)会推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法
在求双曲线标准方程的过程中，进一步掌握解析几何的基本思想．
3．情感、态度与价值观
了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
●重点难点
重点：求双曲线的标准方程．
难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题．
有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，可引导学生通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
1．以类比思维作为教学的主线；
2．以自主探究作为学生的学习方式； 3．教法上以启发式、发现法为主，在教学中将启发、诱导贯穿于始终．
●教学流程
知识引入：知识回顾、观察动画、概括定义知识探索：理解定义、推导方程、对比方程知识应用：例题讲解与变式训练知识小结：知识总结、布置作业
课标解读 1.理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距．(重点)
2.掌握双曲线的标准方程．(重点)
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．(难点)
双曲线的定义
【问题导思】
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到F1、F2上，F1到F2的长为2a(a>0)，把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，如图所示．
1．笔尖在运动过程中，满足的条件是什么？
【提示】 |MF1|－|MF2|＝2a.
2．笔尖M到两个定点F1、F2距离之差的绝对值与这两上定点间的距离有什么关系？
【提示】 ||MF1|－|MF2||<|F1F2|.
3．距离的差为什么要加绝对值？
【提示】 不加绝对值，得到的只是双曲线的一支． 双曲线的定义
我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．
定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程
【问题导思】
类比椭圆标准方程的推导，在推导双曲线方程时
1．如何建系？
【提示】 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
2．动点M的几何性质是什么？
【提示】 ||MF1|－|MF2||＝2a.
3．怎样化简？
【提示】 先移项，再平方，移项是为使两个根式在等式的两边，平方是为了化无理式为有理式．
双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 x2a2－y2b2＝1
(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1
(a>0，b>0)
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的
关系 c2＝a2＋b2
双曲线定义的应用
已知双曲线的方程是x216－y28＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．
【思路探究】 连接ON⇒ON是△PF1F2的中位线⇒求|PF2|⇒|ON|＝12|PF2|
【自主解答】 如图所示，连接ON，F2P，ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝12|PF2|.
∵||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
∴|PF2|＝2或18，
∴|ON|＝12|PF2|＝1或9.
深刻理解双曲线的定义是灵活求解双曲线问题的关键，理解双曲线的定义可以从以下几个方面：
1．双曲线的集合语言表述：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,2a<|F1F2|}．
2．为什么限制2a<|F1F2|?
3．在定义中，为什么常数是“差的绝对值”而不是“差”？
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】
如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨
迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x＜0).
求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，154)，Q(－163，5)且焦点在坐标轴上．
(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
【思路探究】 (1)焦点位置不确定、用待定系数法分类求解或直接设所求双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
(2)用待定系数法求解，注意c2＝a2＋b2.
【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
∵双曲线过P(3，154)，Q(－163，5)
∴ 9m＋22516n＝12569m＋25n＝1，解得 m＝－116n＝19.
∴所求双曲线方程是y29－x216＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝6，
∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴25λ－46－λ＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是x25－y2＝1.
双曲线标准方程的求解步骤：
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A(1，4103)；
(2)焦点在y轴上，且过点(3，－42)，(94，5)．
【解】 (1)若双曲线的焦点在x轴上，则设双曲线方程为x216－y2b2＝1(b＞0)．
∴116－1609b2＝1，即1609b2＝－1516，不合题意．
若双曲线的焦点在y轴上，则设双曲线方程为
y216－x2b2＝1(b＞0)，∴109－1b2＝1∴b2＝9.
故所求双曲线方程为y216－x29＝1.
(2)设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，则有
32a2－9b2＝1，25a2－8116b2＝1，解得 1a2＝116，1b2＝19.
故所求双曲线方程为y216－x29＝1.
双曲线方程的应用
(1)已知双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，求k的值；
(2)若方程x2|k|－1＋y2k＋4＝1表示双曲线，求k的取值范围．
【思路探究】 (1)确定焦点位置，再由双曲线中a，b，c之间的关系求解．(2)根据方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件即可求解．
【自主解答】 (1)由2x2－y2＝k得x2k2－y2k＝1.
∴当k>0时，a2＝k2，b2＝k.
由题意知k2＋k＝9，即k＝6；
当k<0时，a2＝－k，b2＝－k2.
由题意知－k－k2＝9，即k＝－6.
综上，k＝±6.
(2)由 |k|－1>0k＋4<0或 |k|－1<0k＋4>0，得k<－4或－1
方程表示双曲线，则x2，y2的系数异号，当x2的系数为正时，焦点在x轴上，否则焦点在y轴上；当x2，y2的系数正负不确定时，要注意分类讨论．
已知一曲线C的对称轴是坐标轴，且经过M(1,1)，N(－2，5)两点，试判断此曲线是椭圆还是双曲线？
【解】 设曲线方程为mx2＋ny2＝1，
将M(1,1)，N(－2，5)代入方程得 m＋n＝1，4m＋5n＝1，
解得 m＝4，n＝－3，∴所求的曲线方程为x214－y213＝1.
故曲线C是双曲线.
忽略点在哪一支上的判断致误
已知点M是双曲线x24－y25＝1上的一
点，且点M到右焦点F2的距离为92，则点M到左焦点F1的距离为________．
【错解】 由已知得a＝2，又||MF2|－|MF1||＝2a，
∴|92－|MF1||＝4，
解得|MF1|＝12或172.
【答案】 12或172
【错因分析】 未对点M在哪一支上进行判断，片面地认为点M在两支上，从而造成增解．
【防范措施】 解题时，既要注意算法——怎样算，又要清楚算理——根据什么．尤其在求解信息有所隐藏的问题时，更要注意这一点．
【正解】 由于a＋c＝5>92，所以点M只能在右支上，
∴|MF1|－|MF2|＝2a，∴|MF1|＝2a＋|MF2|＝2×2＋92＝172.
【答案】 172
1．当P满足0<|PF1|－|PF2|<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF2|－|PF1|<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的另一支；当|PF1|－|PF2|＝±|F1F2|时，点P的轨迹是两
条射线，||PF1|－|PF2||不可能大于|F1F2|.
2．由双曲线标准方程判断焦点位置时，看“正负”，即x2的系数为正时，焦点在x轴，否则，焦点在y轴上．
1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是( )
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
【解析】 由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10.
解得|PF2|＝2或|PF2|＝22.
【答案】 D
2．若方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以 sin α＜0cos α＞0，故α是第四象限角.
【答案】 D
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则边的右焦点为________．
【解析】 双曲线方程可化为x2－y212＝1，
