高二数学（下）
2003/2/22
第1页共2页 空间角的计算
【教学内容】
掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角及平面角的的概念和作图方法，并能熟练计算。
【教学重点、难点】
如何将空间角转换成平面角。
【德育目标】
培养学生辩证唯物观，事物在一定条件下可以相互转化。
【教学过程】
例1、已知二面角α－a－β，点P在二面角α－a－β内，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，PA=8，PB=5，AB=7，求二面角α－a－β的大小。
αβOPBA
注意：此题找二面角的平面角不难，但应注意证明P、B、O、A四点在一个平面内。
例2、已知正四面体ABCD中，BC的中点为E，AD的中点为F，连结AE、CF。试求：
（1）异面直线AE与CF所成的角；
（2）求CF与底面BCD所成角的正弦值。
FEDCBA 高二数学（下）
2003/2/22
第2页共2页 注意：
1、异面直线所成的角，通常是利用平行线进行平移之后转换成平面角来计算；
2、直线与平面所成的角是利用直线在平面上的射影，因此，作平面的垂线是必须的。
〖随堂练习〗
1、一直线与直二面角的两个面的所成角α、β，则α+β的取值范围是多少？
答案：0°≤α+β≤90°
2、若直线a与平面α、β所成的角相等，试讨论平面α、β的位置关系如何。
3、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的正弦值。
【作业】
1、在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=21AB=a，将△ADC沿AC折起，使D到D’。若二面角D’―AC―B为直二面角，求二面角A―BC―D’的大小。
D'CBADCB A
2、ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。
第 1 页 数学教案《空间角》
?【教学目标】 掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小
【知识梳理】
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。其取值范围分别是：0°? ? ≤90°、0°≤ ? ≤90°、0°? ? ≤180°.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.
【点击双基】
1．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为……………………………..( )
A. 13 B. 233 C. 22 D. 23
2.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为………………………………..( )
A. 30° B.60° C.90° D.150°
3.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面α,β且第 2 页 都与此两平面的交线l垂直,则二面角α-l-β的大小是………………..( )
A. 90° B. 30° C.45° D.60°
4.在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM⊥平面ABC,当BC=18,PM=33 时,PN和平面ABC所成的角是 .
5.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60 °,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 .
【典例剖析】
一、异面直线所成的角：
例1（04高考广东18（2））如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，
数学教案《空间角》_教学设计
【教学目标】 掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小
【知识梳理】
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。其取值范围分别是：0°? ?
≤90°、0°≤ ? ≤90°、0°? ? ≤180°.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.
【点击双基】
1．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为……………………………..( )
A. 13 B. 233 C. 22 D. 23
2.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为………………………………..( )
A. 30° B.60° C.90° D.150°
3.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面α,β且都与此两平面的交线l垂直,则二面角α-l-β的大小是………………..( )
A. 90° B. 30° C.45° D.60°
4.在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM△平面ABC,当BC=18,PM=33 时,PN和平面ABC所成的角是 .
5.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60 °,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 .
【典例剖析】
一、异面直线所成的角：
例1（04高考广东18（2））如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，
哈市第十二中学高二上学期数学学案 备课教师：
1 EDCBA
1如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
(1)证明PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
2如图，四边形DCBE为直角梯形，90DCB，
CBDE//，2,1BCDE，又1AC，120ACB，
ABCD，直线AE与直线CD所成角为60．
（Ⅰ）求证：平面ACD平面ABC；
（Ⅱ）求BE与平面ACE所成角的正弦值．
哈市第十二中学高二上学期数学学案 备课教师：
2 3(2010辽宁)已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
4（2011新课标）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
哈市第十二中学高二上学期数学学案 备课教师：
3 5（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD．
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．
6（2011福建）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD．四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB＝AP.
①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
