高中数学精品课件：空间角

1 第55练 空间角与距离

训练目标 (1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题．

训练题型 (1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离．

解题策略 利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.

一、选择题

1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )

A.34 B.54

C.74 D.34

2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )

A.π6 B.π3

C.π4 D.23π

3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为( )

A.3a2 B.a2

C.5a2 D.7a2

二、填空题

4.如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD

2 所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．

5.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝32，则二面角S－BC－A的大小为________．

6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：

①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；

②二面角P－BC1－D的大小为定值；

③三棱锥D－BPC1的体积为定值；

④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．

其中真命题的个数为________．

三、解答题

7.(2016·潍坊模拟)如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．

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希望大家高考顺利 立体几何中的向量问题空间角与距离

1.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 .

答案 45°或135°

2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为 .

答案 60°

3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、

F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .

答案 515

4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为 .

答案 a22

5.（2008·福建理，6）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 .

答案 510

例1 （2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线

BD′上,∠PDA=60°.

(1)求DP与CC′所成角的大小;

(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.

则DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).

连接BD,B′D′.

在平面BB′D′D中,

延长DP交B′D′于H.

设DH=(m,m,1) (m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°,

由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH, DA〉, 基础自测 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 可得2m=122m.

高中数学立体几何中的空间角解析

立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中空间角是立体几何中的一个重要概念。本文将以具体的题目为例，详细介绍空间角的定义、性质和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间角。

一、空间角的定义和性质

空间角是指由两条射线在同一平面内围成的角，也可以理解为由两条射线在三维空间中围成的角。具体来说，设有两条射线OA和OB，它们在同一平面内，那么角AOB就是由这两条射线所围成的空间角。

空间角的度量单位与平面角相同，可以用度（°）或弧度（rad）来表示。在解题中，我们通常使用度来度量空间角。

空间角具有以下性质：

1. 两条射线的方向不同，所围成的空间角大小在0°到180°之间；

2. 如果两条射线的方向相同，所围成的空间角大小为0°；

3. 如果两条射线的反向延长线相交，所围成的空间角大小为180°。

二、空间角的解题技巧

1. 利用空间角的定义和性质进行解题

在解题过程中，我们可以根据空间角的定义和性质来推导出一些结论，从而解决问题。例如，如果题目给出了两条射线的夹角，我们可以利用空间角的定义直接得出答案；如果题目给出了两条射线的方向，我们可以根据空间角的性质判断空间角的大小。 举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。

解析：根据空间角的定义，射线OA与射线OC的夹角等于射线OA与射线OB的夹角加上射线OB与射线OC的夹角。即所求角度为60°+120°=180°。根据空间角的性质，当两条射线的反向延长线相交时，所围成的空间角大小为180°。因此，射线OA与射线OC的夹角为180°。

2. 利用平面角的知识解决空间角问题

在解决空间角问题时，我们还可以利用平面角的知识进行推导和计算。由于空间角是由两条射线在同一平面内围成的角，所以可以将空间角转化为平面角进行计算。

举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。

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第九节 利用空间向量求空间角

一、基础知识

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则cos

θ＝|a·b||a||b|， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.

3．二面角

(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|，如图(2)(3)．

两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．

直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．

利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．

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二、常用结论

解空间角最值问题时往往会用到最小角定理

cos θ＝cos θ1cos θ2.

如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.

[解题技法]

用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．