2016年高考文科数学上海卷-答案

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2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)

数学（文史类）答案解析

一、填空题

1.【答案】2,4（）

【解析】|3|113124xxx，故不等式|3|1x的解集为2,4（）.

【提示】先去掉绝对值符号，再进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.

【考点】绝对值不等式的基本解法

2.【答案】3

【解析】32i23iiz，故z的虚部等于3.

【提示】先分母有理化，化简，直接求得答案.

【考点】复数的运算，复数的概念

3.【答案】255

【解析】由两平行线间的距离公式得122222|||11|25521CCdab.

【提示】直接利用两平行线间的距离公式求得答案.

【考点】两平行线之间的距离公式

4.【答案】1.76

【解析】将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，这五个数的中位数是1.76.

【提示】先将这5位同学的身高按照从低到高排列，最中间的数就是中位数.

【考点】中位数

5.【答案】3

【解析】2()16sin()fxax，其中tan4a，故函数()fx的最大值为216a，由已知得，2165a，解得3a.

【考点】辅助角公式

6.【答案】2log(1)x

【解析】将点(3,9)代入函数)(1xfxa中得2a，所以2(1)xfx，用y表示x得2log(1)xy，所 - 2 - / 7

以12()log(1)fxx.

【提示】先将点(3,9)代入函数)(1xfxa求出a值，再将x与y互换转化成反函数.

【考点】反函数的概念，反函数的求解

7.【答案】2

【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令2zxy，当直线1122yxz经过点(0,1)P时，z取得最大值2.

【提示】根据约束条件，画出相应的封闭区域,通过平移找到最优解.

【考点】线性规划

8.【答案】π5π,66

【解析】化简3sin1cos2xx得：23sin22sinxx，所以22sin3sin20xx，解得1sin2x或sin2x（舍去），又[0,2π]x，所以π5π66x或.

【提示】先通过化简得到角的某种三角函数值，再结合角的范围求解.

【考点】三角方程

9.【答案】112

【解析】由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n，即2256n，所以8n，又二项展开式的通项为8483331882(2)rrrrrrrTCxCxx，令84033r，所以2r，所以3112T，即常数项为112.

【提示】先根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，再综合运用二项展开式的系数的性质求解.

【考点】二项式定理

10.【答案】733

【解析】由已知可设357abc，，，∴2221cos=22abcCab，∴3sin2C，∴732sin3cRC. O x y

P - 3 - / 7

【提示】先利用三角公式化简三角恒等式，再利用正弦定理实现边角转化.

【考点】正弦定理，余弦定理

11.【答案】16

【解析】将4种水果每两种分为一组，有24C6种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.

【提示】先确定所研究对象的基本事件个数，再利用概率的计算公式求解.

【考点】古典概型

12.【答案】[1,2]

【解析】由题意，设(cos,sin)P，[0,π]，则(cos,sin)OPuuur，又(1,1)BAuuur，

所以cossin2sin[1,2]4OPBAuuuruuurg.

【提示】先利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，再利用三角函数的图象和性质，得到OPBAuuuruuurg的取值范围.

【考点】向量与三角函数的综合应用

13.【答案】(2,)

【解析】方程组无解等价于直线1axy与直线1xby平行，所以1ab且1ab.

又a，b为正数，所以22abab(1)ab，即ab的取值范围是(2,).

【提示】根据方程表示直线，得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式解答.

【考点】基本不等式的应用.

14.【答案】4

【解析】当1n时，12a或13a；当2n时，若2nS，12nS，于是0na，若3nS，13nS，于是0na，从而存在kN，当nk时，0ka.所以要涉及最多的不同的项数列{}na可以为：2,1,1,0,0K，从而可看出max4k.

【提示】从nS与na的关系入手，推断数列的构成特点，注意“数列na由k个不同的数组成”和“k的最大值”.

【考点】数列的通项与求和 - 4 - / 7

二、选择题

15.【答案】A

【解析】211aa，211aa或1a，所以p是q的充分非必要条件.

【提示】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断.

【考点】充要条件，必要条件，不等式的性质.

16.【答案】D

【解析】只有11BC与EF在同一平面内，是相交的，其他A，B，C选项中的直线与EF都是异面直线，故选D.

【提示】以正方体为载体，直接分析直线与直线的位置关系

【考点】异面直线

17.【答案】B

【解析】ππ5πsin3sin32πsin3333xxx，5π(,)3,3ab，

又ππ4πsin3sinπ3sin3333xxx，4π(,)3,3ab，注意到[0,2π)b，只有这两组.

【提示】根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到ab，的可能取值.

【考点】三角函数

18.【答案】D

【解析】因为[()g()][()()][g()()]()2fxxfxhxxhxfx，

所以[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)](+)2fxTxTfxThxTxThxTfxT，又()()fxgx、()()fxhx、()()gxhx均是以T为周期的函数，所以[()g()][()()][g()()](+)=()2fxxfxhxxhxfxTfx，所以()fx是周期为T的函数，同理可得()gx、()hx均是以T为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.

【提示】利用函数周期性定义：(+)()fxTfx进行推导，再根据函数单调性的性质进行举反例排除法错误答案.

【考点】函数的性质，命题的真假性

三、解答题

19.【答案】（Ⅰ）由题意可知，圆柱的母线长1l，底面半径1r. - 5 - / 7

圆柱的体积22=ππ11πVrl，

圆柱的侧面积2π2π112πSrl.

（Ⅱ）设过点1B的母线与下底面交于点B，则11OBOB∥，

所以COB或其补角为11OB与OB所成的角.

由¼11AB长为π3，可知111π3AOBAOB，由»AC长为5π6，可知5π6AOC，

π2COBAOCAOB，所以异面直线11OB与OC所成的角的大小为π2.

【提示】（Ⅰ）由题意可知，圆柱的高1hl，底面半径1r.由此计算即得.

（Ⅱ）由11//OBOB得COB或其补角为11OB与OC所成的角，再结合题设条件计算即得.

【考点】几何体的体积，空间角.

20.【答案】（Ⅰ）因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为24yx(02)y.

（Ⅱ）依题意，点M的坐标为1,14.所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114.

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”.

【提示】（Ⅰ）由C上的点到直线EH与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分.

（Ⅱ）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可.

【考点】抛物线的定义，标准方程的应用.

21.【答案】（Ⅰ）设(,)AAAxy，由题意，222242(c,0)c1(c1)AFbybb，，，

因为1FAB△是等边三角形，所以23cy，即244(1)3bb，解得22b.

故双曲线的渐近线方程为2yx.

（Ⅱ）由已知，2(2,0)F. - 6 - / 7

设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线:l(2)ykx.

由2213(2)yxykx，得2222(3)4430kxkxk.

因为l与双曲线交于两点，所以230k，且236(1)0k.

由212243kxxk，2122433kxxk，得22122236(1)()(3)kxxk，

故222212121226(1)()()143kABxxyykxxk，解得235k，故l的斜率为155.

【提示】（Ⅰ）设(,)AAAxy，根据题设条件可以得到244(1)3bb，从而解得2b的值。

（Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线l：(2)ykx与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l与双曲线交于两点，可得230k，且236(1)0k＞，由||4AB构建关于k的方程进行求解。

【考点】双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，直线方程的标准方程.

22.【答案】（Ⅰ）因为4A，4B，所以4ABU，从而na与nb不是无穷互补数列.

（Ⅱ）因为416a，所以1616420b.

所以数列nb的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802.

（Ⅲ）设na的公差为d，dN，则1611536aad.

由136151ad，得1d或2

若1d，则121a，20nan，与“na与nb是无穷互补数列”矛盾；

若2d，则16a，24nan，5,255,nnnbnn，，＞

综上，24nan，5,255,nnnbnn，，＞

【提示】（Ⅰ）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得.

（Ⅱ）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解.

（Ⅲ）先求等差数列{na}的通项公式，再求{nb}的通项公式.