高等数学 第八章 常微分方程

1 第八章 常微分方程

一、 本章提要

1． 基本概念

微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．

2． 基本公式

一阶线性微分方程 ()()yPxyQx 的通解公式:

()d()d()edePxxPxxyQxxC．

3． 基本方法

分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法．

4． 定理

齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构．

二、要点解析

问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？

解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章

我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．

例1 求微分方程 yy0 的通解．

解一 因为 0yy 所对应的特征方程为10r，特征根1r，所以exyC

（C为任意常数）为所求通解．

解二 因为 0yy，

所以 )0(ddyyxy，

分离变量 xyydd， 2 两边积分 xyydd，

1lnyxC，

1exCy，

1eeCxy，

所以 exyC （C为任意常数）．

请思考为什么所求通解 exyC 中的任意常数C可以为零，如何解释．

问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？

解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率 xykdd（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 ddsvt，加速度 22ddddtstva，角速度 twdd，电流 tqidd等．

例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t的函数关系．

解 设t时刻镭的现存量()MMt，由题意知：0(0)MM ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程

kMtMdd，

其中(0)kk为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M逐渐减小， 0ddtM．

将方程分离变量得ektMC，再由初始条件得00eMCC， 所以

0ektMM， 3 至于参数k，可用另一附加条件 2)1600(0MM 求出，即160000e2kMM，解之得

kln.216000000433，

所以镭的衰变中，现存量M与时间t的关系为

0.0004330etMM．

三、例题精解

例3 求yy4满足初始条件001,2xxyy 的特解．

解一 令yp，则ddddddddppypypxyxy．将其代入原方程yy4得

yypp4dd，

分离变量 yyppd4d，

两边积分 yyppd4d，

22111422pyC，

2224pyC，

因为001,2xxypy，所以222241C，可得C2=0．故224py，即

py2．这里yy2 应舍去，因为此时y 与y 异号，不能够满足初始条件．将

2yy分离变量便得其解y=23exC．再由yx01，得30C，于是所求解为

2exy．

上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．

解二 因为yy4，所以

40yy， 4 特征方程 240r，

特征根 122,2rr，

于是其通解为

2212eexxyCC，

由初始条件可得C1=0 ，C2=1 ，所求特解为

2exy．

例4 求方程yyxsin的通解．

解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为

yy0，

特征方程为 210r，

特征根12i,=irr，齐次方程的通解为

12cossincyCxCx，

由于方程0sinesinyyxx，ii(其中0,1) 恰是特征单根，故设特解为

yxAxBxp(cossin)，

代入原方程，可得1,02AB 所以

yxxp12cos，

于是所求通解为

yCxCxxx1212cossincos．

上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ypyqyfx()中的非齐次项()e()cos()sinxnhfxPxxPxx，那么该微分方程的特解 5 可设为

e()cos ()sinkxpmmyxPxxQxx，

其中(), ()mmPxQx 均为 m次待定多项式 mhnmax,．如果非齐次项中的,使

i不是特征方程的根，则设0k；如果i是特征方程的单根，则取1k．

解二 方程yyxsin所对应的齐次方程yy0之通解

yCxCxC12cossin．

为求yyxsin的一个特解，先求辅助方程

iee(0i)xxyy ①

的特解，由于i 恰是特征单根，故可设

iexpyAx

为①的一个特解．将其代入①整理得

2i1A 即i2A，

所以 iii11e(cosisin)sini(cos)2222xpyxxxxxxxx，

即yxx*cos12为方程yyxsin的一个特解．

因此，所求通解为yCxCxxx1212cossincos．

该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程ypyqyfx()中的非齐次项()()ecosxmfxPxx或()()esinxmfxPxx时，可先令()()exmfxPx

(i)按是否为特征方程的特征根（是特征根设1k，不是特征根设0k），可设

()ekxpmyxQx

为方程()exmypyqyPx的特解，求出12ipyyy的形式，则 6 y1为ypyqy()ecosxmPxx的一个特解，

y2 为ypyqy()esinxmPxx的一个特解．

上述两种解法，实质上是一样的，为什么？

四、练习题

1． 判断正误

（1）若y1和y2是二阶齐次线性方程的解，则1122CyCy（C1，C2为任意常数）是其通解 ； （  ）

解析 只有1y 和2y是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合1122CyCy才是通解．

（2）yyx0的特征方程为3210rr； （  ）

解析 yyx0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为0yy，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y换成未知元r，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r的次数而得到的代数方程．因此，yyx0的特征方程为3210rr．

（3）方程yyxsin的特解形式可设为xBxAsincos（Ａ，Ｂ为待定系数） ；

（ √ ）

解析 对应的齐次方程为0yy，特征方程为02rr，特征根为 1r=0，2r=1．

又因为1,0,ii不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为

xxQxxPypsin)(cos)(00= xBxAsincos．

（4）yy的通解为exyC（C为任意常数）． （√ ）

解析 特征方程为01r，特征根为r=1，所以，特征方程的通解为exyC．

2．选择题

（1）2(1)exyyyx的特解形式可设为（ A ）； 7 (A)2()exxaxb ； (B) ()exxaxb；

(C) ()exaxb； (D) 2)(xbax．

解析 特征方程为0122rr，特征根为 1r=2r=1．=1是特征方程的特征重根，于是有2()expyxaxb．

（2）2esinxyyyx的特解形式可设为（ C ）；

(A) esinxAx； (B) 2esinxAxx；

(C) e(sincos)xAxBx； (D) )cos(sin2xxAx．

解析 特征方程为 0122rr，特征根为 1r=2r=1．又因为1,1，i1i不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为)cossin(xBxAeyxp．