第六章 常微分方程

第六章 常微分方程

一、学习指导

1、知识网络

常微分方程

微分方程

偏微分方程

微分方程相关概念 微分方程的阶

通解

微分方程的解

特解

可分离变量微分方程

一阶线性齐次微分方程

常见微分方程形式 一阶线性微分方程

及其通解公式 一阶线性非齐次微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程

二阶线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程

2、知识重点与学习要求

2.1 了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2.2 掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解，会用微分方程解决一些简单的实际问题。

2.3 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

2.4 理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构定理，并会求某些特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，进而求其通解。

3、概念理解与方法掌握

3.1基本概念

（1）微分方程的定义

含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程。

注意： ① 在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。

② 在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则为偏微分方程。本章只讨论常微分方程。

（2）微分方程的阶

微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

（3）微分方程的解

如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，那么这个函数就称为微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解则称为微分方程的通解，不含任意常数的解叫做微分方程的特解。

（4）初始条件

初始条件是用来确定通解中任意常数的条件，通常是由系统（微分方程）在初始时刻所处的状态给出。

3.2 几种常见类型微分方程的解法

注意：微分方程特定类型有其特定的解法，故在解微分方程之前，一定要准确判断出它的类型。

1、可分离变量的微分方程

（1）方程形式

形如 ()()dyfxgydx

的微分方程叫做可分离变量的微分方程。其中(),()fxgy在其定义的某个范围内为连续函数，且()0gy。

（2）解法：分离变量法

① 分离变量 ()()dyfxdxgy

② 两边积分 ()()dyfxdxgy

即得通解 ()()GyFxC 其中，(),()GyFx分别是1,()()fxgy的原函数；C为任意常数。

③如果需要求特解，则由初始条件确定出通解中的任意常数C。 2、一阶线性微分方程

（1）方程形式

形如 ()()dyPxyQxdx

的微分方程，叫做一阶线性微分方程。

当()0Qx时，方程()0dyPxydx称为一阶线性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程。

（2）解法：

 一阶线性齐次微分方程()0dyPxydx的求解

可以用分离变量法求通解：

1()dyPxdxy

求得： ln()yPxdx。

于是得到方程()0dyPxydx的通解公式为：

()PxdxyCe

说明：一阶线性齐次微分方程可用分离变量法，也可用通解公式求解。

 一阶线性非齐次微分方程()()dyPxyQxdx的求解

说明：这类方程可以用常数变易法（见教材），也可以用通解公式：

()()(())PxdxPxdxyeQxedxC

用通解公式求解，一定注意微分方程的一般形式，同时通解公式运用要正确。

3、二阶常系数线性齐次微分方程

（1）方程形式

0ypyqy（其中,pq为常数），

（2）函数的线性相关和线性无关

对于函数1y和2y（其中20y），如果12yCy（C为常数），则称函数1y和2y是线性无关的，否则，称函数1y和2y是线性相关的。而0y与任何函数都线性相关。 （3）二阶常系数线性齐次微分方程的通解定理

如果函数1y和2y是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，那么

1122yCyCy就是这个方程的通解（其中12,CC是任意常数）。

（4）二阶常系数线性齐次微分方程0ypyqy的解法：特征根法

①写出微分方程的特征方程20rprq；

②求出特征方程20rprq的特征根12,rr；

③根据特征方程根的形式，可按下表6-1写出方程0ypyqy的通解。

表6-1

24pq 特征根情况 微分方程的通解

0 12rr 1212rxrxyCeCe

0 12rrr 12rxyCCxe

0 1,2ri 12cossinxyeCxCx

4、二阶常系数线性非齐次微分方程

（1）方程形式

()ypyqyfx

其中,pq为常数，()0fx。

（2）二阶常系数线性非齐次微分方程的通解定理

设Y是齐次方程0ypyqy的通解，y是非齐次方程()ypyqyfx的一个特解，则yYy就是非齐次方程()ypyqyfx的通解。

（3）二阶常系数线性非齐次微分方程()ypyqyfx的求解

①求对应的齐次方程0ypyqy的通解Y

②求()ypyqyfx的特解y：待定系数法

y的形式（含待定系数）如表6-2所示

表6-2

()fx的形式 特解y的形式

()()xnfxPxe

（()nPx是关于x的n次多项式，为常数） ()kxnyxQxe（()nQx是关于x的n次多项式的一般形式，其中含有待定系数）

222001020rprqkrprqrprq不是的根是的单根是的重根

()(cossin)xfxeaxbx

（其中,,,ab都是常数） (cossin)kxyxeAxBx，其中AB和

是待定系数

220010irprqkirprq不是的根是的根

③写出()ypyqyfx的通解yYy。

（4）二阶常系数线性非齐次微分方程特解的叠加定理

若1y与2y分别是方程1()ypyqyfx与2()ypyqyfx的一个特解，则12yyy就是方程12()()ypyqyfxfx的一个特解。

3.3 疑难解答

（1）微分方程的通解是否就是所有解的共同表达式？

答：不是。例如微分方程20yy，分离变量2dydxy，两边积分得通解1yxC，由于分离变量时两边同时除以2y而失掉解0y，因此0y就不包含在通解中。

（2）在可分离变量的微分方程中，为何允许一端对x、另一端对y积分？

答：这是因为y是x的函数()yx，当一个微分方程经过分离变量变成()()gydyfxdx后，两端对x积分：[()]()()gyxyxdxfxdx，而左端换元，令()yyx，由一阶微分形式不变性，左端=()gydy，这样左端对x的积分，实质上就看成直接对y的积分了。

（3）一阶线性非齐次微分方程为什么可以用常数变易法？ 答：一阶线性非齐次微分方程()()dyPxyQxdx可写成()[()]dyQxPxdxyy，两边积分得()ln()QxydxPxdxy，即()()lnQxdxPxdxyyyeee。也就是说方程()()dyPxyQxdx的解可写成两部分的乘积：一部分是()Pxdxe，这是原方程所对应齐次方程的解；另一部分是()Qxdxye，因为y是x的函数，因而可将()Qxdxye看做x的一个函数，设()()QxdxyeCx，于是原方程的解可表示为()()PxdxyCxe，这就相当于把原方程所对应的齐次方程的通解()PxdxyCe中的常数C变成了待定函数()Cx。这就是所谓的常数变易法。

二、例题分析

例1 已知从原点到曲线()yfx上任一点处的切线的距离等于该切点的横坐标，试建立未知函数y的微分方程。

解：设切点为(,)xy，切线方程为

()YyyXx

整理得

()0yXYyxy

由点到直线的距离公式，依题意得

21yxyxy

222()(1)yxyxy

化简得

2220(0)xyyxyx

这就是y满足的微分方程。

例2 判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是，是否为通解？

（1）221,yxyyx； （2）2()0,2Cxxydxxdyyx；

（3）20,xyyyyCxe。

解：（1）因为1yx、21yx、32yx代入方程后等式不成立，所以1yx不是所给方程的解。

（2）由22Cxyx，221()()222CxCdydxdxxx，所以

221()()()0222CxCxydxxdyxdxxdxxx满足方程，且22Cxyx含有一个任意常数，是所给方程的通解。

（3）由xyCxe得xxyCeCxe，2xxyCeCxe所以

222()0xxxxxyyyCeCxeCeCxeCxe使得原方程变为恒等式，所以xyCxe是原方程的一个特解。但是xyCxe只含有一个任意常数，所以xyCxe不是原方程的通解。

例3 求微分方程21dyxydxx的通解。

解：所给方程为可分离变量微分方程，分离变量得

21dyxdxyx

两边积分得

2111lnln(1)ln(0)2yxCC

211yCx

所以通解为

211()yCxCC

又0y也是微分方程的解，所以通解中C的可取0，即CR。

注（1）为了运算方便，可把lny写成lny，只要记住C可正可负就行。在今后的求解过程总，只要积分出现对数函数时，真数一般都可以不加绝对值符号。

（2）此例中，假设1C是任意正常数，而1lnC是任意常数，把积分常数写成1lnC是为了较