第六章 常微分方程
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第六章 常微分方程
第1节 基本概念
1. 常微分方程
含未知函数的导数的方程。
2. 阶
未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。
3. 解
通解：含有任意常数的个数与阶数相同。
特解：通解中的任意常数确定。
初始条件：y( = ， = ，…， =
4. 线性方程
y和y的各阶导数都是以一次式出现的。
第2节 一阶微分方程
1. 可分离变量的微分方程：
转化：
=f(x) g(x)
=
两边同时积分
2. 齐次微分方程：
如果
=f(
)，那么设
=u，则y=x u(x)
那么
=u(x)+x
带入原方程
得：u+x
=f(u)
=
（可分离变量）
3. 一阶线性微分方程
通式： +P(x) y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程通解：y=C
一阶线性非齐次微分方程通解：y= (
第3节 高阶微分方程
1. 可降阶的高阶微分方程
a)
逐次积分解决。
b) 令u(x)= ,则 = 。代入原式。
c)
令 =p(y),则 = 。代入原式。
2. 线性微分方程解的结构
通式（二阶为例）： + +Q(x) y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。
（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。
（2）若 , 是齐次的解，则 仍然是它的解。
（3）接（2）若 , 线性无关，则 是它的通解。
（4）若Y是齐次的通解， 是非齐次的特解，则y=Y+ 是非齐次的通解。
3. 二阶常系数线性微分方程
通式： + +Qy=f(x)
齐次： + +Qy=0
特征方程：
a) >0，有两个不等实根 、 。
则Y= + 是齐次方程的通解。
b) =0，有两个相等实根 。
则Y= + = 是齐次方程的通解。
c) <0，有两个不等虚根 。
则Y= 是齐次方程的通解。
非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。
只有两种f(x)能找到特解：
a) f(x)= =
是特征方程的k重根。Qn是和Pn相同形式多项式。
b) f(x)= [ Cos + sin ]
= [ Cos + sin ]
m=max{n,l}
是特征方程的k重根。
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