《高等数学》课件第6章 常微分方程

高等数学（电子版）

第一章 函数与极限

1.1 函数的概念

函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。

1.2 函数的性质

函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。

1.3 极限的概念

极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

1.4 极限的运算法则

极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。

1.5 无穷小与无穷大

无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。

1.6 连续性与间断点 连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。

第二章 导数与微分

2.1 导数的概念

导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。

2.2 导数的运算法则

导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。

2.3 高阶导数

高阶导数是指函数的导数的导数。它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。

2.4 微分的概念

微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。

第六章 常微分方程的数值解法

问题：一阶常微分方程初值问题

 )(),(00yxyyxfy （6.1）

其解析解记为 )(xyy，即

 )())(,()(00yxyxyxfxy

例如：

 1)0(]1,0[ ,

yxyxy

其解析解为 xexy21。

另如：

 1)0(]1,0[ , 2yxyxyy

其解析解为 xy21。

上述2个例子，都是极其简单的情形，皆能用高数方法求出其解析解。但是，大多数实际问题中得到的常微分方程是复杂的，其解析解一般难以求出。

在数值方法中，我们只能求得)(xyy在x的某些离散点上的近似值。具体如下：

从0x出发，选取一个合适的步长h，则x的某些离散点为

,2,1,0 , 0iihxxi

我们的目的是求出这些,2,1,0,ixi点上解析解)(xyy的近似值

,2,1,0 ),(ixyyii

这里的)(00xyy是已知的，且当作是准确的。

求解这些,3,2,1,iyi的过程一般是步进式的，步进过程如下图所示：

1210iiyyyyy 在公式推导之前，有必要把高数中函数)(xyy的Taylor级数展开来复述一下，这是本章所有公式推导的基础。

函数)(xyy在0xx点作Taylor级数展开：

nnxxxynxxxyxxxyxyxy))((!1))((!21))(()()(00)(200000

这里0x,x都可以是任意一点。

例如，若取0x为ix, x为1ix，记iixxh1，代入Taylor级数展开式可得：

常微分方程

(习题课)

题组一、一阶微分方程

(1)(24)(25)0xydxxydy1.求下列方程的通解.

解:

设(,)24,Pxyxy(,)25,Qxyxy则2,P

xy



所以原方程为全微分方程.

(24)(25)0xydxxydy

(4)2()(5)0xdxxdyydxydy

22

(4)(5)

2

22xy

xyC

方程通解为:

1 (2).22

(2)0ydxyxyxdy

解:22

(2)0ydxyxyxdy

221

1dxy

x

dyy

(一阶线性微分方程)

221

(),()1y

PyQy

y

()()

[()]PydyPydy

xeQyedyC



222121

[]dydyyy

yy

eedyC



1

2

(1)y

yCe

1

2

(1)y

xyCe

1 (3).

32

(2)60xxyyy



解:32

(2)60xxyyy

4

211

63dx

xx

dyyy

( n = 4 的贝努利方程)1

43zxx

令

211

2dzzdyyy

z11

22

21

()[]dydy

yy

yeedyC

2Cy

y

32C

x

y

y



1(4).tanlncosx

yyyxe



解:tanlncosx

yyyxe

lncos

lncosxdy

yxe

dx

lncoszy令

xdz

zxe

dx

(一阶线性微分方程)

()()

[()]PxdxPxdx

zeQxedxC



[]dxdx

x

exeedxC

22

[]

24xx

xeeexC



22

[]

24lncosxx

xee

exCy



1(5).

(1)xdyyxydx

解:

方法1.(1)xdyyxydx2

()dxyxydx

取积分因子21()xy

2

)()1

(

xydxy

dx

x1

lnxC

xy

方法2.

(1)xdyyxydx21dy

yy

dxx

(n=2 的贝努利方程)121zyy

《常微分方程》课程大纲

1 / 1 《常微分方程》课程大纲

一、 课程简介

课程名称： 常微分方程 学时/学分：3/54

先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何， 或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间Fn，欧氏空间Rn，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。

面向对象：本科二年级或以上学生

教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。

二、教学内容和要求

常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)

第一章 基本概念 （2，0）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方《常微分方程》课程大纲

1 / 1 向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。

（二）教学内容：

1． 由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。

2． 基本概念 （常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。

3． 一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。

4．常微分方程所讨论的基本问题。

第二章 初等积分法（4，2）

（一）本章教学目的与要求：

要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。

本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。