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线性代数练习册附答案

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第1章 矩阵

习 题

1. 写出下列从变量x, y到变量x1, y1的线性变换的系数矩阵：

(1)011yxx； (2)

cossinsincos11yxyyxx

2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.

3. 设111111111Α，150421321B，求3AB-2A和ATB.

4. 计算

(1) 2210013112 4 。b1

a1。

3 1 。b2

a2。 2

2 。b3 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

(2)

1)1,,(212221211211yxcbbbaabaayx

5. 已知两个线性变换

32133212311542322yyyxyyyxyyx,323312211323zzyzzyzzy,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,zzz到321,,xxx的线性变换.

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6. 设f (x)=a0xm+ a1xm-1+…+ am，A是n阶方阵，定义f (A)=a0Am+ a1Am-1+…+ amE.

当f (x)=x2-5x+3，3312A时，求f (A).

7. 举出反例说明下列命题是错误的.

(1) 若A2= O，则A= O.

(2) 若A2= A，则A= O或A= E.

.

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7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．

8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：

(1)132126421321A

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(2)03341431210110122413B.

9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.

121121322101A~122rr121123302101~13cc131123302001=B.

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10. 设ΛAPP1，其中1141P，2001Λ，求A9.

11. 设200030004A ，矩阵B满足AB=A+2B，求B.

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12. 设102212533A, 利用初等行变换求A-1. 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

复习题一

1. 设A, B, C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（ ）.

(A) ACB=E； (B) CBA=E； (C) BAC=E； (D) BCA=E.

2. 设333231232221131211aaaaaaaaaA,133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB,

1000010101P,1010100012P，则必有 ( ) .

(A) AP1P2=B； （B）AP2P1=B； (C) P1P2A=B； (D) P2P1A=B.

3. 设A为4阶可逆矩阵，将A的第１列与第４列交换得B，再把B的第2列与第3列交换得C，设

00010100001010001P，10000010010000012P，则C-1=（ ）.

(A) A-1P1P2； (B) P1A-1P2； (C) P2P1A-1； (D) P2A-1P1.

4. 设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（ ）.

(A) A-E不可逆 ； (B) A-2E不可逆 ； (C) A-3E可逆； (D) A-E和A-2E都可逆.

5. 设A=(1,2,3)，B=(1,1/2,1/3)，令C=ATB，求Cn.

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6. 证明：如果Ak=O，则(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1，k为正整数.

7.设A,B为三阶矩阵,710004100031A,且A-1BA=6A+BA，求B.

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8. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求1OOBA.

9. 设0000000000000000121nnaaaaX （021naaa），求X -1. 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

第2章 行列式

习 题

1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组

013222321321321xxxxxxxxx

2.当x取何值时，0010413xxx.

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3.求下列排列的逆序数：

(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).

4. 证明： 3232acbabaacbabaacba.

5. 已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.

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6. 计算下列行列式:

(1)

1111111111111111

(2)

yxyxxyxyyxyx

(3)

0111101111011110

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(4) 1222123312111xxxxxx

（5）nnaaaD11111111121，其中021naaa．

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(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

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第四章 线性方程组

§4-1 克拉默法则

一、选择题

1．下列说法正确的是（ C ）

A.n元齐次线性方程组必有n组解；

B.n元齐次线性方程组必有1n组解；

C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；

D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.

2．下列说法错误的是（ B ）

A。当0D时，非齐次线性方程组只有唯一解;

B。当0D时，非齐次线性方程组有无穷多解;

C。若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D;

D.若非齐次线性方程组有无解，则0D.

二、填空题

1．已知齐次线性方程组1231231230020xxxxxxxxx有非零解,

则 1 ， 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D，

则方程组有唯一解ix iDD .

三、用克拉默法则求解下列方程组

1．832623xyxy

解：

832062D

123532D,2821263D

所以，125,62DDxyDD

2．123123123222310xxxxxxxxx (完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

解：2131121121221303550111010rrDrr

11222100511321135011011Drr,

212121505213221310101101Drr，

31212250021122115110110Drr

所以, 3121231,2,1DDDxxxDDD

3．21241832xzxyzxyz

线性代数练习8(答案)

线性代数练习8(答案)

习题8 向量组的等价，线性相关与线性无关(答案)

一、单项选择题

1.

321,,

，

21,

都是四维列向量，且四阶行列式m

1321,

n

2321

,

则行列式

12312()b



nma)( nmb)( nmc)( nmd)(

2. 设

A为n阶方阵，且0A

,则（ d ）。

成比例中两行（列）对应元素Aa)(

线性组合中任意一行为其它行的A)b(

零中至少有一行元素全为Ac)(

(d)A中必有一列为其它列的线性组合

3. n

维向量组

s

,,,

21线性无关的充分条件是( b )

)(a

s

,,,

21都不是零向量

)(b

s

,,,

21中任一向量均不能由其它向量线性表示

)(c

s

,,,

21中任意两个向量都不成比例

)(d

s

,,,

21中有一个部分组线性无关

4. n

维向量组)2(,,,

21s

s

线性相关的充要条件是( d )

)(a

s

,,,

21中至少有一个零向量

sb

,,,)(

21中至少有两个向量成比例

sc

,,,)(

21中任意两个向量不成比例

sd

,,,)(

21中至少有一向量可由其它向量线性表示

5. 已知向量组

4321,,,

线性无关，则向量组（ c ）

14433221,,,)(

a线性无关 14433221,,,)(

b线性无关

14433221,,,)(

c线性无关

14433221,,,)(

d线性无关

6. 若向量

可被向量组

s

,,,

21线性表示，则（ c ）

)(a存在一组不全为零的数

skkk,,,

21使得

sskkk



2211

)(b存在一组全为零的数

skkk,,,

21使得

sskkk



2211

)(c存在一组数

《线性代数》课后习题答案

《线性代数》课后习题答案

第一章 行列式

习题1.1

1. 证明：（1）首先证明)3(Q是数域。

因为)3(QQ，所以)3(Q中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Qbaba，我们有

3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211baabbbaabababbaabababbaababa。

因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211QbaabbbaababaQbbaababaQbbaababa。

如果0322ba，则必有22,ba不同时为零，从而0322ba。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以

)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Qbabaabbabbaababababababa。

综上所述，我们有)3(Q是数域。

（2）类似可证明)(pQ是数域，这儿p是一个素数。

（3）下面证明：若qp,为互异素数，则)()(qQpQ。

（反证法）如果)()(qQpQ，则qbapQba,，从而有

qabqbapp2)()(222。

由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有02qab。

所以有0a或0b。

如果0a，则2qbp，这与qp,是互异素数矛盾。 如果0b，则有ap，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(qQpQ。

同样可得)()(pQqQ。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和之间存在无穷多个不同的数域。

线性代数练习册第五章部分答案(本)

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第五章 相似矩阵与二次型

§5-1 方阵的特征值与特征向量

一、填空题

1.已知四阶方阵A的特征值为0，1，1，2，则||AE＝2(1)(2)

2.设0是矩阵a01020101A的特征值，则a 1

3.已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则232BAA的特征值为 1,5,8 ；

||A ＝ -2 ；A的对角元之和为 2 .

4.若0是方阵A的特征值，则A 不可逆

5. A是n阶方阵，||Ad，则*AA的特征值是 ,,,ddd（共n个）

二、选择题

1.设1，2为n阶矩阵A的特征值，1，2分别是A的属于特征值1，2的特征向量，则（ D ）

（A）当12时，1，2必成比例 （B）当12时，1，2必不成比例

（C）当12时，1，2必成比例 （D）当12时，1，2必不成比例

2.设a=2是可逆矩阵A的一个特征值，则1A有一个特征值等于 （ C ）

A、2； B、-2; C、12; D、-12;

3.零为方阵A的特征值是A不可逆的（ B ）

A、充分条件； B、充要条件; C、必要条件; D、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量

1.1221A

解：A的特征多项式为12(3)(1)21AE

故A的特征值为123,1.

当13时，解方程30AEx.由221132200rAE:

得基础解系111P，故1(0)kPk是对应于13的全部特征向量.

当21时，解方程0AEx.由22112200rAE: