《线性代数》练习题(附答案)

1 《线性代数与解析几何》练习题

行列式部分

一．填空题：

1．若排列1274i56k9是偶排列，则 3 , 8 ki

2．已知kjiaaaaa5413251是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（)ji则 3 , 4 , 2 kji

3．设BA,是n阶可逆阵，且5A，则 52 2, 5 )(63nTAAA， 5 1kkBAB（k为常数）

4．已知

410132213D

用ijA表示D的元素ija的代数余子式，则 37 32232221DAAA， 0 32333231AAA，行列式

37 22333231232221131211DAAAAAAAAA

5．设有四阶矩阵),(,),(4,3,24,3,2BA ，其中4,3,2,,均为4维列向量，且已知行列式1,4BA，则行列式 40|)||(|8 BABA

6．设

xxxxxf321132213321)(

则 160 )4(f

7．设 2 0112520842111111154115212111111541132111111323232xxxxxxxxx

上述方程的解 3 , 2 , 1 x

8．设A是n阶方阵，且A的行列式0aA，而*A是A的伴随矩阵，则 *1naA

9．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx 只有零解，则应满足 1 条件。

二．计算题：

1．已知5阶行列式

270513422111542131122254321

求434241AAA和4544AA，其中ijA是元素ija的代数余子式。

解：0)(227)(245444342414544434241AAAAAAAAAA

1894544434241AAAAA

2．计算行列式9173130211221111D。

解：14140019001520111112440152031401111D2809140000190015201111

3．设A是n阶方阵，IAAT，且0A，求IA。 3 解：TTTIAAAIAAAAIA)()(IAA

00IAA

4．设A是n阶实对称矩阵，022AA，若)0()(nkkAr，求IA3。

解：AA，是实对称矩阵相似于对角阵，

20022和的特征值为由AAA．而r(A) = k , 所以重的特征值是k2。

对于矩阵 A+3I , 有一个1重的特征值k，以及一个3重的特征值kn，

knIA33

5．计算),,2,1,(321321321321niaxxaaaaxaaaaxaaaaxDiinnnn

解：nnnaxxaaxxaaxxaaaaxD0000001133112211321

nnnnkkkkaxaxaxaaaaxaxax000000000)(3322322111

nkkknkkkkaxaxaxax22111)()(

矩阵部分

一．填空题： 4 1．设三阶方阵A，B满足BAABAA61，且714131000000A，则

100020003)(6 11IAB。

2．设nnnnnnbababababababababaA212221212111，其中),,3,2,1(0,0nibaii，则矩阵A的秩= 1 .

3．设A是34的矩阵，且A的秩为2，而301020201B，则 2 )(ABr（2)()(,010ArABrBB可逆，）

4．已知a=[1 , 2 , 3 ] , b=[3121,,1 ] , 设A=baT，则

131213

233231211nnA

（babbabaaAbaTnTTTnT13)()(3，）

5．设矩阵

100010001,300041003IA

则逆矩阵

1000001 )2(21211IA

6．设11334221tA，B为三阶非零矩阵，且AB=O ，则 3 t

)302)(1)(;3)()(0(tAArBrBrArAB又

7．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为 0 。 5 8．设A，B 均为n阶矩阵，3,2BA，则 32 2121*nBA

9．设A是三阶方阵，*A是A的伴随矩阵，21A，则 16 10)31(*1AA（161)2(|53|311AAA）。

10．设A ，C分别为r阶和s阶的可逆矩阵，则分块矩阵BCAX0的逆矩阵 0 11111ACBACX

11．设n阶方阵A满足方程0232IAA，则A的逆矩阵)3(211IAA（IIAA2)3(）

12．设101020101A ，而2n为正整数，则 0 21nnAA

)22(12nnAAAA

13．设A ，B是n阶矩阵，且AB=A+B ，则 )(1IBIA

（IIAIBIIBIBAIIBAAB))(()()(）

二．选择题：

1．设n阶矩阵A ，B ，C满足关系式 ABC=E ，其中E 是n阶单位矩阵，则必有（ D ）

（A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E

2．设A是n阶方阵)3(n，*A是A的伴随矩阵，又k为常数，且1,0k，则必有*)(kA=（ B ）

*1**1*)()()()(AkDAkCAkBkAAnn

3．设A是n阶可逆矩阵，*A是A的伴随矩阵，则有（ A ）

1***1*)()()()(AADAACAABAAAnn4．设 6 101010001,100001010,,21133312321131131211232221333231232221131211PPaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA

则必有（ C ）

BPAPA21)( BAPPDBAPPCBPAPB122112)()()(

5．设A ，B均为n阶方阵，则必有（ D ）

（A）BABA （B）BAAB

（C）111)(BABA （D）BAAB

6.设n维向量)21,0,,0,21(,矩阵TTIBIA2,,其中I为n阶单位矩阵,则AB( C )

(A) 0 (B) –I (C) I (D)TI

7.设A是n阶可逆矩阵)2(n，*A是A的伴随矩阵,则( C )

(A)AAAn1*)*( (B)AAAn1*)*(

(C)AAAn2*)*( (D)AAAn2*)*(

8.设)3(nn阶矩阵1111aaaaaaaaaaaaA ,若矩阵A的秩为1n,则a必为( B )

(A) 1 (B)n11 (C) –1 (D)11n

9.设11,,,BABABA均为n阶可逆矩阵,则111)(BA等于( C )

(A)11BA (B)BA (C)ABAB1)( (D)1)(BA

三．计算题：

1．已知100110011A，求nA （n是自然数） 7 解：由归纳法，100102)1(1nnnnAn

2．已知AP=PB ，其中

100000001B ，

112012001P

求：A及5A 。

解：1140120011P

1160020011PBPA

APBPPPBPBPA115515)(

3．已知n阶方阵

1000110011102222A

求A中所有元素的代数余子式之和。

解：可逆AA2

100010000110001211A

1)1()1(212 21,1*nnAAAnjiij

3．已知矩阵BA,满足：BAAB2，其中321011324A，求矩阵B。 8 解：AIABABAB1)2(2

9122692683B

5．设矩阵BA,，满足,82*IBABAA 其中

100420221A

*A是A的伴随矩阵，求矩阵B 。

解：

200840642)(4)(44)(4)82(1111111*AIIAABIBAIABAIBAAIBAABAAA

6．已知100110111A，且IABA2，其中I为三阶单位矩阵，求矩阵B。

解：0000001201001102111001101111AAB

7．设n阶方阵aaaaA111111111111，求)(Ar。