线性代数练习册第四章习题及答案

线性代数练习册第四章习题及答案

线性代数练习册第四章习题及答案

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线性代数练习册第四章习题及答案

第四章 线性方程组

§4—1 克拉默法则

一、选择题

1．下列说法正确的是（ C ）

A。元齐次线性方程组必有组解；

B。元齐次线性方程组必有组解;

C.元齐次线性方程组至少有一组解，即零解;

D。元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.

2．下列说法错误的是（ B ）

A.当时，非齐次线性方程组只有唯一解；

B。当时,非齐次线性方程组有无穷多解;

C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则；

D.若非齐次线性方程组有无解，则.

二、填空题

1．已知齐次线性方程组有非零解，

则 1 , 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式,

则方程组有唯一解 .

三、用克拉默法则求解下列方程组

1．

解：

，

所以，

2．

解： nnn1nnn0D0D0D0D1231231230020xxxxxxxxx0DixDD832623xyxy832062D123532D2821263D125,62DDxyDD123123123222310xxxxxxxxx2131121121221303550111010rrDrr线性代数练习册第四章习题及答案

，

，

所以，

3．

解:

,

，

所以，

4．

解: 11222100511321135011011Drr212121505213221310101101Drr31212250021122115110110Drr3121231,2,1DDDxxxDDD21241832xzxyzxyz132010012412041200183583Dcc13110110014114020283285Dcc2322112102112100123125Dcc313201001241204120182582Dcc3121,0,1DDDxyzDDD12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx线性代数练习册第四章习题及答案

所以，

§4—2 齐次线性方程组

一、选择题

1．已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组

的两个不同的解， 为任意常数，则方程组的通解为（ D ）。

A。； B.； 2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514rrDrrrrrrrr3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522ccDcccccc212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518rrDrrrrrrrr12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127ccDcccccc12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604ccDccrrrr312412341,2,3,1DDDDxxxxDDDDmnA1n12,0AXk0AX1k2k线性代数练习册第四章习题及答案

C。； D.。

解：因为矩阵的秩为，所以方程组的基础解系

含1个向量.而是齐次线性方程组的两个不同的解，

所以为的解，则方程组的通解为。

2．设线性方程组 有非零解，则正确的是( C ）

A.必定为0； B。 必定为1；

C. 为0或1； D.这样的值不存在。

3．，且，，

则的基础解系中含有（ A ）个向量.

A.； B。； C.； D。不确定.

解：因为

所以,，所以，。

4．设为阶方阵， ，且是的三个

线性无关的解向量,则的基础解系为（ A ）．

A．； B．；

C．； D．．

二、填空题

1．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 。

2．当 时，齐次线性方程组有非零解.

3．写出一个基础解系由，组成的 12()k12()kmnA1n0AX12,0AX1200AX0AX12()k1231231230020kxxxxkxxxxxkkkk111212122212nnnnnnababababababAabababLLMMOML0ia(1,2,,)inL0(1,2,,)jjnbL0Ax1nn11112112122221212nnnnnnnnabababaabababaAbbbabababaLLLMMOMML11()10()1RAabRA；又()1RAAn()3rAn123,,aaa0Ax0Ax122331,,aaaaaa213213,,aaaaaa21321312,,2aaaaaa1233213,,2aaaaaaan0mnAX()RAn023或或123123123(1)2402(3)0(1)0xxxxxxxxx12,1,0T23,0,1T线性代数练习册第四章习题及答案

齐次线性方程组___ __ 。

解：方程组可为

即

三、求解齐次线性方程组

解：

所以,同解方程组为,

则为一组基础解系，

所以，通解为。

123230xxx123223323xxxxxxx123230xxx1234512345134512345233703230226054330xxxxxxxxxxxxxxxxxxx²²²213141323223421231233712337332113048824A1022602111554331061212361233710004/3(1/3)(1/4)0122601004/3220033110011623000000rrrrrrrrrrrrrrrrr11/30000152534544554/34/311/3xxxxxxxxxxx1204/304/3,111/310011122xkk线性代数练习册第四章习题及答案

四、已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解。

①求的值；②证明。

① 解：

因为3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解,所以方程组有非零解。

系数行列式。

② 证明：依题意，。假设，则B可逆，

,矛盾.所以,。

补充：求证：,.

证明：依题意,矩阵B的所有列向量都是齐次线性方程组

的解,而解空间的维数是,

所以，，即。 B1231231232202030xxxxxxxxx0BBA1222103111ABO0B11ABOABBOBAO0B,mnnpAB0()()ABRARBn1,,p0Ax0Ax()nRA1()(,,)()pRBRnRA()()RARBn线性代数练习册第四章习题及答案

§4-3 非齐次线性方程组

一、选择题

1．若，则元线性方程组 D .

A.有无穷多个解; B。有唯一解； C。无解; D.不一定有解。

2．线性方程组 （ A ）.

A. 无解； B。 只有0解； C. 有唯一解； D。 有无穷多解。

3．方程組 有唯一解，则应满足（ A ).

A。； B。；

C.; D。。

4．设A＝，，有解的充分必要条件为（ D )．

A。; B.；

C.； D。 。

二、填空题

1．元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 。

2．若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则3 。

3．设有一个四元非齐次线性方程组,,又是它的三个

解向量，其中，，则非齐次线性方程组的

通解为 。

解：因为是三个解向量,则

是的解， ()RArnnmnAXb012121xxxx12312321231xxxxxxxxx2,12,12,12,111000110001110011234aabaaAxb1234aaaa12341aaaa12340aaaa12340aaaanmnAXb()(,)RARAbAXbrAAXb()3RA123,,12(1,1,0,2)T23(1,0,1,3)T(0,1,1,1)(1,1,0,2)TTk123,,AXb1223()()(1,1,0,2)(1,0,1,3)(0,1,1,1)0TTT0AX