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第三章 离散小波变换

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第三章 离散小波变换

3.1 尺度与位移的离散化方法

减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数atata1)(,的,a限定在一些离散点上取值。

1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取mmaa0（m为整数，10a，一般取20a）。如果采用对数坐标，则尺度a的离散取值如图3.1所示。

图3.1 尺度与位移离散方法

2. 位移的离散化：当120a时，tta)(,。

（1）通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。

（2）要求采样间隔满足Nyquist采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。

3. )(,ta=？

当m增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0m时的间隔为sT，则在尺度为m2时，间隔可取smT2。此时)(,ta可表示为

);(2212221,tTntTntnmsmmmsmm记作 Znm,

为简化起见，往往把t轴用sT归一化，这样上式就变为 nttmmnm22)(2, （3.1）

4. 任意函数)(tf的离散小波变换为

RnmfdtttfnmWT)()(),(, （3.2）

DWT与CWT不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：

（1）离散小波变换)(),(),(,ttfnmWTnmf是否完全表征函数)(tf的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(tf。

（2）是否任意函数)(tf都可以表示为以)(,tnm为基本单元的加权和ZnmnmnmtCtf,,,)()(？如果可以，系数nmC,如何求？

上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择，并对,a进行适当的离散（即适当的选择sTa,0），那么一定存在与小波序列nm,对应的nm,~序列，使得问题（1）的重建简单地表示为

Znmnmnmftf,,,~,)( （3.3）

nm,~称为nm,的对偶，它可以由一个基本小波)(~t通过位移和伸缩取得：

nttmmnm2~2)(~2,

由上式，若存在)()(2RLtg，则有

nmnmnmgfgffg,,,,~,,,

=nmnmnmgf,,,),~,(

=nmnmnmfg,,,,~,

=nmnmnmfg,,,,~,

也即

nmnmnmgg,,,~,

故问题（2）也成立，其中nmnmgC,,~, 由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1），该问题的数学语言描述如下：

若小波系数nmf,,表征)(tf的全部信息，则应有

当21ff时，

;,,,2,1nmnmff Znm,

或当0f时，

nmf,,=0； Znm,

当1f和2f很接近时，Znmnmf,,1, 和Znmnmf,,2,也必然很接近。用范数的概念来描述，即当21ff为一个很小的数时，2,,2,1,,nmnmnmff也必然为一个很小的数，用数学公式来描述：

2212,,2,1,,ffBffnmnmnm ， RB

也即

22,,,fBfnmnm （3.4a）

若要小波系数nmf,,稳定的重建f，则必须有：

当序列Znmnmf,,1, 和Znmnmf,,2,很接近时，函数1f和2f也很接近，即

,,2,,2nmnmffA RA （3.4b）

把（3.4a）和（3.4b）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有)()(2RLtf必须满足下述条件：

;,22,,2fBffAnmnm RBA, （3.4c）

满足式（3.4c）的离散函数序列Znmnm,;,在数学上称为“框架”。

3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换

3.2.1 小波框架

（1）小波框架的定义

当由基本小波)(t经伸缩和位移引出的函数族 sjjkjkTtaat020,)(； Zkj, （3.5）

具有下述性质时：

;,22,2fBffAjkkj BA0 （3.6）

便称Zkjkjt,,)(构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为

Zjj,)2(2 0 （3.7）

（2）小波框架的性质

1）满足小波框架条件的)(,tkj，其基本小波)(t必定满足容许性条件。

但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔sT及尺度基数0a下都满足小波框架的条件。

2）小波函数的对偶函数kttjjkj2~2)(~2,也构成一个框架，其框架的上、下界是)(,tkj框架上、下界的倒数：

22,21~,1fBffAjkkj （3.8）

3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。

4）离散小波变换仍然具有冗余度。

3.2.2 离散小波变换的逆变换与重建核问题

1. 离散小波变换的逆变换

如离散小波序列Zkjkjt,,)(，构成一个框架，其上、下界分别为A和B，则当BA时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为

)(),(1)(~)(,)(,,,,1tkjWTAttfAtfkjkjfkjjkj （3.9）

当BA，而A，B比较接近时，作为一阶逼近，可取

)(2)(~,,tBAtkjkj （3.10）

则重建公式近似为

)(),(2)(~)(,)(,,,,tkjWTBAttftfkjkjfkjjkj （3.11）

逼近误差的范数为

fBABAfRRf 由上式可见，A与B愈接近，逼近误差就愈小。

为了保证kj,能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在,a轴上的采样间隔提出更高要求：0a不一定等于2，sT也不一定等于1，以便于使A和B接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔愈小。离散栅格愈接近于覆盖整个a半平面，AB/就愈接近于1.

关于BA、与、0a，以及）（间的关系的部分结论如下：

如Znmnm,,是一个框架，则框架的上界A、下界B满足下面的不等式：

BdaA20)(log （3.12）

特别对紧框架有：

daA20)(log （3.13）

举例：将Marr小波离散化为小波框架。

Marr小波是常用的一种连续小波形式。若将Marr小波的尺度及位移分别离散化为

ktaatjjkj020,)(

则可证明，)(,tkj构成了一个)(2RL空间的小波框架，其框架的上界A、下界B同、0a之间的关系如表3.1表示。

表3.1 Marr小波框架上、下界同0a和之间的关系

0a  A B AB

2 0.25 13.091 14.183 1.083

2 0.50 6.546 7.092 1.083

2 0.75 4.364 4.728 1.083

2 1.00 3.223 3.596 1.161

2 1.25 2.001 3.454 1.726

2 1.50 0.325 4.221 12.984

2 0.25 27.273 27.278 1.0002

2 0.50 13.673 13.639 1.0002

2 1.00 6.768 6.870 1.015 2 1.50 2.609 6.483 2.485

312 0.50

20.457 20.457

1.0000

312 1.00 10.178 10.279

1.010

312 1.50 4.629 9.009 1.947

412 0.50 27.276 27.276 1.0000

412 1.00 13.586 13.690 1.007

412 1.50 6.594 11.590

1.758

由表3.1可知：

1） 当20a时，取;75.020a时，取;1302a时，取1或402a时，取;1均可使BA，可近似为紧框架。此时采用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。

2） 0a一定时，AB/的值随增大而增大。

3） 给定一个0a值，只要足够小，总可以得到一个近似紧的小波框架。

4） 20a，1时，BA，不是紧框架。

2. 重建核公式

（1）正交性：只有当1BA时，框架)(,tkj变为正交基，此时经框架变换后的信息无任何冗余。但在其他情况下，框架)(,tkj并不正交，具有一定的相关性。因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。

（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性：

将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下：

)(),(1)(,,tkjWTAtfkjkjf （3.14）

其中

RkjfdtttfkjWT)()(),(, （3.15a）

则 RkjfdtttfkjWT)()(),(00,00 （3.15b）

将式（3.14）代入式（3.15b）得

RkjjkjkffdtttkjWTAkjWT)(])(),([1),(00,,00

jkfkjjRkjkfkjWTkjkjKAdtttkjWTA)],(),;,([1])()(),([100,,00 （3.16）

其中

)(),()()(),;,(0000,,,,00ttdtttkjkjKkjkjkjRkj （3.17）

分析说明：

(1) 与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点),(00kj处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程，称K为重建核，由小波框架本身决定。

(2) 并不是相平面上的任意离散函数),(kjF都可看作是某一函数的离散小波变换，只有它们之间满足（3.16）时才可以被看作为某一函数的离散小波变换序列。

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实验1 二维离散小波变换

实验1 二维离散小波变换

实验1 二维离散小波变换(Mallat快速算法)

姓名：沈翀学号：SA12006040

实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat算法

实验原理：

1、Mallat快速算法

本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat算法，算法原理如下

分解算法：

1(2)jjknnchnkc（1）

1(2)jjknndgnkc（2）

Mallat分解算法的滤波器表示形式如下图

重构算法：

1(2)(2)jjjnkknnchnkcgnkd（3）

Mallat重构算法的滤波器表示形式如下图

实验编程思路：

程序采用的编程思想如下

11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12jjjjjjcchhhhhhcchhhhncnhhhhhhc

以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，[0][1]2jjncc是j分解的低频部分。同理，对于j分解的高频部分有如下矩阵形式：

11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12jjjjjddggggggddggggndnggggggd

实验结果及分析：

1、 多尺度分解与重构图像

二维小波变换采用小波采用db3，并对三级分解图像进行阈值化，阈值为10，系数中0所占的百分比为81.5918%。其峰值信噪比PNSR=230.1831db

2、延拓重建图像

对称延拓

周期延拓

离散小波变换原理

离散小波变换原理

离散小波变换原理

离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种基于小波函数的信号分析方法。与傅里叶变换等连续信号变换方法不同，离散小波变换是针对离散信号进行处理的。

离散小波变换的主要原理是将信号分解成不同尺度和频率的小波系数，通过分析小波系数的能量和频谱分布，可以对信号的特征进行提取和分析。离散小波变换可以将信号的时域和频域信息同时考虑，具有较好的时频局部化特性，可用于对信号进行降噪、特征提取和压缩等处理。

离散小波变换的步骤主要包括分解和重构两个过程。在分解过程中，首先将信号通过滤波器组进行低通滤波和高通滤波，分别得到近似系数和细节系数。然后，对近似系数进行二次抽取，继续进行低通滤波和高通滤波，得到更精细的近似系数和细节系数。如此循环重复，直到达到设定的尺度或结束条件。在重构过程中，将各个尺度上的近似系数和细节系数进行逆滤波与合成，得到原始信号的近似重构。

离散小波变换的优点在于：一方面，相比于傅里叶变换等传统方法，离散小波变换能够更好地捕捉信号的非平稳和局部特征，适用于对包含非平稳特性的信号进行处理；另一方面，离散小波变换能够提供多分辨率分析，即对信号的不同频率成分进行分解和表示，能够更好地揭示信号的时频特征。

离散小波变换的应用非常广泛。例如，离散小波变换可用于信号的去噪处理。由于小波变换具有良好的时频局部化特性，可以将信号在时频域进行分解，对不同尺度和频率下的小波系数进行分析和修复，从而实现信号的去噪效果。此外，离散小波变换还可应用于图像处理、语音信号处理、生物医学信号处理等领域。

在实际应用中，离散小波变换通常通过快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）方法来实现计算的高效性。FWT采用迭代的方式将小波滤波和下采样操作合并，从而减小了计算量，提高了计算效率。

总之，离散小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，具有较好的时频局部化特性和多分辨率特性，广泛应用于信号和图像处理等领域。离散小波变换通过将信号分解成不同尺度和频率的小波系数，可以对信号的特征进行提取和分析。

离散小波变换原理 2

离散小波变换原理 2

离散小波变换原理

离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。

1. 离散小波变换的基本原理

离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。

离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。

具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。

然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：

Aj-1 = x[n]*h[n]

Dj-1 = x[n]*g[n]

其中，“*”表示卷积运算。然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：

Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]

同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：

Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]

这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。

最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：

离散傅里叶变换与离散小波变换在信号分析中的比较

离散傅里叶变换与离散小波变换在信号分析中的比较

广东技术师范学院学报（自然科学）　

兰　！兰生笙！塑　型　璺　曼（１　ｎｇ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔ）ｒ　Ｎｏ．７，２０１４　

离散傅里叶变换与离散小波变换在　

信号分析中的比较　

覃丹婵　

（广东技术师范学院计算机科学学院，广东广州５１０６６５）　

摘　要：主要研究了快速傅里叶变换和离散小波变换在两种不同信号中应用，对处理的结果进行　

了比较分析．说明在突变信号处理中，更适宜使用小波处理，而对于相对平稳的信号，应用傅里叶变换　处理则更为有效．　关键词：傅里叶变换；离散小波变换；信号压缩；信号去噪　中图分类号：ＴＰ　３９１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—４０２Ｘ（２０１４）０７—００１２—０４　

信号分析中要解决的两个常见的问题是滤　

除噪声和数据压缩．在数字信号处理领域，离散　

傅里叶变换起着极其重要的作用，尤其是在它　

的高效算法一快速傅里叶变换Ｉ　出现以后，　

在信号分析和处理中得到了广泛的应用．在通　

信、交通、航天等方面，傅里叶变换都做出了巨　

大的贡献．傅里叶变换使用的是一种全局的变　

换。要么完全在时域。要么完全在频域。因此无　

法表述信号的时频局域性质，在实际的信号处　

理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号　

在任一时刻附近的频域特征都很重要．为了克　

服上述缺点，我们引进了离散小波变换．本文研　

究了非平稳信号和平稳信号在离散的情形下　

采用傅里叶变换和小波变换做信号处理的效　

果比较．　

１快速傅里叶变换与离散小波变换　

１．１快速傅里叶变换　

离散傅立叶变换从理论上解决了傅立叶变　

换应用于实际的可能性，是数字信号处理中一　

种非常有效的变换方法，它可通过相应的快速　

算法，即快速傅里叶变换（Ｆｒｒ）来实现．　

对于有限长序列．　

（ｎ），ｎ＝Ｏ，…，Ｊ７ｖ一１　

其ＤＦＴ为　（　）：∑　Ｎ－Ｉ　ｎ　‘等　，ｋ＝Ｏ，…，Ⅳ一ｌ　（２）　

反变换（ＩＤＦＴ）为　

（乃）：　ｌ　Ｎ－１础】ｅ　‘　，ｎ＝０，…，Ｊ７、，一１（３）