实验1 二维离散小波变换(Mallat快速算法)
姓名：沈翀学号：SA12006040
实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat算法
实验原理：
1、Mallat快速算法
本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat算法，算法原理如下
分解算法：
1(2)jjknnchnkc（1）
1(2)jjknndgnkc（2）
Mallat分解算法的滤波器表示形式如下图
重构算法：
1(2)(2)jjjnkknnchnkcgnkd（3）
Mallat重构算法的滤波器表示形式如下图
实验编程思路：
程序采用的编程思想如下
11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12jjjjjjcchhhhhhcchhhhncnhhhhhhc
以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，[0][1]2jjncc是j分解的低频部分。同理，对于j分解的高频部分有如下矩阵形式：
11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12jjjjjddggggggddggggndnggggggd
实验结果及分析：
1、 多尺度分解与重构图像
二维小波变换采用小波采用db3，并对三级分解图像进行阈值化，阈值为10，系数中0所占的百分比为81.5918%。其峰值信噪比PNSR=230.1831db
2、延拓重建图像
对称延拓
周期延拓
第２４卷第１期 ２ＯＯ６年Ｏ１月 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２４ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０ｏ６
文章编号：１００８一￣（２ｏｏ６）ｏｌ一０Ｏ８４—０２
基于离散小波变换和离散余弦变换的盲水印算法
孙洪全
（黑龙江大学数学科学学院。黑龙江哈尔滨１５（３０８０）
摘要： 数字水印技术是数字作品版权保护的重要手段，本文提出了一种基于离散小波变换和离
散余弦变换的数字图像盲水印算法：首先对原始图像进行小波分解，然后对得到的两块中频系数按８８分
块做余弦变换并在得到的交流系数中嵌入水印．实验结果表明，该方法能够较好竹抵抗一些常见的图像处 理方法，具有较强的鲁棒性，同时也具有较好的不可见性．
关键词： 小波变换；余弦变换；数字水印
中图分类号： ９１ 文献标识码：Ａ
０ 引 言 也比明文水印更方便、安全 ・
多媒体存储与传输技术的进步，尤其是因特网 技术的盛行，带来了数字媒体应用的迅速增长，这
同时使与数字网络和多媒体信息相关的版权盗用 问题显著增长．盗用者通过各种手段获取网络中的 传输资料，修改资料内容，生产和再传输复制品等，
这些都可能给被盗用者带来巨大的经济损失，并对 安全权限造成强烈的冲击． 数字水印技术将与多媒体内容相关或不相关
的一些标示信息嵌入在多媒体内容中，但不影响原 内容的商业价值，并且不易被人类视觉系统所觉
察．通过隐藏在多媒体内容中的信息，可以达到确
认数字产品内容创建者、购买者或鉴定内容是否真
实完整的目的．
一般来讲，数字水印技术可分为空域方法和频
域方法．空域方法的主要缺点是鲁棒性比较差，水印
容易丢失，因此，目前的研究重点都集中于频域方
法．这种方法是利用一个较强信号可以掩盖较弱信
号这一频率掩盖特性在频率域中嵌入水印，所以它
的鲁棒性比较好．目前比较常用的频域数字水印算 法主要采用离散小波变换…和离散余弦变换【２】．
广东技术师范学院学报（自然科学）
兰 ！兰生笙！塑 型 璺 曼（１ ｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔ）ｒ Ｎｏ．７，２０１４
离散傅里叶变换与离散小波变换在
信号分析中的比较
覃丹婵
（广东技术师范学院计算机科学学院，广东广州５１０６６５）
摘 要：主要研究了快速傅里叶变换和离散小波变换在两种不同信号中应用，对处理的结果进行
了比较分析．说明在突变信号处理中，更适宜使用小波处理，而对于相对平稳的信号，应用傅里叶变换 处理则更为有效． 关键词：傅里叶变换；离散小波变换；信号压缩；信号去噪 中图分类号：ＴＰ ３９１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—４０２Ｘ（２０１４）０７—００１２—０４
信号分析中要解决的两个常见的问题是滤
除噪声和数据压缩．在数字信号处理领域，离散
傅里叶变换起着极其重要的作用，尤其是在它
的高效算法一快速傅里叶变换Ｉ 出现以后，
在信号分析和处理中得到了广泛的应用．在通
信、交通、航天等方面，傅里叶变换都做出了巨
大的贡献．傅里叶变换使用的是一种全局的变
换。要么完全在时域。要么完全在频域。因此无
法表述信号的时频局域性质，在实际的信号处
理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号
在任一时刻附近的频域特征都很重要．为了克
服上述缺点，我们引进了离散小波变换．本文研
究了非平稳信号和平稳信号在离散的情形下
采用傅里叶变换和小波变换做信号处理的效
果比较．
１快速傅里叶变换与离散小波变换
１．１快速傅里叶变换
离散傅立叶变换从理论上解决了傅立叶变
换应用于实际的可能性，是数字信号处理中一
种非常有效的变换方法，它可通过相应的快速
算法，即快速傅里叶变换（Ｆｒｒ）来实现．
对于有限长序列．
（ｎ），ｎ＝Ｏ，…，Ｊ７ｖ一１
其ＤＦＴ为 （ ）：∑ Ｎ－Ｉ ｎ ‘等 ，ｋ＝Ｏ，…，Ⅳ一ｌ （２）
反变换（ＩＤＦＴ）为
（乃）： ｌ Ｎ－１础】ｅ ‘ ，ｎ＝０，…，Ｊ７、，一１（３）
长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT和DWT的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。
1.1 离散小波变换DWT
1.1.1 离散小波变换DWT及其串行算法
先对一维小波变换作一简单介绍。设f(x)为一维输入信号，记)2(2)(2/kxxjjjk，)2(2)(2/kxxjjjk，这里)(x与)(x分别称为定标函数与子波函数，)}({xjk与)}({xjk为二个正交基函数的集合。记P0f=f，在第j级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影Pjf与Qjf将Pj-1f分解为：
kkjkjkjkjkjjjdcfQfPfP1
其中：1012)(pnjnkjkcnhc，1012)(pnjnkjkcngd )12,...,1,0,,...,2,1(jNkLj，这里，{h(n)}与{g(n)}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({xjk与)}({xjk来确定，p为权系数的长度。}{0nC为信号的输入数据，N为输入信号的长度，L为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。
算法 一维离散小波变换串行算法
输入：c0=d0(c00, c10,…, cN-10)
h=(h0, h1,…, hL-1)
