上海市静安区2016届高三数学二模试卷 文(含解析)

2016年上海市静安区高考数学二模试卷（文科）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}，则集合A的补集CUA= ．

2．方程：4x﹣6•2x﹣16=0的解为 ．

3．已知无穷等比数列{an}的首项a1=18，公比q=﹣，则无穷等比数列{an}各项的和是

．

4．函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为 ．

5．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是

6．抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是 ．

7．设函数f（x）=|2x﹣3|，则不等式f（x）＜5的解集为 ．

8．关于θ 的函数f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为

．

9．由若干个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

．

10．圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为

．

11．已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则= ．

12．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是 ．

13．掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）（i为虚数单位）为实数的概率为 ．

2 14．设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a2b= ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．（1+x）4的展开式中x2的系数为（ ）

A．1B．4C．6D．12

16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积S=（b2+c2﹣a2），∠A 的弧度数为（ ）

A． B． C． D．

17．若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则g（﹣1）的值为（ ）

A．﹣1B．﹣3C．2D．﹣2

18．已知实数x，y满足则z=|x+4y|的最大值为（ ）

A．9B．17C．5D．15

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P﹣ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）．求：正六棱锥P﹣ABCDEF的体积和侧面积．

20．已知F1，F2分别是椭圆C： =1（其中a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（﹣，1）且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度．

21．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．

（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？

（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标． 3

22．已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．

（1）判断函数f（x）=log2|x|在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；

（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=+1在区间（0，π）内具有唯一零点；

（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围．

23．已知各项为正的数列{an}是等比数列，且a1=2，a5=32；数列{bn}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）•2n+1+2

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）在数列{an}的任意相邻两项ak与ak+1之间插入k个（﹣1）kbk（k∈N*）后，得到一个新的数列{cn}．求数列{cn}的前2016项之和．

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2016年上海市静安区高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}，则集合A的补集CUA= （﹣∞，1）∪（4，+∞） ．

【考点】补集及其运算．

【分析】求出集合A，然后求解集合的补集即可．

【解答】解：全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x≤4}，

则：集合A的补集CUA=（﹣∞，1）∪（4，+∞）．

故答案为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．

2．方程：4x﹣6•2x﹣16=0的解为

3 ．

【考点】有理数指数幂的运算性质．

【分析】由4x﹣6•2x﹣16=（2x）2﹣6•2x﹣16=0，解得2x=﹣2（舍）或2x=8，从而得到x=3．

【解答】解：∵4x﹣6•2x﹣16=（2x）2﹣6•2x﹣16=0，

∴2x=﹣2（舍）

或2x=8，

解得x=3．

故答案为：3．

3．已知无穷等比数列{an}的首项a1=18，公比q=﹣，则无穷等比数列{an}各项的和是 12 ．

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】由已知无穷等比数列{an}的首项a1=18，公比q=﹣，可知数列是无穷递缩等比数列，代入无穷递缩等比数列所有项和公式得答案．

【解答】解：∵无穷等比数列{an}的首项a1=18，公比q=﹣，

∴无穷等比数列{an}各项的和S=．

故答案为：12．

4．函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为 [\frac{π}{2}，π] ．

【考点】复合三角函数的单调性．

【分析】先由整体法解2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得函数的所有单调递增区间，取在x∈[0，π]的即可．

【解答】解：由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，

故函数y=cos2x的递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z， 5 又∵x∈[0，π]，∴函数的单调递增区间为：[，π]

故答案为：[，π]．

5．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可得进入循环的条件为不满足条件k2﹣4k＞0，模拟程序的运行结果，即可得到输出的k值．

【解答】解：模拟执行程序，可得

k=1

不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=2

不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=3

不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=4

不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=5

满足条件k2﹣4k＞0，退出循环，输出k的值为5．

故答案为：5．

6．抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是

\frac{3}{4} ．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】由抛物线方程，求出焦点F（，0）．设M（x0，y0），由|MF|=1结合两点的距离公式，列式并解之即可得到点M的横坐标．

【解答】解：∵抛物线方程为y2=x，

∴抛物线的焦点F（，0）

设点M（x0，y0），得|MF|==1

将y02=x0代入，得 +x0=1，解之得x0=（舍负）

故答案为：．

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7．设函数f（x）=|2x﹣3|，则不等式f（x）＜5的解集为 （﹣1，4） ．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】问题转化为|2x﹣3|＜5，解出即可．

【解答】解：∵f（x）=|2x﹣3|，

∴f（x）＜5，即|2x﹣3|＜5，

∴﹣5＜2x﹣3＜5，解得：﹣1＜x＜4，

故答案为：（﹣1，4）．

8．关于θ 的函数f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为 \left\{\begin{array}{l}{2x}&{x≥0}\\{﹣2x}&{x＜0}\end{array}\right. ．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】将函数配方，得到对称轴为x，再由cosθ∈[﹣1，1]，判断对称轴与区间的位置关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值．

【解答】解：∵f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1=（cosθ﹣x）2﹣1﹣x2，

∵cosθ∈[﹣1，1]，

∴当x≥0时，f（θ）的最大值为cosθ=﹣1时f（θ）max=（﹣1﹣x）2﹣1﹣x2=2x，

当x＜0时，f（θ）的最大值为cosθ=1时f（θ）max=（1﹣x）2﹣1﹣x2=﹣2x，

∴M（x）=

故答案为：

9．由若干个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 5 ．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】将几何体的三视图转化为直观图，求出几何体的体积．

【解答】解：由三视图得，该几何体是由5个小正方体组成的，如图：

所以该几何体的体积为5．

故答案为：5．

10．圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为 （x﹣2）2+（y+3）2=5 ．