抛体运动讲义

第2讲 抛体运动

一、平抛运动

1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．

2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．

3．研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动；

(2)竖直方向：自由落体运动．

4.基本规律

如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．

图1

(1)位移关系

(2)速度关系

判断正误 (1)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．( )

(2)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( )

(3)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．( )

(4)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( )

(5)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( )

自测1 一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力，重力加速度为g)( )

A.v－v0g B.v＋v0g C.v2－v02g D.v2＋v02g 二、斜抛运动

1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．

2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．

3．研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．

4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)

(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；

(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.

自测2 有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )

A．① B．②

C．③ D．④

1．飞行时间

由t＝2hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．

2．水平射程

x＝v0t＝v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．

3．落地速度

v＝vx2＋vy2＝v02＋2gh，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝vyvx＝2ghv0，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．

4．速度改变量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．

5．两个重要推论

(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝xA2.

推导：

tan θ＝yAxA－xBtan θ＝vyv0＝2yAxA→xB＝xA2

(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.

推导：

tan θ＝vyv0＝gtv0tan α＝yx＝gt2v0→tan θ＝2tan α

例1 (2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( )

A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

例2 (2019·福建宁德市5月质检)某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图6所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )

A．两次在空中运动的时间相等 B．两次抛出时的速度相等

C．第1次抛出时速度的水平分量小 D．第2次抛出时速度的竖直分量大

变式1 (2019·陕西汉中市下学期模拟)如图7所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是( )

A．a和b的初速度大小之比为2∶1 B．a和b在空中运动的时间之比为2∶1

C．a和c在空中运动的时间之比为2∶1 D．a和c的初速度大小之比为2∶1

拓展点：实验：探究平抛运动的特点

例3 (2019·云南玉溪一中第五次调研)三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：

(1)甲同学采用如图8甲所示的装置．用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤打击的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明：____________________________________________

________________________________________________________________.

(2)乙同学采用如图乙所示的装置．两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看作与光滑的水平板相切(水平板足够长)，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC＝BD，从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等．现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出．实验可观察到的现象是：_______________________

________________________________________________________________________.

仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象．

(3)丙同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L＝2.5 cm，则由图可求得该小球做平抛运动的初速度大小为________ m/s.(保留两位有效数字，g取10 m/s2)

模型1 对着竖直墙壁平抛

如图9所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝dv0.

图9

例4

(2019·安徽淮南市第二次模拟)如图10所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是( )

A．v1>v2 B．v1

C．t1>t2 D．t1＝t2

变式2 (多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图11所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )

A．初速度大小之比是6∶3∶2

B．初速度大小之比是1∶2∶3

C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3

D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶2

模型2 斜面上的平抛问题

1．顺着斜面平抛(如图12)

方法：分解位移．

x＝v0t，

y＝12gt2，

tan θ＝yx，

可求得t＝2v0tan θg.

2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图13)

方法：分解速度．

vx＝v0，

vy＝gt，

tan θ＝vxvy＝v0gt，

可求得t＝v0gtan θ.

例5

(2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )

A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍

变式3 (2019·湖南永州市第二次模拟)如图14所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )

A．ta＝32tb B．ta＝3tb

C．va＝32vb D．va＝32vb

模型3 半圆内的平抛问题

如图15所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：

图15

h＝12gt2，

R±R2－h2＝v0t，

联立两方程可求t.

例6 如图16，从O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(未画出，可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度大小之比v1∶v2为 ( )

A．tan α B．cos α

C．tan αtan α D．cos αtan α

变式4 (多选)(2020·山东济宁市第一次模拟)如图17所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )

A．初速度越大，小球运动时间越长

B．初速度不同，小球运动时间可能相同

C．小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向

D．小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向

例7 (2020·福建泉州市第一次质量检查)某游戏装置如图18所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上( )

A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关

B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关

C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关

D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关

变式5 (2019·福建莆田市5月第二次质检)如图19，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以( )

A．增大抛出点高度，同时增大初速度

B．减小抛出点高度，同时减小初速度

C．保持抛出点高度不变，增大初速度

D．保持初速度不变，增大抛出点高度

1．如图1所示，将一小铁球从一定高度以垂直于竖直墙面的初速度水平抛出，房间内有水平平行光垂直照射墙面，小铁球运动中在墙面上形成一个竖直向下运动的阴影，不计空气阻力，则关于此阴影，下列说法正确的是( )

A．做自由落体运动

B．做匀速直线运动

C．做加速度增大的加速直线运动

D．做加速度减小的加速直线运动

2．农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选．在同一风力作用下，谷种和瘪谷(空壳)都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图2所示．若不计空气阻力，对这一现象，下列分析正确的是( )

A．谷种和瘪谷从飞出洞口到落地的时间不相同

B．谷种和瘪谷从洞口飞出时的速度大小相同

C．M处是瘪谷，N处为谷种

D．M处是谷种，N处为瘪谷