不定方程及含参数的元次方程的整数根问题的解法

专题06 不定方程

考点一 二元一次不定方程的整数解问题

考点点拨

典例精选

1．（新编）方程27x+81y＝9999的整数解有几组（ ）

A．0 B．1 C．2 D．多于2

【点拨】将原式化简，变为x+3y=11113，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾，得出此题无整数解．

【解析】解：显然，方程两边同时除以9，得到：

3x+9y＝1111

等式的两边 同时除以3，得到：

x+3y=11113，

要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾．

因此整数解0组．

故选：A．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数组解，进行推理．

2．（新编）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买1本，10元钱刚好用完），则不同买法的总数是 266 ．

【点拨】先根据组合公式求出都买2元的有多少种情况，再求出1元的2本，2元的就得4本共多少种情况，相加即可．

【解析】解：首先，都买2元的，就是从8本书中任意选5本这样就有：

C85=8×7×6×5×45×4×3×2×1=56种，

其次，买1元的2本，2元的就得4本，这样就是从3本1元的里面选2本出来然后又从8本2元的里面选4本出来：

C32•C84=3×2×12×1×8×7×6×54×3×2×1=210种．

∴56+210＝266种．

故答案为：266．

【点睛】此题考查了组合数公式的应用，难度不答大，要知道，不仅涉及组合数公式，还要用到乘法原理．

3．（新编）求方程6x+22y＝90的非负整数解．

【点拨】首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可．

【解析】解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：

3x+11y＝45．①

由观察知，x1＝4，y1＝﹣1是方程3x+11y＝1②

数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组

新课标七年级数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组

一、填空题（共13小题，每小题4分，满分52分）

1．（4分）正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为

_________ ．

2．（4分）不定方程4x+7y=2001有 _________ 组正整数解．

3．（4分）已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z= _________ ．

4．（4分）已知（x、y、z≠0），那么的值为 _________ ．

5．（4分）用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有 _________ 种不同的买法．

6．（4分）购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：

品名

次数 A1 A2 A3 A4 A5 总钱数

第一次购件数 1 3 4 5 6 1992元

第二次购件数 1 5 7 9 11 2984元

那么，购买每种教具各一件共需 _________ 元．

7．（4分）（2003•温州）希望中学收到了王老师捐赠的足球，篮球，排球共20个，其总价值为330元．这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有 _________ 个．

8．（4分）满足19982+m2=19972+n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有 _________ 个．

9．（4分）实数x、y、z满足，则x2y+z的值为 _________ ．

10．（4分）1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 _________ 岁．

11．（4分）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 _________

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十一 一元二次方程

知识梳理：

一、根与系数之间的关系

设1x和2x是一元次方程20(0)axbxca的两个根，则1212,bcxxxxaa•（其中abc、、均为实数）

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)axbxca而知其根的正负性质：

一元二次方程20(0)axbxca在240bac的条件下：

(1)0ca时，方程的两根必然一正一负；

(2)0ba时，方程的正根不小于负根的绝对值；

(3)0ba时，方程的正根小于负根的绝对值；

(4)0ca时，方程的两根同正或同负.

例题精讲：

例1、如是,ab关于x的方程的()()1xcxdg两个根，求()()acbcg的值

例2、方程22320xx的实数根为、，求的值。

例3、如果正整数,ab是关于x的方程229x1056520552013axbb的两个根，求,ab的值。

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例4、已知实数,ab满足条件：423240aa，42230bb--=，求代数式444ab的值。

二、一元二次方程整数根问题

1、当含有某个参数k的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定2、一元二次方程02cbxax在042acb时有实数根abx2，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须acb42为完全平方数，并且b为a2的整数倍。故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：

（1）先求参数范围。可由不等式0求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k（k是整数）。当2k为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

数学竟赛（好题选）3 菁优网

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一．解答题（共30小题）

1．求关于x的方程a（x+b）=2x+ab+b2的解．

2．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1

解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x=1，它的解是．

（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5=13

（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．

3．求11x+15y=7的整数解．

4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分．问：小鸡至少被套中几次？

5．房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干．每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或椅子都不够坐，但每人都有凳子或椅子坐，且还有空位．已知人腿、凳子腿、椅子腿之和为32，求房间里共有多少人？有多少凳子？有多少椅子？

6．用100元钱买三种笔100支，其中金笔10元一支，铱笔3元一支，圆珠笔0.5元二支，问他三种笔各买了几支？

7．已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．

（1）试用x，y，z这3个字母表示a； （不能出现字母b，c）

（2）试说明：．

8．爸爸给小东100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：

规格 A B C

每束花朵数 20 35 50

价格（元/束） 4 6 9

为了使买到的花朵数最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．

9．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？